基于GPI觀測器的Buck型變換器趨近律控制

南余榮，陳姝瑾，王滿意

(浙江工業大學 信息工程學院，杭州 310023)

0 引言

DC-DC變換器是電能變換的重要組成部分，具有結構簡單，可靠性好，效率高等特點[1]。Buck型降壓變換器是DC-DC變換器主要類型之一，廣泛用于電機驅動，光伏發電系統，電動汽車等領域[2]。隨著以綠色環保為特征的新興產業的發展，越來越多的研究者關注電能轉換的質量和效率問題。

在實際應用中，系統模型會受到各種干擾的影響，例如電感磁特性的不確定性、輸入電壓的不穩定、負載的擾動等，目前已有許多先進的非線性控制方法應用于Buck型變換器，如自抗擾控制、自適應控制、滑模控制等[3]。其中滑?？刂圃趯嶋H應用中具有操作簡單，精度高，且有較好的穩定性和魯棒性等優點?？紤]在實際應用中存在的擾動和不確定性，很難用實際的傳感器進行測量，而設計觀測器可以實現對擾動的精確估計和補償。文獻[4]設計了擴張狀態觀測器(ESO, extended-state observer)，實現對負載變化的估計，同時設計滑?？刂破?，提高了系統的抗干擾性能。文獻[5]設計了未知輸入觀測器(UIO,unknown input observer)，對噪聲的敏感度較低，且只需要調節一個參數，便于在實際系統中實現。文獻[6]提出了基于擾動觀測器(DOB, disturbance observer)的滑模控制方法，可以在有限時間內收斂至參考電壓附近的鄰域內。但是上述觀測器只能精確估計慢時變擾動[7]，在實際系統中的擾動更為復雜，可能還存在高階多項式擾動。文獻[8]設計了廣義比例積分觀測器(GPIO,generalized proportional integral observer)可以實現對慢時變擾動和快時變擾動的精確估計，并與反步法進行結合來處理非匹配負載擾動，反步法的基本思想是將一個復雜的系統分解成多個子系統，通過設計虛擬控制律的方式由后向前遞推，將干擾因素都設計進入每個子系統中，但是在設計過程中，控制器中可能會存在虛擬控制函數的高階導數問題，計算起來較為復雜。

在實際應用中，由于延時、滯后效應和元器件開關頻率達不到無窮大的理想狀態等問題，控制器在滑模運動中可能會引起高頻抖振，這種抖振現象會降低系統的效率，增加能量損耗，甚至導致系統與理想狀態發生很大偏離。因此高為炳院士為了消除變結構控制系統的抖動，提出了趨近律的概念，同時，實驗證明了通過趨近律的方法可以減小滑?？刂频墓逃卸墩?。文獻[9]提出了一種無抖振的變速趨近律，在離散系統中，通過調節趨近律變化速率控制函數，可以使系統在有限時間內收斂，并削弱了控制器的抖振。針對存在有界擾動的系統，文獻[10]提出一種雙冪次趨近律，使系統可以在固定時間內收斂并給出了收斂時間的估計，同時在抑制抖振方面也具有良好的效果，但是抖振現象仍然不能消除，趨近律的趨近速率和抖振仍需要改善和加強。

綜上所述，本文提出了一種基于廣義比例積分觀測器的DC-DC降壓型變換器趨近律的控制方法。首先，考慮到輸入電壓波動、參數的不確定性、負載電阻擾動等干擾，設計了廣義積分觀測器分別對匹配擾動和非匹配擾動進行估計，并對觀測器誤差收斂性進行證明，其主要思想是將觀測器估計的干擾引入到控制律的設計中，以補償這些干擾和不確定性所造成的影響，在保證了系統的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時，使系統具有良好的抗干擾能力。進一步的地，設計了基于雙曲正切型函數的變速趨近律，通過調整趨近律的內部參數，可以縮短系統到達滑模面的時間，同時減小在滑動階段控制信號的抖振。然后根據趨近律和滑模面設計控制器，同時通過李雅普諾夫穩定性判據證明了該控制方法下系統的穩定性，使閉環系統的跟蹤誤差能夠收斂到零。最后，通過Matlab仿真軟件進行實驗并與其他方法進行對比，結果驗證了該方法具有良好的收斂速度和抗擾動能力。

