變曲率絕熱層擠壓變形與纏繞壓力控制

段鵬軒 侯增選 嚴文聰 張偉超 廉繼杰

摘要：研究了固體火箭發動機燃燒室變曲率絕熱層橡膠擠壓變形機理，揭示、闡明了變曲率絕熱層橡膠擠壓變形規律，得到了纏繞壓力沿膠帶寬度方向的分布規律，并分析了纏繞壓力分布對絕熱層纏繞成型質量的影響。提出了基于 Hertz接觸理論的變曲率絕熱層表面橡膠擠壓變形數學模型，建立了纏繞成型外加載荷與變厚度橡膠絕熱層表面變形的關系。并使用有限元分析軟件 ABAQUS針對多種真實纏繞情形進行了仿真模擬。結果表明，基于 Hertz接觸理論的絕熱層表面橡膠擠壓變形數學模型可以較好地描述纏繞變形情況，通過該數學模型計算得到的纏繞壓力值與仿真得到的纏繞壓力值吻合度很高，從而驗證了模型在其應用范圍內的有效性。為絕熱層纏繞成型粘接質量的控制以及軌跡規劃提供了理論支撐，為后續恒壓控制系統的設計提供了相關力學參數。關鍵詞：絕熱層;變曲率;Hertz接觸理論;擠壓變形;有限元

中圖分類號：TB3???????????? 文獻標志碼：A

文章編號：1009-9492（2021）12-0033-05????????????????????????? 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Extrusion Deformation of Heat Insulation withVariable Curvature and Winding Pressure Control

Duan Pengxuan1，Hou Zengxuan1※，Yan Wencong2，Zhang Weichao1，Lian Jijie1

（1. School of Mechanical Engineering， Dalian University of Technology， Dalian， Liaoning 116024， China;

2. Xi′an Aerospace Composites Research Institute， Xi′an 710025， China）

Abstract： The rubber extrusion deformation mechanism of the variable-curvature heat insulation of the solid rocket motor was studied， the extrusion deformation law of the variable-curvature heat insulation was clarified， the distribution of winding pressure along the strip width was obtained， and the influence of the pressure of the winding on the winding quality of the heat insulation was analyzed. Based on the Hertz contact theory， the mathematical model of the rubber extrusion deformation on the variable curvature surface of the heat insulation was proposed. The relationship between the winding pressure and the? surface deformation of the variable-thickness rubber insulation was established. Finite element simulations about a variety of winding situations was carried out using the finite element analysis software ABAQUS. The results show that the mathematical model of rubber extrusion deformation based on the Hertz contact theory can better describe the winding deformation. The winding pressure value calculated by the mathematical model is in good agreement with the value obtained by simulation， which verifies the validity of the model in its application range. It provides theoretical support for the control of the bonding quality of the heat insulation winding and trajectory planning， and provides relevant mechanical parameters for the subsequent design of the constant pressure control system.

Key words： heat insulation; variable curvature; Hertz contact theory; extrusion deformation; finite element

0 引言

固體火箭發動機燃燒室內絕熱層是固體燃料與發動機殼體之間的一層由耐燒蝕材料組成的熱防護層，可以通過在高溫中不斷分解和燒蝕降低燃燒室的溫度，保證發動機在極端惡劣條件下仍能長時間可靠工作，在發動機工作時起著難以替代的重要作用。在絕熱層的自動纏繞成型過程中，絕熱層膠帶由敷設頭通過滾壓纏繞在芯模上，由于受到芯模特征以及纏繞方式的影響，受到擠壓的絕熱層膠帶被纏繞在曲率變化的復雜三維曲面上，變形比通常情況下復雜得多，對最終的絕熱層成型質量以及質量穩定性影響較大[1-4]。

2009年，柴暢等[5]在研究帶式輸送機擠壓阻力時，發現使用 Winkler 模型計算橡膠受力變形時存在一定誤差，提出了一種修正方法。2012年，周麗春[6]在研究橡膠毯機械預縮時，發現擠壓時的徑向長度難以確定，便建立了基于 Hertz 接觸理論的預縮壓力與橡膠毯表面的變形關系。2018年，康超[7]分析了當前纏繞工藝中存在的問題，針對纏繞工藝的諸多關鍵技術展開研究，在計算壓輥與復合材料芯模纏繞時的接觸壓力時，使用 Hertz 接觸理論簡化了接觸模型，并將接觸區域的真實應力使用計算得到的平均應力代替。2019年，竇明月[8]采用實驗方法驗證了基于 Hertz 接觸理論推導的壓力計算公式，計算了接觸區域幾何尺寸以及許用鋪放壓力，證明了采用 Hertz 接觸理論解決柔性壓輥與 Nomex 蜂窩芯的接觸問題的合理性。

