找準體驗點，讓學生真正明白

馬玨

【摘? ?要】數學概念是小學生學習數學知識的基礎，當數學概念的抽象概括特征“碰上”小學生的具體形象思維，就需要找準概念的“體驗點”，讓學生經歷完整學習概念的過程，即從“它是什么（概念理解）”到“怎么得到它（方法層面）”再到“它有什么用（問題解決）”，從而進行意義的自主建構，真正“明白”概念。

【關鍵詞】方程教學;體驗點

數學概念是小學生學習數學知識的基礎。數學概念具有抽象概括的特征，而小學生又處于具體形象思維的階段，因此在概念教學中要讓學生真正明白，不能僅靠知識傳授，需要找準體驗點，即學生學習時的困惑之處，讓他們不斷地去感悟和理解，從而實現意義的自主建構。人教版教材五年級上冊安排了“方程的意義”教學單元，這是概念教學的重要內容，體現在：一方面，小學階段學生大多運用算術方法解決問題，這是學生第一次接觸代數思想;另一方面，方程在中學會進一步展開學習，這是為中小學數學教學的銜接做好準備。

在方程教學中可以抓住三個概念理解的體驗點，促進學生真正明白。

一、承接“用字母表示數”的認識，明白方程的意義

方程的意義是什么？一些教學只停留在對方程外在形式的認知上，反復強調讓學生找到“=”，找到“字母”，這樣的式子就是方程。而找的目的在于判斷一個式子是不是方程，這是一種顯性知識的教學。方程的意義的本質在于讓學生經歷方程的形成過程，明白為什么式子中會出現字母，這個字母有什么用，式子表示的是一種怎樣的關系，這種關系最終要解決什么問題。也就是說，要更加重視隱性知識的教學。學生在前期“用字母表示數”的學習中，已經知道不確定的數用字母表示，可以用含有字母的式子表示數量之間的關系。方程的意義的教學要承接“用字母表示數”的學習經驗，順勢而學，讓學生真正明白。體驗過程可以通過兩組材料的呈現進行設計。

（一）出示第一組材料，初步感悟

教師出示第一組材料（如圖1）并引導：找一找這組材料的規律，用式子把三個數之間的關系表示出來。

生：10+9=19;8+15=23;a+12=15。

師：第三個式子為什么用到了字母？

生：因為有個數不知道，可以用字母來表示。

師：“a+12”表示什么？

生：a與12相加。

師：這三個式子都表示了一種什么關系？

生：上面兩個數相加的和與下面的數相等。

師：這里的“=”表示左邊的結果等于右邊，是一種相等關系。

（二）出示第二組材料，再次感悟

教師出示第二組材料（如圖2）并引導：繼續找一找這組材料的規律，用式子把三個數之間的關系表示出來。

生：4×9=36;7×8=56;b×5=45。

師：這三個式子都表示了一種什么關系？

生：上面兩個數相乘的積與下面的數相等。

師：也表示了一種相等關系，可以用“=”聯結。

（三）兩組材料的對比與討論

師：像這些表示相等關系的式子，我們稱為“等式”。10+9=19，8+15=23，a+12=15，4×9=36，7×8=56，b×5=45都是等式。在等式中有一些數量不知道時，可以用“字母”來表示，含有“未知數”的等式叫作方程，這里的“a+12=15”“b×5=45”都是方程。

師：方程中為什么要用字母表示未知數？

生：這樣能表示出數量之間的關系。

師：是一種什么關系？

生：相等的關系。

師：你能根據相等關系知道未知數是多少嗎？

生：能！ a是3，b是9。

師：方程用字母表示未知數，表示已知數和未知數之間的相等關系，這樣就能求出未知數。列方程是為了解決問題。

在上述教學過程中，通過兩組材料的對比，學生主動用字母表示未知數，并列出字母式，表示已知數和未知數之間的關系。學生由此明白方程和等式的關系，方程都是等式，只是其中有一些數量不知道;進一步明白方程的意義是表示已知數和未知數之間的相等關系，從而求出未知數解決問題。

二、基于方程的意義，明白列方程的關鍵點

怎么列方程？在以往的教學中發現：學生在設未知數時往往是求什么設什么，不思考為什么要這么設;對于找等量關系普遍感到困難，列不出方程;出現了套“模式”的現象。教學時，教師不必拘泥于列方程解決問題的若干類型，應該基于方程的意義，加深學生對列方程的兩個關鍵點的體驗，即“用字母表示未知數”“找到未知數和已知數之間的相等關系”，以有效突破難點。體驗過程可以通過三組材料的呈現，設計如下。

