論導數在高中數學解題中的應用

馮仰超

(江蘇省徐州市第七中學 221011)

數學教學中為使學生能夠靈活應用導數知識解答相關習題，應注重為學生細致的講解導數的意義，使其牢記一些函數的求導公式，尤其應結合具體例題為其講解導數的具體應用，為其高效的解題帶來啟示.

一、用于求解參數范圍

求解參數的取值范圍是高中數學的一類重要題型.應用導數解答該類習題時應認真審題，確定要求解的問題屬于恒成立還是存在性問題.另外，解答該類習題常規思路是分離參數，具體是先分離參數還是求導后再分離參數需要視情況而定.比如下面的習題就是求導后再分離參數，因此，教學中應提醒學生應具體問題具體分析，不能局限于思維定勢.

例1若曲線y=lnx+ax2(a為常數)不存在斜率為負的切線，則實數a的取值范圍為( ).

C.(0，+∞) D.[0，+∞)

該題目難度并不大，考查學生對切線概念的理解.解題的關鍵在于能夠正確轉化題干中的“不存在斜率為負的切線”這一條件.即，轉化為在x>0時曲線的導數y′≥0恒成立.

二、用于比較數值大小

導數在高中數學解題中應用廣泛，其也可用于比較數值大小.該類習題題型復雜多變，部分習題求導后便可分析出結果，但部分習題則需要二次求導以判斷原函數的單調性.為使學生掌握運用二次求導解題的思路，教學中應注重篩選與講解相關例題.如以下例題：

A.a>bB.a

題目涉及的函數為較復雜，無法直接判斷其單調性.需要對其求導，通過分析導數能夠確定其單調性，如不能需要繼續進行二次求導.

三、用于判斷函數圖像

運用導數研究函數的圖像是導數最為基礎的應用.解答該類習題需要對導數與函數之間的關系有個深入的認識.即根據導函數的取值的正負可判斷原函數的單調性.而根據導函數的變化趨勢，則可進一步判斷出原函數斜率的變化，更為細致的勾勒出原函數的圖像.為使學生掌握相關解題技巧，可與學生一起分析如下習題：

例3如圖1所示，為函數y=f(x)，y=g(x)的導函數的圖像，那么y=f(x)，y=g(x)的圖像可能是( ).

圖1

該題目要求根據導函數判斷原函數的圖像，屬于導數的靈活應用題目.解答該題需要深入理解導函數的圖像與原函數的關系.觀察圖1內容可知，y=f(x)的導函數隨著x的值增大而減小，表示原函數隨著x的增大斜率逐漸變小，圖像上凸.y=g(x)的導函數隨著x的值增大而增大，表示原函數隨著x的增大斜率逐漸變大，圖像下凹，此時可排除A、C.又因為在x=x0處兩個導函數相交，即在拐點處原函數具有大小相等的斜率.觀察B、D兩項中函數的圖像，可將B項排除，故正確答案為D.

四、用于求解函數極值

求解函數極值時，為保證解題的正確性應遵循一定的解題步驟，先根據已知條件判斷函數的定義域范圍，而后對函數進行求導.令導函數的值為零求解其根.如含有參數需要對根的大小情況進行討論，判斷函數單調性找到函數的極值點，將極值點代入求解即可.為使學生感受解題過程，教學中可為學生講解如下習題：

例4設f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3為公差為d的等差數列.若d=3，求f(x)的極值.

該題目是函數與數列的結合習題，考查學生靈活運用所學解題的綜合能力.解題時需要吃透題意，充分運用已知條件，結合導數知識進行分析解答.

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)極大值極小值

導數在高中數學中占有重要地位，是解答函數問題的重要工具.為提高學生靈活運用導數解題的能力，教學中應圍繞具體習題為學生認真講解解答過程.同時，鼓勵學生多進行訓練、反思、總結，不斷深化對導數知識的認識與理解，真正做到融會貫通.