1 模型描述

針對Buck型變換器，根據開關管的導通和關斷兩種狀態，不考慮電阻、電容和電感的擾動，即在理想狀態下建模，則可推導出Buck型變換器的狀態空間模型如下所示：

(1)

其中:R為負載電阻，vo為輸出電壓，vin為輸入電壓，L為儲能電感，iL為電感電流，C為電容，iC為電容電流，u∈[0,1]是控制器的輸出，該輸出最終用于驅動PWM信號。由于在實際系統中存在匹配擾動和不匹配擾動的影響，即與控制信號出現在同一個通道的擾動為匹配擾動，與控制信號不在同一個通道則為非匹配擾動。若考慮這兩種擾動，定義輸出電壓誤差x1=vo-vref，則:

(2)

其中:C0為電容C的標稱值，R0為負載電阻R的標稱值，d1是系統中的非匹配擾動，滿足d1=(1/C-1/C0)iL+(1/(R0C0)-1/(RC))v0。

令x2=-(1/R0C0)vO+(1/C0)iL，對x2求導，則:

(3)

其中:L0為電感L的標稱值，匹配擾動d2滿足:

則Buck電路的數學模型可轉換為:

(4)

本文的控制目標是針對存在匹配擾動和非匹配擾動情況下的Buck型變換器(4)，設計控制器u，使輸出電壓v0能收斂至參考電壓附近。

2 控制器設計

2.1 廣義比例積分觀測器(GPIO)

DC-DC降壓型變換器系統的電壓跟蹤精度會受到擾動的影響，如輸入電壓波動、參數的不確定性、負載電阻擾動等干擾，消除這些干擾的一個有效方法是引入擾動估計來精確補償。針對Buck型變換器(4)，設計兩個廣義積分觀測器分別對匹配擾動和非匹配擾動進行估計，并將擾動估計引入到控制律的設計中，以補償這些干擾和不確定性所造成的影響，兩個廣義比例積分觀測器的具體設計如下：

(5)

(6)

本節提出了一種基于廣義比例積分觀測器的抗擾動控制方法，其控制目標為，設計廣義比例積分觀測器實現對時變擾動的估計并實時地更新到控制器中，有效地抑制擾動帶來的影響，提高整個系統的抗干擾性能。具體的系統控制如圖1所示，系統框圖包括4個部分：兩個廣義比例積分觀測器(GPIO)、滑?？刂破?、脈沖寬度調制器(PWM)、Buck型變換器。其系統的工作原理為：首先基于電感電流和輸出電壓的反饋值構造兩個廣義比例積分觀測器，分別對匹配和非匹配擾動進行估計，然后利用估計值設計一個滑模控制器，將控制器與鋸齒波相比較得到PWM波，利用PWM波控制直流降壓變換器的開關管，使Buck型變換器能夠穩定地輸出至期望電壓。

圖1 系統整體的控制框圖

(7)

證明:對于Buck型變換器(4)，廣義比例積分觀測器估計誤差可表示為：

(8)

(9)

記估計誤差e=[e11e12…e1(n+1)e21e22…e2(m+1)]T，并帶入廣義比例積分觀測器(5)、(6)，則觀測器的跟蹤誤差動態可以表示為：

(10)

(11)

(12)

其中:η>0，運用young不等式[13]則有:

(13)

(14)

據引理1，所設計的廣義比例積分觀測器是全局一致最終有界的。

注1：式(5)和式(6)中的廣義比例積分觀測器增益為h11…h1(n+1)和h21…h2(m+1)，其取值對觀測器的估計效果影響較大，當該觀測器增益取值相對較大時，觀測器的估計效果較好，系統狀態的響應速度也較快，同時也可以使擾動估計值快速地跟蹤到實際值，但是在負載突變以及輸入電壓突變時，會引起系統的輸出電壓有較大的超調。因此，需要結合實際工況綜合地選擇該觀測器中的可調比例增益。

