一題多解突破一道質(zhì)檢壓軸題

李昌成 車燕昭

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目呈現(xiàn)

二、總體認(rèn)識

本題處于試卷小題壓軸位置，以三角知識為背景，考查取值范圍.創(chuàng)新之處在于通過正切一次關(guān)系式，導(dǎo)出正余弦一次商式，它們之間關(guān)系不熟悉.抽樣發(fā)現(xiàn)，我的43名參考學(xué)生，僅1人得分，足以可見問題的難度(我校一本率為90%左右).因此我把此題當(dāng)做一個(gè)研究素材開展了深入探索.

三、解法探究

1.從同角三角函數(shù)基本關(guān)系入手

對于(*) 的值域有4種處理方法：

2.從萬能公式入手

分析已知條件是正切關(guān)系，而萬能公式可以將所有三角函數(shù)化歸為正切函數(shù)，所以可以通過升冪、擴(kuò)角、降冪、化切把問題突破.

以下同解法1.

3.從函數(shù)角度入手

4.利用構(gòu)造法，從已知入手，構(gòu)造目標(biāo)式

分析通過對已知正切關(guān)系式切化弦，構(gòu)造出目標(biāo)式，再求目標(biāo)式的取值范圍即可.減少題目的神秘感，縮近已知與未知間的距離.

5.從幾何入手

分析tanB、tanC可以看作直角三角形的直角邊的比值，借助關(guān)系式tanB=2tanC，把它們構(gòu)造于共一直角邊的兩個(gè)直角三角形中，如圖1.然后再在圖中構(gòu)造sinB、sinC，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于比值的函數(shù)問題.

以下同解法1.

四、教學(xué)啟示

1.加強(qiáng)知識生成教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的建立，結(jié)論、公式、定理的證明，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.傳統(tǒng)教學(xué)相對比較注重結(jié)果教學(xué).學(xué)生應(yīng)用知識時(shí)就顯得比較困難.知識生成過程的教授至關(guān)重要，它不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.數(shù)學(xué)的新教材很注重知識的引入和生成過程，這正是為了培養(yǎng)創(chuàng)新人才.因此我們應(yīng)當(dāng)改變那種害怕浪費(fèi)課堂時(shí)間，片面追求提高學(xué)生方法運(yùn)用能力的做法，應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出利于學(xué)生參與認(rèn)知的教學(xué)環(huán)節(jié)，把概念的形成過程、方法的探索過程，結(jié)論的推導(dǎo)過程、公式定理的證明過程等充分暴露于學(xué)生面前，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變成自己探索和發(fā)現(xiàn)的過程，真正成為認(rèn)知的主體，從而提高學(xué)習(xí)能力.在必修4有關(guān)三角函數(shù)的教學(xué)中，因?yàn)檎n時(shí)緊，公式多，很多老師不太重視公式的推導(dǎo)，學(xué)生只會(huì)套用公式解一些淺顯易懂的題目，類似于本題這種需要對信息二次深度加工的題目就望塵莫及.

2.注重發(fā)散性思維培養(yǎng)

發(fā)散性思維要求從一個(gè)目標(biāo)或思維起點(diǎn)出發(fā)，沿著不同方向，順應(yīng)各個(gè)角度，提出多種設(shè)想，尋求多種解題途徑去分析和解決問題.數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的培養(yǎng)途徑有：(1)營造愉悅的發(fā)散思維情境，大膽開放教學(xué)過程；(2)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練.學(xué)生掌握的知識、技能不僅必須準(zhǔn)確無誤和具有良好的鞏固程度，而且要理解知識間的縱橫聯(lián)系，把握形式與實(shí)際的關(guān)系；(3)要幫助學(xué)生掌握一些解決問題的思想方法和數(shù)學(xué)方法.(4)注意從語言上來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維；(5)激勵(lì)學(xué)生“聯(lián)想、猜想”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力 ；(6)一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.教師通過一題多解的分析訓(xùn)練，讓學(xué)生在普遍性中尋求規(guī)律性，要善于融入數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想于一體，優(yōu)化解題方法，拓寬解題思路的廣度和深度.

發(fā)散性思維是變通的，在教學(xué)中，對一些有代表性問題的解決，教師要充分利用學(xué)生學(xué)過的知識和技能，調(diào)動(dòng)一切解題手段，從各個(gè)側(cè)面論證同一命題的正確性.通過分析比較，讓學(xué)生知道哪種方法靈活巧妙，具有思維的敏捷性、靈活性；哪種方法呆板冗繁，具有思維的局限性.本題解法中，比較可以發(fā)現(xiàn)，解法5(幾何法)最為簡潔直觀.因?yàn)檫@貌似一個(gè)代數(shù)問題，三角問題，沒經(jīng)過訓(xùn)練，學(xué)生不會(huì)從幾何角度來思考，錯(cuò)失良機(jī).