“乘法分配律”中美教材自學(xué)效果比較研究

白靈

【摘? ?要】對學(xué)生使用中美教材自學(xué)乘法分配律的結(jié)果分析可知，自學(xué)加州版教材（美）后會(huì)解釋規(guī)律的學(xué)生人數(shù)更多，而自學(xué)北師大版教材（中）后會(huì)正向應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡便計(jì)算的效果更好。通過比較，對教材的編寫提出建議：用面積模型作為引入，適當(dāng)調(diào)整例題題型。

【關(guān)鍵詞】乘法分配律;教材;自學(xué)效果

數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)課程最為重要的資源，直接影響教師的教與學(xué)生的學(xué)。[1]不同版本的教材都有自己的特點(diǎn)，本研究試圖從實(shí)證的角度，分析學(xué)生在自學(xué)中美教材有關(guān)“乘法分配律”的內(nèi)容后對這一知識(shí)的掌握情況，并得到教材編寫的啟示。

一、研究對象與方法

（一）研究對象

考慮到比較對象的典型性和代表性，本文選用的是2013年教育部審定的北京師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“北師大版教材”）以及由McGraw-Hill公司于2008年出版的California Mathematics（以下簡稱“加州版教材”）。兩個(gè)版本教材中“乘法分配律”的教學(xué)內(nèi)容如下。

【北師大版教材】

（1）呈現(xiàn)廚房貼瓷磚情境圖（如圖1）。

（2）呈現(xiàn)問題及計(jì)算方法。

問題：“貼了多少塊瓷磚？說說你是怎么算的。”

第一組方法：3×10+5×10? （3+5）×10

第二組方法：4×8+6×8? ? ? （4+6）×8

（3）引導(dǎo)：“觀察上面兩組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？”

（4）引導(dǎo)：“用a、b、c代表三個(gè)數(shù)，你能寫出上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？想一想，認(rèn)一認(rèn)。”給出字母表示“（a+b）×c=a×c+b×c”，并用泡泡圖的方式，請“智慧老人”說“這是乘法分配律”。

（5）引導(dǎo)說明運(yùn)算律成立（如圖2）。

（6）練習(xí)。

【加州版教材】

（注：加州版教材中的文字部分已經(jīng)做了翻譯）

（1）教材左側(cè)用標(biāo)簽的形式呈現(xiàn)“學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)在方程和等式里使用分配律”，并提示“5年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)：在有變量的方程和等式中了解并使用分配律”。

（2）正文第一部分為“小型實(shí)驗(yàn)室”。

先給出問題“任選下面的一種方法，求出兩個(gè)矩形面積之和”，然后給出不同的計(jì)算方法（如圖3）。

提示語：“你發(fā)現(xiàn)4×（6+3）=36，你也發(fā)現(xiàn)（4×6）+（4×3）=36，所以4×（6+3）=（4×6）+（4×3）。”

操作提醒：“①畫一個(gè)模型圖表示2×（4+6）=（2×4）+（2×6）。②寫出一個(gè)與2×（5+7）相等的式子，解釋你這樣寫的原因。”

（3）正文第二部分給出關(guān)鍵概念。

先介紹“分配律包含加法和乘法”，然后分別用文字和符號(hào)（包括數(shù)字和字母）給出乘法分配律的形式。文字表示大致為：“一個(gè)數(shù)乘以和，就是每個(gè)加數(shù)分別和括號(hào)外的數(shù)相乘。”數(shù)字與字母的表示為。

（4）正文第三部分是使用分配律的例子，包含計(jì)算中的例子和生活中的例子。

計(jì)算中的例子是“4×58=4×（50+8）”，并在計(jì)算過程中提醒每一步計(jì)算的依據(jù)。大致如圖4所示。

生活中的例子是“有超過一千萬人在舊金山的漁人碼頭參觀過蠟像。蠟像博物館的門票是每個(gè)學(xué)生5美元，公共汽車票是每個(gè)學(xué)生3美元，30個(gè)學(xué)生一共應(yīng)付多少美元？”教材同樣呈現(xiàn)了兩種方法，同時(shí)在使用分配律計(jì)算的時(shí)候給出每一步的計(jì)算依據(jù)（如圖5）。

（二）研究方法

選取由同一位教師任教的兩個(gè)平行班進(jìn)行等組對比實(shí)驗(yàn)，A班學(xué)生使用北師大版教材自學(xué)“乘法分配律”內(nèi)容，B班學(xué)生使用加州版教材自學(xué)“乘法分配律”內(nèi)容，時(shí)間為30分鐘，無引導(dǎo)和討論，在自學(xué)前后進(jìn)行檢測。兩次檢測收回有效問卷為A班（51/50）、B班（49/47）。對學(xué)生的回答按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)分類、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)后進(jìn)行分析比較。

