漫話數學文化

晏 鴻

(新疆烏魯木齊市新疆實驗中學 830001)

數學作為一種文化，已得到了社會的認可，數學文化不同于語言，藝術，技術一類的文化，它屬于科學文化.數學文化源遠流長，在遠古時期產生的人類語言中就蘊含了豐富的數學元素，出現了“有”、“無”兩個朦朧的數學概念，可用來表示食物的無或有.進而“有”生“一”、“一”生“二”、“二”生“三”與“多”，產生了多個不同的原始數學概念.大約1萬年前，人們在日常的農耕生活中，經常會碰到關于怎樣記錄年份、季節、日期，怎樣計算獵物數，種子數的問題.為了便于交流，還需要有數的名稱，這就出現了埃及人和美索不達米亞人的劃印、刻痕的原始數字標記，產生了最早的書寫自然數的方法.約5000年以前，埃及人已會用其他符號表示“十”和更大的自然數.我國從上古時期開始，也創造出了屬于自己的，具有本民族特色的計數方法.隨著經濟的發展，社會的進步，現實的需要為數學的發展提供了不竭的動力，數學必須同步于社會的發展，解決人類生活中出現的新問題，反之數學又在解決這些新問題的過程中，不斷地豐富、發展和充實自身.總之數學是伴隨著人類的出現而誕生的.人類通過勞動，不但創造大量的物質財富，也創造了數學學科與數學文化.

數學作為一種文化的主要特征有以下幾點：(1)數學的思維性；(2)數學的量化性；(3)數學的發展性；(4)數學的應用性.

一、數學的思維性

數學是人類探索現實世界存在的數量關系和空間形式的研究成果，并將這些思維成果進一步豐富和推廣，應用于人類本身的科學.因此，數學是思維的成果，思維是數學的核心，思維推動著數學的發展.

例1如果兩個邊數相同的多邊形，對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.同理對于高中階段的圓錐曲線來說，雖然圓是相似的，但是橢圓(或雙曲線)是不相似的.那么所有的拋物線是否相似呢?

圖1

從這個例子就足以說明思維是數學的基石，思維推動著數學的發展.

二、數學的量化性

數學是一種科學文化，它同時又滲入人文科學之中，數量化是數學文化區別于其它文化的顯著特點之一.其中數學運算是許多科學研究、日常生活、工農業生產中所必須用到是數學核心素養，它是解決許多疑難問題的鑰匙，這種量化性在人文科學中也顯示出它的魅力.

在日常生活中，人們常常喜歡用數量化來論理喻事.例如，如果我們將時間當做橫軸，價值當做縱軸，把自己的人生價值刻畫在坐標系上.就會發現一些“時間點”處于高峰，一些“時間點”置于低谷.如果高峰的點密密麻麻，連成價值的“實線”，就會感到欣慰，沒有虛度光陰；如果處于低谷的點比比皆是，構成無為的“虛線”，就難免嘆息惆悵；如果橫軸的下方還存在“點”，那將會是人生的悔恨恥辱.

數學的量化性在人文科學中刻畫得最深刻的莫過于中國的一句古語：“三個臭皮匠，頂一個諸葛亮”.其實這句名言是可以用統計概率的方法加以證明的.

假設有3個臭皮匠，獨立解決一個問題的可能性分別為：P(A)=0.45，P(B)=0.55，P(C)=0.60，則他們三人在一起至少有一個人能解決一個問題的可能性為：

P(AUBUC)=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901

0.901說明三個“臭皮匠”也能夠解決百分之九十以上的問題，足足可以頂個“諸葛亮”.由此產生另一句名言“一個好漢三個幫”.

在自然科學中，數學的量化性更是功不可滅，沒有準確的計算，人類怎么能發射火箭，登上月球并順利返回；沒有量化的計算，更沒有汽車、高樓、手機、互聯網、大數據、區塊鏈等等現代文化.數量化是每個人必須具備的基本數學核心素養之一，每個人都應當具備運用這種數學素養的能力，它包括良好的數學直觀、對數據信息的敏感度、以及把具體問題數量化的能力，都是日常生活中不可缺少的解決問題的工具，是美好生活的必需品.

