過(guò)兩定點(diǎn)的劣弧圓心角越小弧長(zhǎng)越短的應(yīng)用及證明

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

從一道在多種物理教輔資料動(dòng)力學(xué)板塊中常見(jiàn)的題目說(shuō)起——：

例題1 一段S形單行盤山公路的示意圖如圖1所示，彎道1、彎道2可以看作兩個(gè)不同水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1=10m和r2=20m，彎道2比彎道1高h(yuǎn)=12m，有一直道與兩彎道圓弧相切.質(zhì)量m=1200kg的汽車通過(guò)彎道時(shí)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，路面對(duì)輪胎的最大徑向摩擦力是車重的1.25倍，行駛時(shí)要求汽車不打滑(sin37°=0.6，sin53°=0.8).

(1)求汽車沿彎道1中心線行駛時(shí)的最大速度v1；

(2)汽車以v1進(jìn)入直道，以P=30kw的恒定功率直線行駛了t=8.0s進(jìn)入彎道2，此時(shí)速度恰為通過(guò)彎道中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對(duì)汽車做的功；

(3)汽車從彎道1的A點(diǎn)進(jìn)入，從同一直徑上的B點(diǎn)駛離，有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)會(huì)利用路面寬度，用最短時(shí)間勻速安全通過(guò)彎道，設(shè)路寬d=10m，求此最短時(shí)間(A、B兩點(diǎn)都在軌道的中心線上，計(jì)算時(shí)視汽車為質(zhì)點(diǎn)).

這道題目是不久前有老師在“物理通報(bào)”期刊群詢問(wèn)的一道題目.能夠發(fā)現(xiàn)，該題目涉及的物理問(wèn)題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，需要運(yùn)用到運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的多個(gè)公式并結(jié)合能量轉(zhuǎn)化等相關(guān)知識(shí)方能解決.圖2是參考答案解析中給出的第三個(gè)分問(wèn)題對(duì)應(yīng)的插圖，其中汽車運(yùn)行時(shí)間最短的路線是過(guò)AB兩點(diǎn)并且與軌道內(nèi)側(cè)圓弧(也就是小⊙O1的圓周)相內(nèi)切的一段劣弧——即圖2中以O(shè)′為圓心的劣弧AB.詢問(wèn)者手頭有該題目的參考答案，也能看明白參考答案的解析過(guò)程，他詢問(wèn)的問(wèn)題是，如何證明圓弧AB是汽車由A到B最短時(shí)間對(duì)應(yīng)的路徑？因?yàn)榻梯o資料給出的參考答案的解析，或者網(wǎng)上百度的解析過(guò)程，都是直接說(shuō)圖2中與彎道內(nèi)側(cè)圓弧相內(nèi)切的劣弧AB的長(zhǎng)度是所有過(guò)AB兩點(diǎn)的劣弧中長(zhǎng)度最短的劣弧，但并沒(méi)有給出證明的過(guò)程.

圖2中，由于受彎道的限制，汽車從A點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)無(wú)法走直線，所以，只能走曲線，在轉(zhuǎn)彎過(guò)程中要使汽車在兩定點(diǎn)之間運(yùn)行時(shí)間最短，必須使汽車在不側(cè)滑的情況下以最大速度沿最短的路線行駛，而要保證汽車不側(cè)滑且勻速行駛，必須使車的運(yùn)動(dòng)軌跡是過(guò)AB兩點(diǎn)的圓弧.圖2中，在彎道路面范圍內(nèi)，過(guò)AB兩點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條圓弧，它們的圓心均在線段AB的中垂線上，如果我們用圓規(guī)在AB的上方畫出很多以AB為公共弦的劣弧的話，給人的感覺(jué)是，圓弧所在圓的半徑越大，圓弧所對(duì)的圓心角越小，對(duì)應(yīng)的劣弧看起來(lái)就越短(當(dāng)然，也可以在彎道路面范圍內(nèi)畫出一些過(guò)AB兩點(diǎn)的優(yōu)弧，但這樣的優(yōu)弧肯定比同半徑的劣弧長(zhǎng)，顯然不可能是汽車速度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最短路徑).如果這種感覺(jué)正確的話，那么，其中與彎道內(nèi)側(cè)邊緣相內(nèi)切的劣弧將是所有劣弧中半徑最大的，不用說(shuō)也是汽車以最大速度行駛時(shí)所用時(shí)間最少的運(yùn)動(dòng)軌跡，因?yàn)榘霃阶畲髸r(shí)在汽車不側(cè)滑的情況下車的速度也達(dá)到了最大.但是，僅憑感覺(jué)是不能作為推理依據(jù)的，必須找到一種邏輯證明的方法才可以.那么，我們?nèi)绾巫C明過(guò)兩定點(diǎn)的所有劣弧中，所在圓半徑越大的劣弧其長(zhǎng)度越小呢？