二、研究結(jié)果與分析

乘法分配律是客觀存在的運(yùn)算規(guī)律，兩個(gè)版本教材的呈現(xiàn)均重點(diǎn)著力于規(guī)律的表示、解釋和應(yīng)用三個(gè)方面。因此，本研究聚焦以下四個(gè)主要問題。

（一）兩個(gè)班級(jí)會(huì)表示規(guī)律的人數(shù)是否有差異

會(huì)表示規(guī)律指學(xué)生能用自己喜歡的方式正確表示乘法分配律，可以是文字描述、符號(hào)表達(dá)等方式。A班在自學(xué)前、后能正確表示規(guī)律的人數(shù)分別為6人、28人，B班分別為4人、31人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)班級(jí)在自學(xué)前會(huì)表示規(guī)律的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.360，p>0.05]，表示兩個(gè)班具有可比性，在自學(xué)后差異也不顯著[c2（1，N=97）=1.008，p>0.05]。

以上分析說明，這兩個(gè)版本的教材對學(xué)生自學(xué)后是否會(huì)表示乘法分配律無顯著影響，可能是因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)交換律和結(jié)合律時(shí)，積累了大量表示規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，所以對這一內(nèi)容較易遷移掌握;雖然在“表示規(guī)律”的呈現(xiàn)上，加州版教材多了文字描述這一內(nèi)容，但分析學(xué)生的回答后發(fā)現(xiàn)，即使是用加州版教材自學(xué)的學(xué)生，也只有個(gè)別愿意選擇用文字描述規(guī)律，且很難描述清楚。由此看來，用文字描述規(guī)律對小學(xué)生來說的確太過困難，所以北師大版教材對這一內(nèi)容并沒有要求[4]。

（二）兩個(gè)班級(jí)會(huì)解釋規(guī)律的人數(shù)是否有差異

會(huì)解釋規(guī)律指學(xué)生對乘法分配律的等式能做出正確的意義解釋。A班在自學(xué)前、后能做出正確解釋的人數(shù)分別為3人、20人，B班分別為3人、30人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)班級(jí)在自學(xué)前會(huì)表示規(guī)律的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.003，p>0.05]，表示兩個(gè)班具有可比性，在自學(xué)后B班會(huì)解釋規(guī)律的人數(shù)顯著高于A班[c2（1，N=97）=5.508，p<0.05]。

也就是說，自學(xué)加州版教材后，能正確解釋規(guī)律的人數(shù)更多。

（三）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生解釋規(guī)律的方法是否有差異

在解釋規(guī)律方面，兩個(gè)班級(jí)有顯著差異，那么在方法上是否也有差異呢？由于兩個(gè)版本教材在“規(guī)律解釋的方法”呈現(xiàn)上有不同側(cè)重，學(xué)生共出現(xiàn)了以下五種解釋方法：計(jì)算結(jié)果、點(diǎn)子圖、乘法意義、面積模型、生活實(shí)例（如圖6），其中后四種為正確的意義解釋方法。

通過以上對比分析可以發(fā)現(xiàn)，在解釋規(guī)律時(shí)，使用加州版教材自學(xué)的學(xué)生正確人數(shù)多但方法單一，使用北師大版教材自學(xué)的學(xué)生正確人數(shù)少但方法多元，這和教材的呈現(xiàn)內(nèi)容不無關(guān)系。加州版教材先由面積模型引入，緊接著設(shè)置兩個(gè)小問題啟發(fā)學(xué)生模仿使用面積模型解釋規(guī)律，集中的練習(xí)使學(xué)生對這一方法掌握牢固。而北師大版教材對規(guī)律的引入和解釋相互獨(dú)立，學(xué)生可能對內(nèi)容之間的聯(lián)系似懂非懂，所以雖然有用點(diǎn)子圖和乘法意義解釋規(guī)律的學(xué)生，但數(shù)量卻不多。從乘法意義的角度理解規(guī)律，北師大版教材在二、三年級(jí)已有鋪墊，但學(xué)生自學(xué)后掌握的情況依舊不樂觀，可能是鋪墊時(shí)并沒有出現(xiàn)“乘法分配律”這個(gè)名稱，讓學(xué)生在自學(xué)時(shí)難以對舊知實(shí)現(xiàn)自動(dòng)鏈接。

（四）兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生會(huì)應(yīng)用規(guī)律的人數(shù)是否有差異

在規(guī)律的應(yīng)用方面，本研究主要考查兩個(gè)方面：第一，應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算，包括規(guī)律的正向和逆向應(yīng)用。對于a×（b+c）=a×b+a×c，將等式左邊轉(zhuǎn)化為右邊的形式進(jìn)行計(jì)算稱為正向應(yīng)用，逆向應(yīng)用則剛好相反;第二，結(jié)合規(guī)律解決實(shí)際問題。對給出的諸如服裝購買的問題，學(xué)生能否給出兩種解法并做出正確的意義解釋。