本文將針對航天某院研發的固體火箭發動機的真實芯模特征進行理論分析以及公式推導。

1 纏繞接觸區域受力特征分析

1.1 芯模特征分析

圖1所示為固體火箭發動機鋪貼絕熱層所用芯模。進行自動化纏繞之前，人工對芯模兩端臺階部分和對應封頭臺階進行鋪貼，以達到自動化纏繞表面連續光滑要求，同時起到固定封頭的作用。封頭增加纏繞輔助部分，纏繞輔助部分長度等于一個膠帶寬度加1 mm ，保證筒段有效段材料豐滿。分析可知，完成人工鋪貼后，包含手工鋪貼膠帶的芯模筒段直段部分為標準圓柱體，兩端半徑變化部分為連續光滑回轉曲面，此時芯模是母線為曲線的變曲率回轉體。

纏繞中使用的壓輥是基于實際需求設計的母線為橢圓的凹面壓輥。直段纏繞過程中，壓輥姿態如圖2所示。

如圖3所示，當壓輥位于芯模變曲率部分時，不僅需要轉動纏繞角α，同時還需要轉動一個位姿角β，使得壓輥軸線與芯模某一點 T 的法向量垂直，且壓輥母線中點與芯模該點保持一定距離 l0，此時壓輥以工作姿態位于芯模 T點處，T點為位置點。

1.2 接觸區域典型面受力分析

圖2中 B-B 截面為正壓力面，在纏繞過程中，待纏繞膠帶上的所有點均在經過該平面時承受最大應力，因此，當該平面內的應力滿足粘接質量的最小應力要求時，即可保證膠帶整體滿足粘接質量要求。

在正壓力面內，壓輥的母線方程為：

芯模截面輪廓線方程為：

式中： W 為膠帶寬度;R0為最小芯模半徑;R1為當前芯模的半徑。

絕熱層的受力變形情況如圖4所示，正壓力面內絕熱層的變形δm 為：

式中：δ0為正壓力面內絕熱層中間位置的變形量;n 表示當前纏繞絕熱層層數;h 為絕熱層厚度。

把y0與y1代入式（3），得到應力 q （x ）為：

式中：E 為絕熱層的彈性模量。

當壓輥在芯模變曲率部分纏繞時，無法得到應力分布的解析解，需要使用 Matlab 進行數值計算。如圖5所示，在壓輥以工作姿勢遍歷芯模變曲率部分母線上所有點的過程中，比較壓輥母線左端點與芯模表面的距離Cn，得到其中的最大值L，該位置點為Tn：

在芯模變曲率部分纏繞過程中，當壓輥位于位置 Tn時，壓輥與芯模的間隙最大，即如果在該位置可以滿足粘接質量的最小應力要求，則變曲率部分的任意位置均能滿足要求。故將位置 Tn 稱為變曲率部分的典型位置。

此時絕熱層表面的變形δ為：

式中：

正壓力面內的應力 q （x ）為：

可以看出，當壓輥在最小尺寸芯模上纏繞時，正壓力面內的應力分布較為均勻，當壓輥在其他尺寸芯模上纏繞時，最小應力均出現在壓輥中間位置。總體來說，橢圓凹面壓輥顯著優化了纏繞時的壓力分布，相比傳統柱面壓輥降低了膠帶邊緣脫粘出現的概率，有助于提高粘接質量。

2 Hertz接觸理論

在接觸力學領域中，Hertz接觸理論是經典的解決兩個彈性體間的接觸問題的理論。使用該理論時，需要滿足下面的條件：（1）接觸體具有連續光滑的表面，即在接觸區域及附近不能存在尖銳突起;（2）接觸的兩個物體都是各向同性的彈性體，且在接觸區域內僅存在彈性變形;（3）兩接觸體為非密合接觸，即接觸區域相對于發生接觸的兩個物體本身非常小[9-10] 。但是在現實生活中大多問題很難同時滿足以上所有前提條件，所有在工程中需要做一些近似處理。

