一道“極值點偏移”試題的解答之旅

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學 230000)

“極值點偏移”是高考數學的常見問題，但不少師生仍然覺得此類問題解法零碎、解題過程繁瑣，對此類問題感到困惑與迷茫.本文簡要呈現教學過程中師生對一道“極值點偏移”試題的思考與求解歷程，嘗試對各種解法進行梳理，以期拋磚引玉.

題目已知函數f(x)=lnx-ax+b(a,b∈R)有兩個不同的零點為x1,x2.

綜上所述，a>0，函數f(x)的最大值為-lna-1+b，無最小值.

(2)由(1)可知，函數f(x)有兩個不同的零點為x1,x2，則必有a>0(下同).

證法1嘗試消去參數a，齊次化消元

證法2利用對數平均值不等式

證法3嘗試構造對稱函數進行轉化

多數學生嘗試如下：

因為函數f(x)=lnx-aelnx+b有兩個不同的零點為x1,x2，所以s1=lnx1，s2=lnx2是方程s-aes+b=0的兩個根，只需證明s1+s2<-2lna.

在同一坐標系中，畫出函數y=p(s)和y=q(s)的圖像，如圖2所示.A(s1,0)，B(s2,0)，C(-2lna-s2,0)，D(-2lna-s1,0)，E(-2lna-s1,p(-2lna-s1)).p(s2)=p(s1)=q(-2lna-s1)>p(-2lna-s1)，而s2，-2lna-s1∈(-lna,+∞)，而函數p(s)在(-lna,+∞)上單調遞減，得s2<-2lna-s1，所以s2+s1<-2lna.