1.應(yīng)用規(guī)律簡算的人數(shù)是否有差異

兩個(gè)班級(jí)在自學(xué)前、后會(huì)應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡便計(jì)算的人數(shù)如表2所示。

兩個(gè)版本教材均有一道正向應(yīng)用規(guī)律的計(jì)算例題，而學(xué)生運(yùn)用北師大版教材自學(xué)時(shí)正向應(yīng)用規(guī)律簡算方面的效果更好，這或許與數(shù)據(jù)選擇有關(guān)。北師大版教材的例題在使用乘法分配律時(shí)明顯降低了計(jì)算的難度，使得學(xué)生在自學(xué)時(shí)對規(guī)律的簡算用途更加明確，當(dāng)題中出現(xiàn)特殊的“配對數(shù)字”時(shí)，學(xué)生馬上就能提取規(guī)律加以應(yīng)用。而加州版教材的例題，即使不用乘法分配律也能口算得出答案，所以學(xué)生反而忽略了規(guī)律的應(yīng)用。在逆向應(yīng)用方面，加州版教材雖然沒有相關(guān)例題，但兩個(gè)班級(jí)差異不顯著，可能學(xué)生用不完全歸納法表示規(guī)律時(shí)，已有了觀察算式“形”的經(jīng)驗(yàn)，對算式中出現(xiàn)相同乘數(shù)時(shí)已能自主逆向應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡算。

2.應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問題的人數(shù)是否有差異

A班在自學(xué)前、后能正確解決實(shí)際問題的人數(shù)分別為5人、8人，B班為6人、11人。

對比兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)班級(jí)在自學(xué)前會(huì)應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問題的人數(shù)差異不顯著[c2（1，N=100）=0.152，p>0.05]，表示兩個(gè)班具有可比性，在自學(xué)后差異也不顯著[c2（1，N=97）=0.843，p>0.05]。

以上分析說明，不同版本的教材對學(xué)生自學(xué)后是否會(huì)正確解決實(shí)際問題并無顯著影響。分析學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生只會(huì)使用一種方法且難以與乘法分配律相聯(lián)系，可能教材呈現(xiàn)的大多是規(guī)律的符號(hào)性應(yīng)用，而從實(shí)際意義的角度理解規(guī)律并加以應(yīng)用的內(nèi)容，對學(xué)生來講自學(xué)難度比較大，需要教師在教學(xué)時(shí)加以點(diǎn)撥啟發(fā)后學(xué)生才能掌握。

三、啟示

通過上述分析，得到對我國“乘法分配律”教材編寫的兩點(diǎn)啟示。

（一）可用面積模型作為引入

通過對比發(fā)現(xiàn)，相較于北師大版教材鋪瓷磚的生活情境，加州版教材以面積模型引入，直觀簡潔，學(xué)生自學(xué)效果更好，且在解釋規(guī)律時(shí)，B班學(xué)生對面積模型的運(yùn)用也更靈活。因此，我國教材可以生活情境為背景，配合出示面積模型作為引入，既能降低自學(xué)難度，也對規(guī)律解釋的方法做了補(bǔ)充。如先呈現(xiàn)面積模型，在學(xué)生充分理解的基礎(chǔ)上，再向乘法意義、生活原型等方法發(fā)散，促進(jìn)方法間的融會(huì)貫通，加深對規(guī)律的多元理解。

（二）適當(dāng)調(diào)整例題題型

在應(yīng)用規(guī)律解決實(shí)際問題方面，兩個(gè)版本的教材，學(xué)生自學(xué)效果均不理想，即使加州版教材還有一道類似的例題，也并沒有表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢，說明學(xué)生在這類問題的自學(xué)上存在較大困難，并且對于逆向應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡便計(jì)算，學(xué)生似乎能“無師自通”。而北師大版教材僅出示兩道計(jì)算例題，將解決生活實(shí)際問題全部放在習(xí)題中，無疑增加了這類問題的理解難度。因此，建議前移實(shí)際問題，以此作為例題，將逆向應(yīng)用規(guī)律放在習(xí)題中，提高例題的“效率”，讓教學(xué)重點(diǎn)更加突出。

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡典順，薛亞喬，王明巧.中國和美國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中問題提出的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（4）：37-41.

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[3]Macmillan McGraw–Hill Education. California Mathematics（Grade 5）[M]. NewYork：MacmillanMcGraw–Hill Education，2008.

[4] 劉堅(jiān)，孔企平，張丹.義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

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