材料力學之鄭玄線彈性弓的討論

馬馳騁 張 樂 邵明玉

（山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049）

弓箭是人類使用的歷史最悠久的拋射兵器，也是我國傳統的體育項目之一。關于古代弓箭的起源，我國的考古工作者在山西省朔州市的峙峪村舊石器時代后期的文化遺址里出土了石鏃，在西班牙和法國許多洞穴中的壁畫上，也有弓與箭的身影。在材料力學授課過程中，講到彎曲變形的知識時，也常用弓的變形說明。雖然關于弓箭的記錄較多，但是關于其制作以及測試的文字記錄較少，而通過數值計算的方法進行定量分析的研究更為稀少，本文則基于Ansys 對這一問題進行了系統分析。

1 弓體變形的數值分析

查閱相關資料，大致確定弓的受力情況為10 千克到70 千克，即100N 到700N。確定兩種弓箭的基本尺寸，在ANSYS Workbench 模塊中建立兩種弓箭的幾何模型，弓體中間位置使用約束模擬手部把持，在弓弦中間位置施加7 組力，分別為100N、200N、300N、400N、500N、600N、700N。

1.1 木質弓體

結合1 中對于弓箭材料的分析，在Ansys 中我們用材料庫自帶材料木材作為弓體，使用橡膠作為弓弦。不同作用力時弓弦中間的位移變化如圖1 所示，正曲弓與反曲弓的變形都與力呈近線性變化，相比較而言，正曲弓的線性規律更加明顯。反曲弓由于弓體形狀更為復雜，與單曲弓相比線性規律更差。這里我們可以推測一下，周禮考工記中記載的弓箭制作是關于正曲弓的可能性更大。從圖中我們可以看出，在材料硬度較差時，正曲弓變形總是比反曲弓大，且差距隨載荷增大愈加明顯，最高可達3.1 倍。通過對能量變化情況折線圖的分析，兩者均呈近二次函數變化，考慮到兩者變形近似線性增大，故仿真結果較為可靠。

圖1 木制弓體變形及能量變化情況

1.2 鋁合金弓體

現代弓的材料主要以碳纖維和鋁合金為主，故本部分及下一部分分別采用鋁合金，碳纖維做弓體進行分析。具體操作方法如2.1，此處不再贅述，只給出結果及分析。我們將弓體材料定義為“7075 鋁”材料，弓弦仍為“Plastic ABS”材料。圖2 給出了選用“7075 鋁”作為弓體，選“Plastic Abs”作弓弦時，兩種弓的變形。從圖中可以看出，隨著施加模擬外力的增加變形都近線性增大。

圖2 金屬弓體變形及能量情況

相比較而言，正曲弓的線性規律更加明顯，而反曲弓由于弓體變形更為復雜，與單曲弓相比線性規律更差。圖2 給出了兩種弓在不同載荷條件下，蘊含能量的關系圖，我們可以看出，從量的大小上看，二者差距不大，從變化趨勢上看兩者都呈現近二次函數變化，與圖1 變化趨勢相近。在500N～600N 之前反曲弓的能量較大，而在這個范圍之后，正曲弓的能力較大，且差距增距加明顯加快。

1.3 碳纖維弓體

圖3 我們將弓體材料設為碳纖維（Carben Fiber 395Gpa），弓弦材料仍定義為“Plastic Abs”時，兩種弓的變形關系得到數據如下。從圖中可以看出，隨著施加拉力的不斷增大，兩種弓都隨者近線性增大。且反曲弓由于彎曲形狀更為復雜，線性較差與正曲弓相比，與圖2 所得到的數據類似，較為可靠。從圖3 可以看出，兩種弓能量均隨載荷增加而增加呈近二次函數變化，且在500N～600N 之前反曲弓能量較大，在500N～600N 之后正曲弓能量較大。

圖3 碳纖維弓體能量及變形情況

2 結果與結論

通過以上對正曲弓能量與變形及相關數據的分析，當使用木材作為材料時，可知正曲弓在能量方面較反曲弓性能更優，同時可以得知正曲弓變形較大，給持弓者提出了較高的要求及更長的拉距，從兩種弓發源角度分析，正曲弓在歐洲較為流行而反曲弓則在東亞較多，符合不同人種體型情況。當使用碳纖維和鋁合金為弓體材料時，反曲弓的變形更大，二者能量值較為接近，單位變形所蘊含的能量仍是正.曲弓較大，但二者差值明顯縮小。同時我們可以看出，當使用鋁合金及碳纖維等硬度較大的材料時，反曲弓的變形較大，但是二者的能量差距不大，單位變形所蘊含的能量與使用木材及“Plastic Abs”相似均為正曲弓較大。

通過在課堂上講解本文的相關工作，介紹了中國古代科學的一些領先技術并結合現代數值分析方法幫助同學了解先進的有限元分析軟件，進一步提高了同學們的學習興趣及解決工程實踐問題的能力，可以加深同學們對材料力學課程的基本知識和工程應用的認識都有一定的促進作用。

特別致謝：

在查閱中國唐代反曲弓的資料時，知乎答主@夕顏.源氏物語的《淺談唐代的弓箭形制與弓弩手在軍中的組成編制（以出土文物、文書資料為中心）》一文給予了我巨大的幫助，對論文提供大量的資料在此特別感謝。