（一）出示第一組材料，明確兩個關鍵點

師：什么是方程？

生：方程表示未知數和已知數之間的相等關系。

生：用字母表示未知數，可以求出方程中的未知數解決問題。

師：下面圖（如圖3）中的未知數表示什么？你能找到等量關系嗎？請你嘗試著列出方程。

生：左邊這個圖中小貓的質量不知道，用x表示。“小貓的質量+球的質量=盒子的質量”，方程是“x+0.5=2.5”。

生：右邊這個圖中球的質量不知道，用x表示。“兩個球的質量=砝碼的質量”，方程是“2x=50”。

（二）出示第二組材料，分析等量關系

師：沒有了天平，你還能找到未知數和已知數之間的等量關系，列出方程嗎？

教師出示圖4，請學生回答。

生：從左邊這個圖中，可以看出“原價-優惠=現價”，方程是“x-45=128”。

生：右邊這個圖的等量關系是“總質量÷數量=每杯質量”，方程是“x÷4=75”。

師：我們要分析已知數和未知數之間的關系，找到等量關系才能列出方程。

（三）出示第三組材料，感悟設未知數

教師出示圖5，請學生回答。

師：想一想，這里設什么量為“x”呢？

生：設2個熱水瓶裝水的質量為x? g。

生：其實只要設1個熱水瓶的裝水量為x? g，2個熱水瓶一樣，就可以用2x? g表示。

生：如果設2個熱水瓶的裝水量為x? g，求出x后除以2，也能知道1個熱水瓶的裝水量。

師：你們的意思是，如果要知道1個熱水瓶的裝水量，可以直接設它為x，用2x就可以表示2個熱水瓶的裝水量;當然，也可以間接設2個熱水瓶裝水的質量為x? g，然后將求出來的“x除以2”也能知道1個熱水瓶的裝水量。那么，為什么不設杯子的裝水量為x呢？

生：因為杯子的裝水量知道啊！應該設未知數為x。

師：我們設“1個熱水瓶裝水的質量為x? g”，等量關系是什么呢？請你列出方程。

生：等量關系是“2個熱水瓶的裝水量+杯子的裝水量=一壺水的裝水量”，方程是 “2x+75=2000”。

在上述教學過程中，通過第一組材料，學生借助天平，初步感悟列方程的兩個關鍵點是“設未知數”和“找到等量關系”;第二組材料去掉了天平的直觀圖式，學生需要自己分析未知數和已知數的等量關系，加深對等量關系的認識;第三組材料中沒有標出未知數，學生通過討論發現，根據需要，可以直接設要求的量為x，也可以先間接設相關的量為x，再求出要求的量，但是設的都是未知量，以此加深對設未知數的認識。

三、凸顯列方程的關鍵點，明白列方程解決問題的優越性

在教學中，學生往往會有這樣的疑惑：“這個問題我以前就會列算式解決，為什么還要學習用方程解決呢？”如果告訴學生，因為初中要學習這個內容，所以小學要先學習一下，學生一定不樂意，初中的內容可以初中學，列方程解決問題太麻煩啦！所以，必須要讓學生對列方程解決問題的優越性有所體驗。教師可以呈現以下兩個材料，組織學生展開討論。

（一）出示第一個材料，感悟順向思維

足球上黑色皮是五邊形，白色皮是六邊形。白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？

師：你會列方程解決問題嗎？

生嘗試解答：設黑色皮有x塊，等量關系是“黑色皮的塊數×2-4=白色皮的塊數”，方程是“2x-4=20”，求得x=12。

師：如果用以前列算式的方法解決，該怎么列式呢？

生：（20+4）÷2=12（塊）。

師：為什么信息中是“少4塊”，算式中反而是“+4”呢？

生（討論）：因為白皮是黑皮的“2倍少4塊”，所以需要反過來想，白皮要加上4塊才是黑皮的2倍，所以20要先加上4，再除以2，才是黑皮的數量。

師：列方程解決問題時需要這樣反過來想嗎？

生（討論）：不需要，因為根據白皮是黑皮的“2倍少4塊”，可以直接列出等量關系“黑色皮的塊數×2-4=白色皮的塊數”，得到方程“2x-4=20”。

師：列方程解決這個問題和列算式解決這個問題，有什么不一樣？

生（討論）：列方程解決問題是順著思考的，用算式解決問題需要反過來想。

師：列算式解決這樣的問題時，因為要反過來思考，所以老是有同學出錯;列方程解決問題就可以避免這樣的錯誤，你們感受到了嗎？

（生一致認同）

（二）出示第二個材料，感悟未知數可以作為條件使用

籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

師：這是我們熟悉的雞兔同籠問題，以前是怎么解決的？

生：用假設法解決。

師：學習了列方程解決問題，你能再試試看嗎？

學生嘗試用方程解決：設兔子有x只，雞有（8-x）只;等量關系是“雞的腳數+兔的腳數=一共的腳數”;方程是“4x+2（8-x）=26”，求得x=5，雞為8-x=3。

師：為什么我們以前要用假設法解決雞兔同籠問題？

生（討論）：因為雞的只數和兔的只數都不知道，所以只能先假設，再調整。

師：列方程解決時，為什么可以列出等式？

生（討論）：因為將兔子設為x只，雞就可以表示為（8-x）只，所以就能表示出兔子的腳數和雞的腳數，列出等式啦！

師：用字母表示未知量，可以當作條件進行使用，所以列方程能解決比較復雜的問題，將問題變得簡單，以后你們會有更多的體會。

在上述教學過程中，通過第一個材料，學生嘗試列方程解決易錯的問題，在兩種方法的對比中發現，根據等量關系列出方程，是一種順向思維，有時候比列算式更容易理解題意;在第二個材料的討論中，學生嘗試列方程解決較復雜的問題，在老題新做的對比中發現，列方程解決問題時未知數也可以作為條件使用，可以將問題簡單化。

上述方程教學時的三個體驗點，體現了種子課教學的理念，一個完整的概念學習需要包含三個部分，即讓學生明白“它是什么（概念理解）”“怎么得到它（方法層面）”“它有什么用（問題解決）”。除此之外，還有一些體驗點也是需要在教學中關注的。例如：為什么要用等式的性質解方程，而不用四則運算的關系來解方程？同樣的等量關系可以列出不同的方程來解決，但形如“x=”這樣的方程為什么沒有意義，等等。這些都是學生不斷深入學習后產生的更為細化的問題，需要在后繼學習中逐步解決。

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