2.2 增強型變速趨近律和控制器設計

為提高系統狀態趨近速率和減小控制器輸出抖振，設計了基于雙曲正切型輔助函數的增強型變速趨近律，其形式為:

D(σ)=-εf(τ|σ|)+Θ

(15)

由式(15)得D(σ)始終大于0，當系統遠離滑模面時，0K1|σ|γ1，[K2/D(σ)]|σ|γ2>K2|σ|γ2，控制器增益變大，提高了系統狀態收斂速度。當系統狀態變量運行軌跡接近滑模面時，D(σ)趨于Θ>1，選取合適的Θ，使控制器增益[K1/D(σ)]|σ|γ1

為保證系統輸出電壓v0最終能夠收斂至參考輸出電壓Vref附近，設計滑模面為:

(16)

針對Buck型變換器(4)，結合趨近律(15)和滑模面(16)，設計控制器為:

(17)

注2:本文提出的基于雙曲正切型輔助函數的增強型變速趨近律，可以根據滑模變量σ的大小動態地調節趨近律的增益，從而改變趨近律的收斂速度。同時，由式(15)可知，雙曲正切函數的取值范圍為f(τ|σ|)=tanh(τ|σ|)∈(-1,1)，且ε>0，Θ>1可得0

2.3 閉環系統穩定性證明

(18)

其中:α0、β0>0，0<φ1<1，φ2>1，0<η0<∞，則V(x)可在固定時間內收斂到平衡點附近的鄰域：

(19)

其中:0<θ0<1，且系統狀態的收斂時間T0滿足：

(20)

定理1:對于Buck型降壓變換器系統(4)，在廣義比例積分觀測器(5)、(6)，趨近律(15)，滑模面(16)和控制器(17)作用下，輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近。

證明對滑模面σ(16)求導，并將控制器(17)代入：

K3σ+βed1+ed2

(21)

K3σ2+|σ|βed1+ed2|

(22)

(23)

由引理2可知，滑模變量σ可在固定時間Ts內收斂至平衡點附近鄰域Δ1內，即|σ|≤Δ1，滿足:

(24)

其中:0<ζ1<1。收斂時間Ts滿足:

(25)

因此，在控制器(17)的作用下，滑動變量σ可以在固定時間Ts內收斂至平衡點附近的鄰域內。

當系統狀態到達滑模面附近的鄰域內，滿足|σ|≤Δ1，當0≤σ≤Δ1時，式(16)可以轉化為:

(26)

(27)

求解式(28)有:

(28)

當Δ1≤σ≤0時，式(16)可以轉化為:

(29)

求解式(29)有:

(30)

綜上，x1(t)滿足:

(31)

由式(31)可知，當時間趨于無窮時，即t→∞，輸出電壓誤差x1(t)趨近于0，即系統輸出電壓v0最終能夠收斂至參考電壓vref附近，證畢。

3 仿真分析

為了驗證本文方法是否具有更快的收斂速度和抗干擾性能，針對存在匹配和非匹配擾動的Buck型變換器(4)，在電路參數取值相同的情況下，將本文提出的方法和其他文獻中控制方法進行仿真對比，結果驗證了本文方法可以有效地抑制擾動帶來的影響，保證輸出電壓穩定，提高整個系統的抗干擾性能。利用Matlab仿真進行兩種方法的對比仿真：

方法一：本文提出的基于廣義比例積分觀測器的趨近律控制方法，該方法包含觀測器、滑模面、趨近律和控制器，分別由本文中的式(5)和式(6)、式(15)～(17)組成。

方法二：文獻[15]中提出的基于變速趨近律的抗擾動方法，其中基于低通濾波器設計的擾動觀測器、趨近律和控制器分別為：

(32)

D(s)=arccot(λ|s|p)Ξ

(33)

(34)

3.1 系統參數設置

本次仿真實驗的控制目標為：控制器將20 V的輸入電壓降低到5 V的參考電壓，在同一的電路系統下分別用兩種方法進行控制，從圖中觀察和分析各個狀態變量隨時間變化的值，比較在兩個方法地控制下系統的瞬態性能和抗干擾性能。為保證對比的公平性對兩種方法在同一Buck型變換器電路系統下進行仿真對比，電路參數選取為：輸入電壓為Vin0=20 V，額定電感為L0=0.1 mH，額定電容為C0=1 mF，額定輸出電阻為R0=20 Ω，參考輸出電壓為Vref=5 V。

