螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的拉壓不同剛度動(dòng)力學(xué)模型

欒 宇，關(guān)振群，程耿東，陽志光，馮韶偉

（1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連，116023）

0 引 言

螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)是一種典型的結(jié)構(gòu)連接形式，廣泛應(yīng)用于航天器等工業(yè)結(jié)構(gòu)中。但是，連接本身破壞了結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，在連接面（對接面）引入了接觸與摩擦、甚至碰撞等非線性因素，這就使得螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性較為復(fù)雜，不易分析[1]。

連接結(jié)構(gòu)的靜力分析一般通過基于有限元的接觸算法實(shí)現(xiàn)，但限于動(dòng)力學(xué)算法、動(dòng)力學(xué)建模技術(shù)、碰撞—摩擦與耗散以及計(jì)算成本等因素，螺栓法蘭結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算還沒有形成統(tǒng)一的范式[2]。

傳統(tǒng)上，為了計(jì)算運(yùn)載火箭、導(dǎo)彈等結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)特性及動(dòng)力響應(yīng)，首先建立簡化線性梁模型，結(jié)合試驗(yàn)?zāi)B(tài)方法進(jìn)行動(dòng)剛度修正與模型確認(rèn)[3]，然后將動(dòng)力學(xué)外載加載在模型上，以獲取截面的內(nèi)力響應(yīng)數(shù)據(jù)（彎矩、剪力、軸力）作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的載荷依據(jù)[4]。線性梁模型中法蘭的連接剛度通常被等效為梁的彎曲剛度或扭矩彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度[5]。但是，法蘭連接結(jié)構(gòu)實(shí)際上是接觸非線性問題，即連接剛度取決于連接面的狀態(tài)[6]，因此，線性模型無法準(zhǔn)確描述其力學(xué)特性。

本文首先對典型螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的靜力特性進(jìn)行了研究，闡明了其軸向拉壓不同剛度這一重要特性；然后，在連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)簡化建模中引入了雙線性彈簧模擬其拉壓不同剛度特性。為研究沖擊響應(yīng)機(jī)理，本文將螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)抽象為兩自由度的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，對系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)進(jìn)行了理論分析，并開發(fā)自適應(yīng)遞歸算法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解。

1 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)特性

為了研究螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，選取典型的螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)（見圖1）進(jìn)行靜力分析。選取結(jié)構(gòu)由兩段相對連接面完全對稱的柱殼結(jié)構(gòu)組成，柱殼材料為Q235 結(jié)構(gòu)鋼；兩段柱殼之間由外翻法蘭和4顆M10 螺栓進(jìn)行連接，螺栓材料為S45 合金鋼。

圖1 典型螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)Fig.1 Typical Bolted Flange Connection

靜力分析通過有限元軟件ANSYS 實(shí)現(xiàn)，在一端固支的條件下，在自由端對結(jié)構(gòu)施加軸向拉壓荷載與彎矩，分析考慮了連接面的接觸與摩擦（摩擦系數(shù)0.2）。

1.1 軸向載荷下的變形響應(yīng)

由連接結(jié)構(gòu)的軸向拉壓載荷-位移曲線（見圖2），螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)在軸向表現(xiàn)出明顯的拉壓剛度不同特性，這是其連接剛度非線性的重要體現(xiàn)。

圖2 軸向位移-載荷曲線Fig.2 Curve of Axial Displacement and Load

研究表明，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的軸向拉壓不同剛度是由連接面的接觸狀態(tài)及連接區(qū)域的傳力路徑在拉壓荷載作用下不同造成的[8]。

1.2 彎矩下的變形響應(yīng)

在彎矩作用下，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)不僅產(chǎn)生了彎曲變形，還產(chǎn)生了軸向變形（如圖3 所示），即橫向荷載可引起橫向與軸向耦合變形，這是螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的另一重要特性。

圖3 彎矩作用下連接結(jié)構(gòu)位移曲線Fig.3 Curve of Axial Displacement and Load

產(chǎn)生這種響應(yīng)特性的原因?yàn)槭芾瓊?cè)與受壓側(cè)的剛度不同，即軸向拉壓剛度不同，從而使得在彎矩的作用下受壓和受拉產(chǎn)生了不同數(shù)值的軸向位移所致[7]。

綜上所述，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)在軸向存在顯著的拉壓剛度不同特性。在橫向載荷作用下，軸向剛度拉壓不同特性又導(dǎo)致連接面同時(shí)產(chǎn)生軸向和橫向變形響應(yīng)。