三、數學的發展性

數學始終處于“否定—創新—再否定”的循環發展過程之中，而每一個否定，都使得數學得到加深拓寬、增維添元，都使得數學進一步走向完善，并涌現出新數學分支且由此得到進一步廣泛的應用.

無理數的產生，打破了任何兩個數的可公度性，使數擴大到實數，虛數的產生破壞了人們的常規理念，但數系又擴大到復數.19世紀末，德國數學家康托爾創立的集合論曾被認為是理想狀態，而幾個集合悖論的出現，就使它的基礎產生了動搖，但數學并沒有停止發展，一門新的學科，“模糊數學”由此產生了.

空間的維數分為一維、二維、三維、四維的整數維數是如此根深蒂固地扎根于人們的大腦之中，但隨著“雪花曲線”的出現，我們得到面積有限的雪花，它的周長卻可趨于無限，那么“雪花曲線”的維數是一維還是二維呢？在一塊有限的空間里怎樣才能放進一條要多長就有多長的曲線呢？如果我們放下了，由于它被壓擠在一起，勢必密密麻麻地完全覆蓋了一塊面積.如果是這樣，邊界曲線已經沒有我們直觀中的線狀形象了，這樣的曲線你還能稱它為曲線嗎？如果不稱為曲線，又不稱為面，那應稱為什么呢?隨著這個問題的產生，數學家們創造了專論分數維數的學科—分形學.并為工程、化學、測量、物理、機械等許多領域里提供了無窮無盡的應用.

數學從河圖洛書到八卦文化，從勾股定理到幾何作圖，從黃金分割到圓周率的計算，從哥尼斯堡到莫比烏斯，從平面鑲嵌到離奇分形，無不充滿著變化和發展.“變”是數學的本質，數學唯有不斷改變，才會越來越強大.

四、數學的應用性

數學的價值在于它的應用性.它具備簡捷而不繁瑣，互補而不互斥，相容而不矛盾，以及或可近似或可精確的諸多稟性，使得數學與其它學科水乳交融，你中有我，我中有你，和諧共處，象石榴籽一樣緊緊抱在一起.正如美國數學家克萊因說：“詩歌能動人心弦，繪畫能使人賞心悅目，音樂能激發和撫慰情懷，哲學能使人獲得智慧，而數學卻能提供以上的一切.”

數學的應用性還體現在我們學過見過的一些古詩詞中，從中能找到一種數學意境，讓人遐想，讓人品味.如：“大謨孤煙直，長河落日圓”；“孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流”；“會當凌絕頂，一覽眾山小”；“隨風潛入夜，潤物細無聲”；“白發三千丈”；“日行八萬里”等詩文，都隱含著數學的思想，數學的理念.甚至連玩的游戲，若用數學來進行指導，也會使人耳目一新.

例2 有5張撲克牌分別是紅桃A、K、Q、L、10，將它們從左到右依次按AKQL10序排列，每次可平行移動一張或相鄰的二張牌(移兩張時這兩張不能分開)，移動三次，要將它們的次序從左至右變成10LQKA的次序.試問應該怎樣移動呢？

下面我們用數學觀點來看待這個問題如下：從已知排序到結果的排序，A改變了四個位置，K改變了二個位置，Q沒有改變，L改變了二個位置，10改變了四個位置，故一共改變了12個位置.如果只能移動三次，則最佳移動應該每次移12÷3=4個位置，即每次移二張牌，平移兩個位置，順著此思路可簡捷地找到下列解法：

AKQL10→QLAK10→QK1OLA→10LQKA

此外，數學具有育人的價值，它在培養人的思維能力，良好的個性品質和辨證唯物主義的世界觀方面，與人文科學和其它自然科學起著相輔相成的作用.至于它的其它一些價值(包括預見和對人力、物力、時間的節省)，也不斷轉化為巨大的社會效益和經濟效益，這就是數學文化的實用性.

數學發展到今天已成為人們不可或缺的知識，這也是數學工作者既平凡，又偉大之處，愿數學伴隨著我們每一個人.