為使系統具有更優的瞬態性能和控制效果，以下Buck型變換器系統的具體控制參數都采用試錯法取得：方法一中的控制參數設置為q1=1 500，q2=2 000，γ1=0.5，γ2=1.6，K1=2 500，K2=50,K3=10，β=550，ε=0.01，τ=0.1，Θ=1.5。方法二中的控制參數設置為γx=0.6，Ξ=1.91，a=600，K=8 000，Λ=1.8，λ=0.8，p=0.05。

3.2 仿真實例分析

針對存在匹配和非匹配擾動的Buck型變換器系統，如圖2(a)輸出電壓所示，兩種方法都能使輸出電壓快速趨近于設定的參考值，且輸出電壓沒有穩態誤差，但從圖中可以明顯地看到，方法一和方法二的輸出電壓響應時間分別約為 0.015 s和0.02 s，因此方法一具有更快的收斂速度。為測試本文方法具有一定的魯棒性和抗干擾性能，方法一是本文中的基于廣義比例積分觀測器來估計系統的時變擾動，而方法二是基于低通濾波器設計的擾動觀測器來估計擾動。在仿真過程中模擬實際應用時負載電阻突變的情況，即在0.04 s時，電阻由20 Ω下降到10 Ω，在0.08 s再上升到20 Ω，方法一的輸出電壓恢復到穩態的時間約為0.002 s，方法二電壓恢復到穩態的時間分別約為0.008 s和0.01 s，由此可見，方法一電壓恢復到穩態的時間比方法二快，間接證明了方法一具有更好的抗干擾效果。因此，方法一具有更快電壓收斂速度和更好的抗干擾效果。

圖2 負載變化下的輸出響應對比

如圖2(b)電感電流所示，雖然方法一的電感電流的超調比方法二大，但方法一的上升時間和調節時間分別約為0.002 s和0.005 s，都小于方法二的上升時間和調節時間。如圖2(c)的控制器輸出所示，方法一下控制器輸出u的響應速度高于方法二，且控制器收斂時間更短，同時可以看出方法一對抖振具有良好的抑制能力。綜上，在方法一控制下的 Buck 型變換器具有更快的輸出電壓響應、更好的瞬態性能和抗擾動能力。

圖3中(a)、(b)分別描述的是廣義比例積分觀測器對非匹配擾動d1和匹配擾動d2的估計效果，其中在0.04 s時刻，電阻由20 Ω，下降到10 Ω，該觀測器對非匹配擾動d1和匹配擾動d2的估計的收斂時間分別為0.007 s和0.005 s；在0.08 s時刻電阻由10 Ω上升到20 Ω，該觀測器的收斂時間分別為0.007 s和0.008 s。可以看出，當負載電阻發生突變時，廣義比例積分觀測器可以迅速跟蹤擾動的值，并且對非匹配擾動d1和匹配擾動d2進行精確的估計，進一步的證明了廣義比例積分觀測器對系統中電阻負載突變具有較強的適應性，即該觀測器在估計系統干擾時，具有較快的響應速度和較好的準確性。

圖3 負載變化下的觀測器的估計

4 結束語

本文提出了一種基于GPI觀測器的Buck型變換器趨近律的控制方法。通過廣義比例積分觀測器估計系統中存在的匹配和非匹配擾動，使系統具有更好的抗干擾能力。同時，設計了一種基于雙曲正切型輔助函數的增強型變速趨近律，提高了系統狀態的收斂速度，并能有效地抑制抖振。最后，仿真結果說明本文提出的方法在保證了系統的輸出電壓能夠收斂至參考電壓附近的同時，使系統具有良好的抗擾動性能。本文只用仿真證明了所提控制算法的有效性，后續工作將設計Buck型變換器的硬件實驗平臺，來驗證該方法在實際應用中也具有良好的系統狀態收斂速度和抗干擾性能。