2 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

2.1 將螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)等效為轉(zhuǎn)角彈簧

2.1.1 將連接結(jié)構(gòu)等效為轉(zhuǎn)角彈簧

使用線型方法對連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，如圖4 所示。

圖4 單自由度線性模型Fig.4 Linear Model for One DOF

只考慮彎矩引起的轉(zhuǎn)角變形θ，而不考慮軸向變形（見圖4b），這樣就可將連接結(jié)構(gòu)等效為一轉(zhuǎn)角彈簧。轉(zhuǎn)角彈簧連接面的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度可表述為

式中M為作用于連接面的彎矩；θ為連接面的轉(zhuǎn)角。

建立線型梁模型，將被連接結(jié)構(gòu)簡化為梁單元，在兩段梁單元的連接處建立獨(dú)立重節(jié)點(diǎn)，并用轉(zhuǎn)角彈簧單元連接兩重節(jié)點(diǎn)，對兩節(jié)點(diǎn)間除相對轉(zhuǎn)動(dòng)外的其他自由度進(jìn)行耦合（見圖4c）。

2.1.2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

將與連接結(jié)構(gòu)相連的部段簡化為相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，并對連接剛度kM的彈性部分進(jìn)行線性擬合，如圖5所示。

圖5 彎曲剛度Fig.5 Curve of Axial Displacement and Load

連接面的無阻尼振動(dòng)方程可表示為

通過待定系數(shù)法，可解得連接結(jié)構(gòu)在初始條件（θ(0)=θ0，）的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)為

式中ωθ為連接結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，。

由式（2）及式（3）可知，線性建模的實(shí)質(zhì)是將螺栓連接轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)角彈簧的一維問題，動(dòng)力響應(yīng)中只有轉(zhuǎn)動(dòng)響應(yīng)，并無軸向響應(yīng)。

2.2 螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的拉壓不同動(dòng)力學(xué)模型

2.2.1 拉壓剛度不同彈簧的引入

通過第1.1 節(jié)的討論，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特性是軸向拉壓不同剛度。為了模擬連接結(jié)構(gòu)軸向的拉壓剛度不同特性，這里引入用拉壓剛度不同的單軸彈簧單對連接段進(jìn)行建模，彈簧拉壓曲線如圖6 所示。

圖6 彈簧拉壓曲線Fig.6 Curve of Axial Displacement and Load

彈簧的剛度可由拉伸剛度k+和壓縮剛度k-確定，其數(shù)值可由有限元分析或靜力試驗(yàn)獲取。

彈簧剛度可寫為

式中 上標(biāo)“*”表示彈簧的剛度實(shí)際取決于彈簧的拉壓狀態(tài)；δ表示彈簧的變形，受拉為正，受壓為負(fù)。

引入符號(hào)函數(shù)sgn(δ)，k*可表示為

2.2.2 理論模型的建立

在建模過程中，同樣將連接結(jié)構(gòu)等效為梁單元；對于連接結(jié)構(gòu)，使用剛性梁單元（位移偶和約束）來模擬連接面，剛性梁的中點(diǎn)與梁單元相連，兩端與雙線性彈簧單元相連，如圖7 所示，其中δ1和δ2為兩彈簧的軸向變形，b為連接結(jié)構(gòu)寬度。這樣，就可在準(zhǔn)確模擬彎曲剛度的同時(shí)，在軸向準(zhǔn)確模擬拉壓剛度不同。

圖7 含有拉壓不同彈簧的非線性模型Fig.7 Model with Bilinear Springs

2.2.3 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)研究

為研究螺栓法蘭連接的動(dòng)力響應(yīng)，進(jìn)一步將模型簡化為1 個(gè)兩自由度的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，如圖8 所示。

圖8 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)Fig.8 Bilinear Model with 2 DOFs

假設(shè)整體結(jié)構(gòu)相對于對接面完全對稱，僅留取上半部分進(jìn)行研究。將被連接結(jié)構(gòu)表示為質(zhì)量m與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J；連接結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能由拉壓剛度不同彈簧來表述，彈簧只能發(fā)生軸向變形，彈簧的下端完全固支，彈簧上端與質(zhì)量塊兩端相連。

通過以上簡化，將螺栓法蘭連接非線性模型抽象為兩自由度質(zhì)量-彈簧模型問題，連接結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可以由連接面中心O的軸向位移u和轉(zhuǎn)角θ描述。

系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程為

式中M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；y為位移向量，y=(u,θ)T；T為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，可表述為