兩圓柱軸線平行的接觸如圖6所示。當兩圓柱沿素線相互接觸時，在接觸區域內，滿足變形協調方程：

式中：ω為變形量之和;δ為未變形時接觸區域附近某點兩圓柱表面在y 軸方向上的距離。

這時相互接觸的兩圓柱在接觸區域內的等效彈性模量 E 可以根據下面的公式計算l（x）[11]：

式中：E1和 E2分別為相互接觸的兩圓柱的彈性模量;v1和v2為泊松比。

接觸區域的曲率半徑 R 為：

式中：R1和 R2分別為相互接觸的圓柱的半徑。

接觸區域顯然是矩形，其半寬度 b 為[12]：

式中：P為外加載荷。

最終可以得到，在接觸區域內，壓力p（x）為：

由于絕熱層粘接質量對于粘接強度要求很低，所以纏繞壓力較小，接觸區域相較于壓輥以及芯模都非常小，壓輥與絕熱層的接觸可以較好地滿足Hertz接觸的假定條件。

3 纏繞壓力控制

3.1 芯模直段纏繞壓力分析

在芯模直段部分絕熱層纏繞成型過程中，由于壓輥與芯模之間復雜的空間關系，使得Hertz接觸理論不能夠直接使用。

考慮到真實纏繞情況比較類似于雙柱體線接觸形式，所以，可以沿壓輥軸線方向取一個小的微分段 dx，如圖7所示。

在該微分段內，建立圖中的坐標系，該該微分平面內的擠壓變形量 δ 為：

式中： δm 為當前微分平面內壓輥進入絕熱層的最大深度。

ρ1 為壓輥的曲率半徑：

ρ2 為絕熱層外表面的曲率半徑：

接觸區域的半寬度b為：

根據胡克定律，可得應力 p（y） 分布為：

在微分平面內， y =0位置的變形最大，該位置變形δm 為：

故最大應力 pmax 為：

在微分面內，對應力p 進行積分，可以求得膠帶在dx 微分平面內的線壓力為：

得到線壓力 P 后，可以沿壓輥軸線方向上再次進行積分，即可求得纏繞壓力 F：

最終得到壓輥在芯模直段纏繞時的壓力 F 可由下式進行計算：

式中ρ滿足：

3.2 芯模變曲率部分纏繞壓力分析

以下分析基于壓輥位于芯模變曲率部分的位置 Tn，在正壓力面內建立如圖8所示坐標系。

絕熱層表面= （u， v）是芯模表面2= 2（u， v）向外等距 n ?h 得到的，而壓輥表面為 fx， y， z=0，此時接觸區域的邊界 g1（x， y， z）=0為：

接觸區域在xoz 平面上的投影邊界 g1（x， z）=0為：

式中： H（x， z）=0是包含接觸區域邊界 g1（x， y， z）=0的y 軸方向的柱面。

在 g1（x， z）=0所包圍的區域為 Sc 內，當正壓力面內壓輥母線中點沿其支撐軸線壓入絕熱層深度達到δ0時，區域內的表面變形分布為δ（x， z），則此時其應力分布 q（x， z）為：

接下來計算纏繞壓力，由于應力為離散數據，應力積分便轉化為了離散區域的密集求和，將 Sc 區域進行劃分，首先沿壓輥軸線均勻劃分為 k 列，每列劃分為 l 行，當 k 和 l 足夠大時，即可逼近真實纏繞壓力 F ，即：

式中：Snm 為第 n 列中的第 m 個單元的投影面積，且滿足Snm = Sc ;qnm 為該單元表面的應力。

在實際纏繞過程中，纏繞壓力是纏繞恒壓系統設計時所需要的關鍵力學參數，通過壓力控制系統可以避免纏繞過程中由于意外情況而產生的壓力突變，保證纏繞成型質量。

4 有限元仿真驗證

4.1 有限元模型建立

為了驗證前面所建立的纏繞壓力數學模型的正確性，需要使用 ABAQUS有限元仿真分析軟件。

在整個纏繞過程中，壓輥、膠帶與芯模所構成的系統一直處于靜平衡狀態，可以簡化為靜力學分析。壓輥與芯模的彈性模量相差了4個量級，可以將壓輥看作是剛體來簡化仿真計算，提高計算效率。由于研究的是壓輥與絕熱層表面的之間的接觸，所以此時可以將芯模簡化為絕熱層內表面的固定約束，如圖9所示。