如圖3所示，O1和O2是已知線段AB中垂線上同側(cè)的兩點(diǎn)，其中O2到AB的距離較大，⊙O1、⊙O2均過(guò)A、B兩點(diǎn)，設(shè)兩圓的半徑分別為R1和R2，公共弦AB在兩圓中所對(duì)的圓心角分別為∠AO1B=θ1，∠AO2B=θ2，則有θ1>θ2，R1L2的結(jié)論.

因?yàn)長(zhǎng)1=θ1R1，L2=θ2R2(θ1、θ2單位為弧度，且滿足0<θ2<θ1<π)，所以，欲證L1>L2，只需證明θ1R1>θ2R2即可.

圖3中：

∴θ1R1>θ2R2，即L1>L2.

這就是說(shuō)，過(guò)平面內(nèi)兩定點(diǎn)的劣弧，圓弧所對(duì)圓心角越小，圓弧所在圓的半徑越大，劣弧的長(zhǎng)度就越小.

圖2中，在彎道路面范圍內(nèi)，以AB為端點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條劣弧，易知，劣弧所在圓的半徑越大，劣弧與弦AB組成弓形的高就越小——將弦長(zhǎng)AB視為常量l，可以寫出弓形高h(yuǎn)與圓弧半徑R間的函數(shù)關(guān)系式，上述結(jié)論的正確性性可以通過(guò)函數(shù)的增減性來(lái)進(jìn)行證明(限于篇幅，這里不再證明).當(dāng)弓形高h(yuǎn)小到過(guò)AB兩點(diǎn)的劣弧與軌道內(nèi)側(cè)圓弧相內(nèi)切時(shí)，汽車運(yùn)行圓弧軌跡已經(jīng)到了彎道的內(nèi)側(cè)邊緣，此時(shí)汽車運(yùn)行軌跡圓弧半徑最大，汽車不側(cè)滑時(shí)對(duì)應(yīng)的速度也達(dá)到最大，而此時(shí)汽車運(yùn)行軌跡的長(zhǎng)度最小，所以，過(guò)AB兩點(diǎn)并且與彎道內(nèi)側(cè)圓弧相內(nèi)切的劣弧，是汽車由A點(diǎn)駛向B點(diǎn)時(shí)間最短的運(yùn)行軌道.

在上面的推理過(guò)程中，我們用到的主要是數(shù)學(xué)知識(shí)，而且過(guò)程比較復(fù)雜，構(gòu)造關(guān)聯(lián)函數(shù)之后兩次求導(dǎo)，利用函數(shù)的增減性并結(jié)合特殊值間的關(guān)系進(jìn)行論證，作為求解物理問(wèn)題，這樣的做法好像已經(jīng)偏離了“物理方向”.如果考慮教學(xué)的重點(diǎn)和針對(duì)性，在物理習(xí)題課教學(xué)中分析并講解這道題目時(shí)，我們可以跳過(guò)證明這一環(huán)節(jié)，就像參考答案給出的解析過(guò)程那樣，將“過(guò)兩定點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”這一規(guī)律當(dāng)成一個(gè)“數(shù)學(xué)定理”直接使用，或者只是在解題過(guò)程中增添一句話——可以證明“過(guò)兩定點(diǎn)的劣弧的長(zhǎng)度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”，其正確性的推證無(wú)需體現(xiàn)在解題過(guò)程之中.不過(guò)，作為教師，在備課過(guò)程中還是應(yīng)該對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯論證，畢竟該結(jié)論不是“數(shù)學(xué)定理”，憑感覺(jué)進(jìn)行判斷是在犯經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤，而且未必正確，命題的正確性需要邏輯論證的.