系統(tǒng)的彈性勢能可表述為

式中k1*，k2*為兩彈簧的剛度。

由圖8b 可知，在彎矩作用下，可獲取O點(diǎn)位移與彈簧變形δ1、δ2間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

將式（9）代入式（8），系統(tǒng)的彈性勢能可進(jìn)一步寫為以(u,θ)為變量的形式：

最后，將式（7）、式（10）代入拉格朗日方程，即可得到系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程：

其中，

由式（11）可知，只需確定剛度矩陣，即確定k1*與k2*，就可在給定的初始條件下定解。將式（9）代入式（5），彈簧剛度可表示為(u,θ)的函數(shù)：

通過以上的討論發(fā)現(xiàn)：系統(tǒng)剛度矩陣的取值實(shí)際取決于彈簧的拉壓狀態(tài)。若以彈簧變形為0 作為分界，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可在運(yùn)動(dòng)平面上劃分為4 個(gè)區(qū)域（見圖9），每個(gè)區(qū)域含有獨(dú)立的、與其他區(qū)域不同的彈簧拉壓狀態(tài)組合。這樣就把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)區(qū)域劃分為4種情況，并可逐一確定各區(qū)域的剛度矩陣，進(jìn)而求得各區(qū)域的頻率與振型。

圖9 運(yùn)動(dòng)分區(qū)Fig.9 Divisions of Vibration

由圖9，在II、IV 運(yùn)動(dòng)分區(qū)，剛度陣存在耦合項(xiàng)，這表明存在發(fā)生u、θ耦合振動(dòng)，由于u、θ分別代表縱向橫向位移，因此這里將這種現(xiàn)象稱為橫縱耦合振動(dòng)。橫、縱耦合振動(dòng)產(chǎn)生的根本原因是拉壓剛度不同。當(dāng)拉壓剛度相同時(shí)（I、III 分區(qū)），耦合項(xiàng)變?yōu)榱悖粫?huì)出現(xiàn)橫縱振動(dòng)之間的耦合。

設(shè)系統(tǒng)的控制方程（式（11））的解為

式中A和φ分別為響應(yīng)的振幅與相角。將初初始條件帶入運(yùn)動(dòng)方程即可確定系統(tǒng)在各區(qū)域的振動(dòng)響應(yīng)。

3 橫向沖擊荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算

3.1 計(jì)算說明

3.1.1 非線性模型數(shù)值計(jì)算

根據(jù)動(dòng)量定理，將橫向沖擊荷載等效為一初始轉(zhuǎn)角速度。這樣，系統(tǒng)的初始條件可表示為

對于拉壓不同問題的求解，困難在于如何有效地確定彈簧恢復(fù)到平衡位置的時(shí)刻，即彈簧拉壓狀態(tài)的轉(zhuǎn)換時(shí)刻。若直接使用積分法對控制方程（式（11））進(jìn)行求解，將導(dǎo)致在跨區(qū)時(shí)產(chǎn)生能量損耗，從而降低求解的精度，而利用光滑函數(shù)對剛度曲線進(jìn)行擬合并不適合階躍函數(shù)的求解[9]。

為了確定跨區(qū)時(shí)刻（彈簧過零檢查）并同時(shí)減少跨區(qū)時(shí)系統(tǒng)能量的損失，本文應(yīng)用遞歸算法，使用二分法對跨區(qū)時(shí)刻進(jìn)行捕捉，以獲取系統(tǒng)在計(jì)算時(shí)長T內(nèi)任意精度ε下的跨區(qū)時(shí)刻。

非線性模型計(jì)算流程計(jì)算流程如圖10 所示，其中t為計(jì)算時(shí)長，t0為分區(qū)內(nèi)計(jì)算時(shí)長，i(t)為t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)所在分區(qū)（i=1～4），y(t)為系統(tǒng)狀態(tài)，Dt為初始輸入步長預(yù)定義步長，數(shù)值計(jì)算使用C 語言實(shí)現(xiàn)。

圖10 計(jì)算流程Fig.10 Program for Solution

非線性計(jì)算時(shí)長為T=2 s，計(jì)算規(guī)定步長為Dt=1×10-3s，ε=1×10-15s，初始轉(zhuǎn)角速度為θ(0)=0.5 rad/s，非線性模型計(jì)算其他參數(shù)如表1 所示。

表1 拉亞不同剛度模型計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters for Bilinear Model

為方便建立響應(yīng)的線性模型，這里使用快速傅里葉變換對計(jì)算結(jié)果的進(jìn)行了分析，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)響應(yīng)基頻為fθ=5.6 Hz，軸向振動(dòng)響應(yīng)基頻為fu=11.2 Hz。

