以動馭靜：“圖形與幾何”教學(xué)策略例談

【摘? ?要】在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，要培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)動變化”的圖形意識和思維習(xí)慣，培養(yǎng)空間觀念。為此可采用以下教學(xué)策略：動態(tài)研究臨界圖形;動態(tài)研究“定格”圖形;動態(tài)展示圖形的演變和“形成過程”;探索圖形網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系，動態(tài)剖析“圖形轉(zhuǎn)化”。

【關(guān)鍵詞】動態(tài);圖形與幾何;教學(xué);策略

學(xué)生在計算表面積、體積等時，往往只是記憶靜態(tài)的公式，不會對實際問題進(jìn)行動態(tài)想象，在進(jìn)行幾何形體的現(xiàn)實原型與它們的特征之間“刺激—反應(yīng)（聯(lián)想）”時存在障礙。教師在“圖形與幾何”教學(xué)中雖然也注重學(xué)具操作，但很少讓學(xué)生用運(yùn)動變化的眼光觀察圖形，很少引導(dǎo)學(xué)生畫圖并在各種背景中識別基本圖形，導(dǎo)致學(xué)生不能動態(tài)地想象出改造后的圖形，“文圖轉(zhuǎn)譯”存在困難。

“以動馭靜”是指用“運(yùn)動變化”的觀點(diǎn)看待靜止的圖形，利用平移、旋轉(zhuǎn)和分割等方式對圖形進(jìn)行改造，形成新圖形，并進(jìn)行有效聯(lián)想，構(gòu)建圖形之間的關(guān)聯(lián)，借以培養(yǎng)學(xué)生的動態(tài)想象能力和空間觀念，其教學(xué)策略舉例如下。

一、探究圖形屬性——動態(tài)研究“臨界圖形”

“臨界圖形”指的是靜止圖形通過某種運(yùn)動形成的特殊圖形。如梯形的底邊在運(yùn)動時形成上底為0或上下底相等的特殊圖形。

如在“平面圖形面積復(fù)習(xí)”的教學(xué)中，可以出示問題：高是4cm，面積是12cm2的梯形有哪些？梯形在上底變小、下底變大的運(yùn)動過程中會出現(xiàn)“臨界”圖形“三角形”;在上底變大、下底變小的過程中會出現(xiàn)“臨界”圖形“平行四邊形”。因此可以用梯形面積公式計算三角形面積和平行四邊形面積：（0+6）×4÷2=12，（3+3）×4÷2=12。在兩個“臨界點(diǎn)”，即上底為0時和上下底相等時，讓學(xué)生通過“觀察→想象→比較研究‘臨界圖形”這一過程，把握不同圖形之間的共同性質(zhì)。由于“臨界圖形”不屬于梯形，學(xué)生在厘清面積與長度變量之間的關(guān)系后就能回答有哪些梯形的問題。

二、辨析圖形本質(zhì)——動態(tài)研究“定格”圖形

“定格”圖形指的是靜止圖形在某個運(yùn)動中瞬間的狀態(tài)，就像拍照定格下來一樣。利用“定格”圖形，可以辨析圖形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

如在“角的初步認(rèn)識”的教學(xué)中，教師在黑板上描一個三角尺上的角，用不同顏色的粉筆（紅、黃、藍(lán)）把兩邊延長三次，以代替邊延長過程中的三次“定格”。教師先讓學(xué)生觀察三個“定格”角，猜想角的大小變了嗎，并用三角板的角進(jìn)行驗證。接著用黑板擦把從三角尺上描下來的角的邊擦短三次作為三次“定格”，引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行猜想與驗證，從而直觀感受角的大小與邊的長短沒有關(guān)系。

利用“定格”圖形，可使學(xué)生在直觀、反復(fù)驗證中，不斷修正認(rèn)識，形成正確認(rèn)知。

三、探尋靜圖運(yùn)動演變——動態(tài)展示“形成過程”

通過設(shè)計圖形的動態(tài)形成，包括圖形的建構(gòu)、解構(gòu)與重構(gòu)，向?qū)W生直觀清晰地展示概念的發(fā)生、發(fā)展、變化和演進(jìn)的過程。

（一）圖形建構(gòu)——指畫合一

教師在指導(dǎo)低段學(xué)生畫圖時，要讓他們了解畫圖的過程，一般是用手指比畫。指畫合一是指比畫與圖形畫法一致。

如在“角的初步認(rèn)識”教學(xué)中，要讓學(xué)生畫角，先讓學(xué)生比畫。先指頂點(diǎn)再指兩邊，然后學(xué)生自主畫角，出現(xiàn)錯誤。教師示范畫角，學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)規(guī)范的畫角方法與指角方法一致。

動作是思維的外化，必須準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)。指角與畫角都基于角的本質(zhì)概念，當(dāng)二者表達(dá)一致時，學(xué)生對角的組成就會有清晰的認(rèn)識。