為了得到盡可能精確的計算結果，同時又不因此而浪費大量的計算時間，對絕熱層的接觸區域的網格劃分地更加密集，將該區域的絕熱層網格單元寬度設置為0.2 mm ，如圖10所示。

4.2 仿真結果分析

在仿真分析過程中，通過建立首層纏繞以及第二層纏繞的仿真模型，分別計算了兩組模型中，壓輥母線中點沿其支撐軸線壓入絕熱層的深度與纏繞壓力之間的關系。

當壓輥位于芯模直段部分纏繞時，在壓輥壓入絕熱層不同深度的情況下，有限元仿真得到的纏繞壓力值如表1所示。

當壓輥位于芯模變曲率位置纏繞時，在壓輥壓入絕熱層不同深度的情況下，有限元仿真得到的纏繞壓力值如表2所示。

將有限元仿真結果與前面建立的纏繞壓力數學模型計算得到的曲線進行對比，得到的纏繞壓力與變形量的關系如圖11所示。經驗證，通過數學模型計算出的纏繞壓力與仿真得到的纏繞壓力在壓輥纏繞情況工作范圍內趨勢相同，且兩者的誤差較小，有實用價值，即可以在生產實踐中根據壓輥壓入絕熱層的深度得到較為準確的纏繞壓力值。

5 結束語

通過對纏繞過程中的絕熱層擠壓變形行為的研究，結合建立的芯模、絕熱層和纏繞壓輥的曲面模型，分析了絕熱層的擠壓變形規律，推導出絕熱層表面應力分布情況，并基于Hertz接觸理論通過微積分方法計算得到了纏繞壓力，建立了纏繞壓力的數學模型。最后使用 ABAQUS進行了有限元仿真，結果表明，基于Hertz接觸理論的纏繞壓力模型可以較好地描述纏繞壓力，從而驗證了理論分析的正確性以及纏繞壓力數學模型的有效性。為絕熱層纏繞成型粘接質量的控制以及軌跡規劃提供理論支撐，為恒壓控制系統的設計提供了相關力學參數。

參考文獻：

[1]凌玲， 陳德宏，周俊，等.芳綸纖維對 EPDM 絕熱層燒蝕性能的影響[J].固體火箭技術，2019，42（4）：529-533.

[2]王明超，王敏， 陳雯，等.有機短纖維用量和取向對 EPDM絕熱層性能的影響[J].固體火箭技術，2018，41（5）：646-649.

[3]劉昊東，聶晶，朱光明，等. POSS改性 EPDM耐燒蝕復合材料的制備及性能[J].固體火箭技術，2019，42（6）：717-723.

[4]王樂，馮喜平， 陳嘉輝，等.兩相環境 EPDM 絕熱層多因素耦合燒蝕預估[J].固體火箭技術， 2021（3）：1-9.

[5]柴暢，許朝華.帶式輸送機橡膠擠壓阻力與載荷的關系研究[J].礦山機械， 2009， 37（17）：48-51.

[6]周麗春，謝洋，金福江，等.預縮機擠壓區域橡膠毯徑向長度模型[J].紡織學報，2012， 33（12）：85-88.

[7]竇明月.面向自動鋪絲過程中 Nomex蜂窩芯靜態壓縮變形的研究[D].南京：南京航空航天大學， 2019.

[8]康超.預浸帶纏繞成型筒形件關鍵性能建模及其工藝參數優化設計[D].西安：西北工業大學，2018.

[9]蓋秉政.彈性力學（上冊）[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.[10]王光欽，丁桂保，楊杰.彈性力學[M].北京：清華大學出版社，2015.

[11]陳春蘭， 蘇爾敦，王會利，等.基于 Abaqus有限元軟件的橡膠結構仿真分析[J].結構強度研究， 2014（2）：57-60.

[12] Williams J A， Dwyer-Joyce RS. Modern tribology handbook[M]. CRC Press，2001.

第一作者簡介：段鵬軒（1995-），男，碩士研究生，研究領域為機械工程。

※通訊作者簡介：侯增選（1964-），男，教授，博士生導師，研究領域為自動化纏繞成型工藝與裝備研制等。

（編輯：王智圣）