3.1.2 線性模型數(shù)值計(jì)算

為了建立與非線性模型頻率相等的線性模型，在已知非線性模型響應(yīng)頻率fθ的條件下，轉(zhuǎn)角彈簧的彎曲剛度可按式（17）計(jì)算，再代入式（3）即可直接求取模型的響應(yīng)：

其中，ωθ=2πfθ。數(shù)值解由式（3）差值而得，插值間隔Δt=1×10-3s，時(shí)長為2 s，計(jì)算參數(shù)如表2 所示。

表2 單自由度線性模型計(jì)算參數(shù)Tab.2 Parameters for Linear Model

3.2 計(jì)算結(jié)果比較

3.2.1 位移響應(yīng)比較

圖11、圖12 分別為轉(zhuǎn)角、軸向位移的時(shí)程響應(yīng)，在橫向彎矩沖擊的作用下，拉壓不同模型同時(shí)產(chǎn)生了等量級(jí)的軸向與橫向振動(dòng)；拉壓相同線性模型只產(chǎn)生了轉(zhuǎn)動(dòng)位移響應(yīng)。

圖11 轉(zhuǎn)角時(shí)程響應(yīng)Fig.11 Respond of Rotational Displacement

圖12 軸向位移時(shí)程響應(yīng)Fig.12 Respond of Axial Displacement

3.2.2 內(nèi)力響應(yīng)比較

在拉壓不同彈簧模型中，若有k+=k-=，即彈簧的拉壓剛度相同時(shí)，則拉壓不同彈簧模型可等效為線性模型；換言之，若將第2.1 節(jié)中的線性模型等效為與圖8 相同的軸向質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，轉(zhuǎn)角彈簧的剛度轉(zhuǎn)化為兩軸向拉壓剛度相同的彈簧即可，其等效關(guān)系可表示為

代入第3.1.2 節(jié)中求得的kM，可得對應(yīng)的等效拉壓彈簧剛度=1.55×106N/m。接著，將求得的扭轉(zhuǎn)彈簧時(shí)程響應(yīng)代入式（9），即可得與其等效的軸向彈簧的軸向變形，如圖13 所示。

圖13 彈簧變形時(shí)程響應(yīng)Fig.13 Deformation of Springs

對于線性模型，等效彈簧內(nèi)力響應(yīng)可按下式計(jì)算：

拉壓不同彈簧模型的彈簧內(nèi)力響應(yīng)根據(jù)彈簧的變形響應(yīng)按下式計(jì)算：

通過對比圖13、圖14 結(jié)果可知，轉(zhuǎn)動(dòng)初速度為0.5 rad/s 時(shí)，拉壓不同模型中彈簧最大伸長為0.024 m，轉(zhuǎn)角最大值為0.008 53 rad，最大彈簧拉力為24 kN；線性模型等效彈簧最大伸長為0.014 m，轉(zhuǎn)角最大值為0.014 03 rad，等效彈簧最大拉力為22 kN。以彈簧最大拉力進(jìn)行比較，拉壓不同模型結(jié)果比傳統(tǒng)線性模型結(jié)果要高出9%，也就是說，傳統(tǒng)模型獲得的荷載結(jié)果可能偏小。

圖14 彈簧力時(shí)程響應(yīng)Fig.14 Spring Force for Both Model

4 結(jié)束語

本文對典型螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的靜力響應(yīng)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，在軸向荷載作用下，螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)具有明顯的拉壓不同剛度特性；使得其在彎曲荷載的作用下，產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角變形的同時(shí)產(chǎn)生了軸向變形，這是螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的另一重要特性。

通過引入拉壓剛度不同彈簧對連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化建模，不但可以準(zhǔn)確的模擬結(jié)構(gòu)軸向的拉壓不同剛度特性，還可以模擬彎矩作用下連接結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的軸向變形。理論分析與數(shù)值模擬均表明，拉壓不同剛度非線性動(dòng)力學(xué)模型在橫向荷載作用下將發(fā)生橫縱耦合振動(dòng)現(xiàn)象。在相同的橫向沖擊荷載作用下，拉壓不同剛度非線性動(dòng)力學(xué)模型產(chǎn)生了比傳統(tǒng)模型更大的變形以及截面內(nèi)力響應(yīng)，也就是說，傳統(tǒng)模型獲得的荷載結(jié)果可能偏小。本研究對于提高螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)的安全可靠性具有重要意義。