（二）圖形解構(gòu)——合理分割

通過圖形的分割變化，揭示圖形之間的相互聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會圖形的轉(zhuǎn)化。

如人教版四年級下冊“多邊形內(nèi)角和”中有一道練習(xí)：想辦法求六邊形的內(nèi)角和。教師把學(xué)生的典型分割法畫到黑板上（如圖1），按分割的三角形數(shù)量分成三類并編上序號。課中對分割三角形的路徑進(jìn)行了兩次探究，第一次是整體觀察，把線段中途交叉、頂點(diǎn)交叉和邊交叉三種分割法進(jìn)行對比，只有像②這樣分，才能保證所分的三角形的內(nèi)角和就是六邊形的內(nèi)角和。第二次是聚焦②號線段頂點(diǎn)交叉的分法進(jìn)行比較，觀察同樣是分割成4個三角形，哪種分法更方便，尋求合理簡潔的分割方法解決問題。

（三）圖形重構(gòu)——化零為整

關(guān)注圖形特點(diǎn)，通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、對稱等方式重組圖形，將“問題”圖形重組成規(guī)則圖形，以利計算。

如“長方體和正方體的表面積”的練習(xí)題，求出如圖2中物體的表面積，學(xué)生計算、反饋。

算式一：[25×12+25×6×2+12×6×2+（25×12-12×12）]+12×12×5=1620（cm2）;算式二：（25×12+25×6+12×6）×2+12×12×4=1620（cm2）。

算式二的方法較為簡潔，采用動態(tài)手法，將正方體的上面向下平移“借”給下面的長方體，長方體的表面從“殘缺”到完整，正方體還剩4個面。

將圖形進(jìn)行分解組合等變形，化靜態(tài)為動態(tài)，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，可以獲得更簡潔的解法。

四、探索靜圖網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系——動態(tài)剖析“圖形轉(zhuǎn)化”

圖形之間有內(nèi)在聯(lián)系，圖形概念網(wǎng)絡(luò)的豐富性與穩(wěn)定性直接影響著學(xué)生對圖形的理解?？蓪D形放在運(yùn)動變化中，挖掘內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化的方式。

（一）構(gòu)建動態(tài)關(guān)聯(lián)

不同知識之間是有聯(lián)系的，圖形之間也是有內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系的。

如“平面圖形面積”的復(fù)習(xí)課中，可以以長方形為核心圖形，根據(jù)面積推導(dǎo)過程構(gòu)建關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);也可以以梯形為核心圖形，根據(jù)圖形變化特征與圖形面積之間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);還可以以三角形或平行四邊形作為核心圖形（如圖3）。

在小學(xué)所學(xué)的多邊形中，無論是面積公式的推導(dǎo)過程，還是面積的計算公式，都有相通之處。其中的倍積變換和等積變換，都含有運(yùn)動、轉(zhuǎn)化、聯(lián)系的思想。

（二）在變中體會不變

在圖形的運(yùn)動變化中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考圖形的“不變因素”。

如“面積和面積單位”的教學(xué)中，把1dm2的正方形剪成兩部分再拼，在變化中感受面積守恒的不變屬性，同時感受用面積單位測量面積的合理性。又如在方格紙中畫出4cm2的圖形。在圖形變形與面積累加中提供直觀支持，幫助學(xué)生全面理解面積含義，提升應(yīng)用水平（如圖4）。

在圖形的動態(tài)“變化”中，學(xué)生關(guān)注了各知識點(diǎn)的聯(lián)系，建構(gòu)了深層次的認(rèn)知體系。

（三）動態(tài)展示圖形軌跡

在教學(xué)中，要將“運(yùn)動圖形”借助圖像與符號語言“有形”地表達(dá)出來，以便學(xué)生清晰而準(zhǔn)確地把握動態(tài)圖像的本質(zhì)屬性。

以“旋轉(zhuǎn)”一課動態(tài)表達(dá)軌跡為例，直角三角形ABC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，先研究BC上的點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)情況（如圖5），方法是在BC邊上取一點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)以后轉(zhuǎn)到B? ?'C? ?'上的點(diǎn)D? ?'，驗證∠D? ?'AD=90°，取其他點(diǎn)驗證結(jié)論也一致。從而得出BC邊上的點(diǎn)確實也轉(zhuǎn)了90°，BC邊也旋轉(zhuǎn)了90°。再研究三角形內(nèi)部的點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的情況，可以通過課件演示，在三角形內(nèi)部找多個點(diǎn)驗證。最后得到結(jié)論，旋轉(zhuǎn)過程中，三角形位置變了，大小不變，形狀不變。

旋轉(zhuǎn)圖形，能幫助學(xué)生尋找、剖析三角形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動圖形的變與不變。

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（浙江省杭州錢塘新區(qū)義蓬第四小學(xué)? ?311225）