2020年山東卷21(2)之我解及文(1)糾正

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

原題再現已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

我解方法二(特值代入法)由f(1)=a-lna≥1得a≥1，所以a<1不符合要求.

(1)當a=1時，f(x)=ex-1-lnx，要證f(x)≥1，即證ex-1≥1+lnx.易證：

ex-1≥x(當且僅當x=1時取等號)且lnx≤x-1(當且僅當x=1時取等號)，所以ex-1≥1+lnx成立.

(2)當a>1時，f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，由(1)得f(x)>1恒成立.

綜上得：所求a的取值范圍是[1,+∞).

評注函數f(x)中含有ex-1和lnx很自然會想到取x=1代入嘗試，以縮小關于參數分類討論的范圍.當a=1時，本解法中利用兩個常見不等式結論解決；當a>1時，運用放縮法利用當a=1時的結論.本解答參考了文[3]和文[4]的技巧，也參考文[1]和2013年全國高考理科(Ⅱ)卷21題的解答.

綜上得：所求a的取值范圍是[1,+∞).

3.函數y=ex過原點的切線是y=ex，結合圖形或者通過導數可以得出不等式ex≥ex恒成立，是解決函數導數問題的常用結論.

評注雖然上面的兩種方法都是通過構造新函數解決，但因為構造的函數g(x)=xlnx并不是在原來函數f(x)定義域上的單調函數，因此必須分段討論.構造的函數選擇能在定義域內單調，通常是減少思維量和運算量的訣竅.

通過對文[1]的學習，可以大大加深對同構函數解決問題的印象和技巧的掌握，針對文[1]給出高考壓軸題的同構函數的兩類常見形式，筆者給出更寬泛的概括：凡是見到式子中同時含有三個變量x,ex,lnx，都可以考慮把式子變形成其中一側含x,ex類型，另一側含elnx,lnx類型，然后構造函數，且爭取讓構造的函數具有單調性.