“動(dòng)靜法”解函數(shù)背景下幾何最值問(wèn)題

張春花

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=x2-x-4與直線y=-2x+2交于A、B兩點(diǎn)，直線與y軸、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F.直線AB下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)求t的值，并求出△ABP面積的最大值.

圖1

二、特色解讀

題目簡(jiǎn)約，內(nèi)涵豐富，指向核心素養(yǎng).

現(xiàn)在人的眼里，簡(jiǎn)單即是美，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)題目上也一樣.本題圖像簡(jiǎn)單唯美，文字簡(jiǎn)約，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美.簡(jiǎn)約外形下對(duì)動(dòng)態(tài)下求三角形面積最大值這一核心問(wèn)題考查到位，而且此題考查函數(shù)背景下的幾何最值問(wèn)題，具有較好的延展性，題目不變，可以把問(wèn)題變式為求線段最短，求三角形周長(zhǎng)最短等等，可以從多角度變式探究，此題不失為一道內(nèi)涵豐富的課堂例題.

本題以二次函數(shù)為載體，綜合考查了初中階段“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”的重點(diǎn)知識(shí)：二次函數(shù)，一次函數(shù)，相似三角形，三角函數(shù)等，不僅為高中學(xué)習(xí)二次函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，也對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展產(chǎn)生了積極作用.

三、解法欣賞

分析完本題的條件，再來(lái)看本題的問(wèn)題，當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)求t的值，并求出△ABP面積的最大值.通過(guò)分析已經(jīng)知道AB的長(zhǎng)度，從靜態(tài)視角下考慮只要找到AB邊上的高長(zhǎng)度最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P即可.從動(dòng)態(tài)視角下考慮可以利用相似或三角函數(shù)轉(zhuǎn)化表示出AB邊上的高DP關(guān)于變量t的關(guān)系式，也可以考慮利用“化斜為直”轉(zhuǎn)化.

1.靜態(tài)法——利用直線平移，化動(dòng)為靜

思路分析要求△ABP面積的最大值，AB的長(zhǎng)度固定，只要找到點(diǎn)P到直線AB的距離最大值即可，將直線AB進(jìn)行平移，很明顯平移到直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，即直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)P到直線AB的距離最大.聯(lián)立直線與拋物線的解析式，根據(jù)Δ=0得到k的取值，進(jìn)而得到切點(diǎn)P的坐標(biāo).

解法1 利用直角三角形求面積

解法2 利用“化斜為直”求面積

因?yàn)锳，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)已經(jīng)求出來(lái)了，所以可以利用“割補(bǔ)法”求出ΔABP的面積.采用割法——“化斜為直”利用三角形面積等于鉛垂高與水平寬乘積的一半來(lái)求，前面求A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)同解法1，過(guò)點(diǎn)P作CP∥y軸交直線AB于點(diǎn)C，根據(jù)直線的解析式可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)公式可以得到CP長(zhǎng)度，利用三角形面積等于鉛垂高(CP長(zhǎng)度)與水平寬(A,B兩點(diǎn)的水平距離)乘積的一半可以回答本題的問(wèn)題.

2.動(dòng)態(tài)法——構(gòu)造函數(shù)法

思路分析從動(dòng)態(tài)角度思考這道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)ΔABP的面積等于底乘高的一半，已知AB長(zhǎng)度，只要用變量t表示AB邊上的高DP即可，考慮利用相似,銳角三角函數(shù)把變量CP的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成DP的長(zhǎng)度.

解法1 利用相似構(gòu)造函數(shù)

過(guò)點(diǎn)P作CP∥y軸交AB于C，DP⊥AB交AB于D，因?yàn)辄c(diǎn)C,P的橫坐標(biāo)相同，且點(diǎn)C在直線y=-2x+2上，所以C(t，-2t+2)，進(jìn)而得到CP的長(zhǎng)度，利用△CDP與ΔEOF相似轉(zhuǎn)化得到DP與CP的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到DP關(guān)于t的二次函數(shù)，然后根據(jù)三角形的面積等于底乘高的一半就成功的構(gòu)造出△ABP的面積關(guān)于t的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)回答本題的問(wèn)題.

解法2 利用三角函數(shù)構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)榻夥?中兩個(gè)相似三角形是直角三角形，所以可以考慮利用銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，由于DP與CP是∠PCD的對(duì)邊與斜邊的關(guān)系，所以考慮用銳角正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化.解題過(guò)程同解法1一樣，只是在求DP與CP關(guān)系式時(shí)用正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，同樣得到DP關(guān)于t的二次函數(shù).

解法3 利用“化斜為直”構(gòu)造函數(shù)

解法1,2是根據(jù)△ABP的面積等于底乘高的一半，利用相似，三角函數(shù)把變量CP的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成DP的長(zhǎng)度求解，解法3考慮把△ABP的面積“化斜為直”直接利用CP(鉛垂高)的長(zhǎng)度求面積.△ABP的面積等于鉛垂高(CP長(zhǎng)度)與水平寬(A,B兩點(diǎn)的水平距離)乘積的一半.

四、教學(xué)導(dǎo)向

“動(dòng)靜”視角思考函數(shù)背景下幾何圖形中含有“動(dòng)態(tài)”元素題

函數(shù)背景下幾何最值問(wèn)題，一題多解，可以提高同學(xué)運(yùn)算能力，拓寬解題思路，對(duì)于幾何圖形中含有“動(dòng)態(tài)”元素(點(diǎn)，線段等)的問(wèn)題一般都有兩種視角思考的思路，視角1靜態(tài)下數(shù)形結(jié)合找到題目中要的動(dòng)態(tài)元素位置；視角2動(dòng)態(tài)下通過(guò)線段，面積等建立“動(dòng)態(tài)”元素間的函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)思想來(lái)處理，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出限制條件下的最值.

怎樣構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式?解決步驟：一、根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)對(duì)所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，合理設(shè)置參數(shù)，將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)；二、合理利用面積，特殊圖形(如直角三角形、矩形、圓等)，特殊關(guān)系(如全等、相似、三角函數(shù)、勾股定理)將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題；三、利用函數(shù)性質(zhì)求解.

“動(dòng)靜法”除了可以解決三角形面積最值外，還可以求解線段長(zhǎng)、三角形或者四邊形的周長(zhǎng)最值.此題的問(wèn)題是求△ABP的面積最大時(shí)t的值，并求出△ABP面積的最大值，題目不變，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式，變式一：過(guò)點(diǎn)P作CP∥y軸交直線AB于點(diǎn)C，求CP最小時(shí)t的值，并求出CP的最小值；變式二：過(guò)點(diǎn)P作DP⊥AB交AB于點(diǎn)D，求DP最小時(shí)t的值，并求出DP的最小值；變式三：求△CDP周長(zhǎng)最小時(shí)t的值，并求出△CDP周長(zhǎng)的最小值等等變式，可以做多角度變式探究，這些變式題的做法都可以從以上總結(jié)的“動(dòng)靜法”兩種視角思考.