沉迷切觸幾何 編織奇妙世界

劉有婷

古希臘數學家畢達哥拉斯曾說過：“數統治著宇宙。”簡單的數字、符號通過自由組合卻能夠產生描述萬物的語言，這是許多數學家沉迷于數學的原因。上海交通大學數學科學學院副教授李友林也是沉迷于數學的一名研究人員。在他看來，熱愛數學的人是一群對世界充滿好奇、渴望在抽象中感知自然秩序的人。而令李友林癡迷的領域是已經具有100多年歷史的“切觸幾何”。

走進切觸幾何世界

平時喜歡安靜的李友林，在談起自己所研究的領域時卻總是滔滔不絕。

據他介紹，切觸幾何是研究奇數維流形上的完全不可積超平面場的幾何。它是偶數維流形上的辛幾何的奇數維對應。所謂完全不可積是說流形中的任何超曲面在其中任何開集上都不與所給超平面場處處相切。直觀看來，這意味著超平面場“轉得太多了”以至于不能與任何超曲面的切叢重合。Darboux證明奇數維流形上的切觸結構在局部上都是一樣的，所以切觸幾何的研究內容和結果都是與流形整體有關的，這一點與黎曼幾何不同。

切觸幾何起源于1872年Sophus Lie引 入切觸變換作為研究微分方程組的一種幾何工具。切觸結構可以用來描述一些物理現象。Gibbs和Caratheodory用它來描述熱力學。幾何光學中的Huygens原理等價于切觸幾何中的一個論斷。切觸幾何也與其他若干數學分支有聯系，比如低維拓撲、辛幾何、代數幾何中的奇點理論、多復變中的Stein流形，等等。多個數學分支在切觸幾何這個舞臺上交融互動，演繹出一幕幕精彩絕倫的數學戲劇。

現代切觸幾何真正開端于1983年Bennequin發現了三維歐氏空間上存在一個與標準切觸結構不一樣的切觸結構，后者含有一個“過度扭轉”的圓盤而前者不含有。所謂過度扭轉是說切觸平面場與圓盤的切平面場限制在圓盤的邊界上的時候是重合的。含有過度扭轉的圓盤的切觸三維流形被稱為過度扭轉的，否則稱為胎緊的。過度扭轉的概念后來也被推廣到高維的情形。切觸流形最基本的問題是什么樣的流形上有切觸結構，以及給定流形上的切觸結構的分類。最早Gromov對于任何開的定向的奇數維流形上的切觸結構進行了分類。之后1989年，Eliashberg對于任何閉的定向的三維流形上的過度扭轉的切觸結構進行了分類。2014年，Eliashberg完全解決了閉的定向的奇數維流形上的過度扭轉的切觸結構的存在性和分類問題。Eliashberg因為他在切觸幾何等領域中的杰出貢獻而在2020年獲得沃爾夫獎。

切觸流形的辛填充是指一個辛流形以它為邊界并且其辛形式在邊界上與切觸結構滿足某種兼容性。切觸流形的Stein填充是指一個Stein domain以它為邊界并且其復結構在邊界上與切觸結構滿足某種兼容性。Stein填充蘊含辛填充，辛填充蘊含胎緊。給定一個切觸流形，一個自然的問題就是理解它的所有辛填充和Stein填充。

21世紀初，Ozsvath和Szabo引入Heegaard Floer同調。這是一系列關于閉的定向的三維流形的強有力的不變量。Giroux建立了描述切觸三維流形的拓撲手段，開書分解。把這兩項工作結合起來，Ozsvath和Szabo對切觸三維流形定義了一個切觸不變量。如果切觸不變量非零，那么這個切觸三維流形是胎緊的;如果切觸不變量為零，那么這個切觸三維流形就不是強辛填充的。

與數學為伴

李友林是湖南衡陽人，本科畢業于蘭州大學，博士畢業于北京大學。這一路走來，李友林始終與數學為伴。在北大讀研究生期間，李友林師從王詩宬院士，系統地學習了三維流形的拓撲。當時李友林也通過丁帆教授知道了有切觸幾何這樣一個研究方向。丁帆教授是我國最早從事切觸幾何研究的學者。

2008年博士畢業之后，李友林來到上海交通大學工作，決定從事切觸幾何的研究。據李友林介紹，他所研究的切觸幾何是流形上的一種幾何結構，而想要弄明白切觸結構，他首要做的就是先把流形結構搞清楚。研究生期間的學習經歷為他后來的研究奠定了堅實的基礎。“切觸幾何在中國的相關研究人員較少，僅在個位數。”李友林指出。為了盡快到達切觸幾何的研究前沿，在2012年和2016年，李友林分別前往美國佐治亞理工學院和加州大學洛杉磯分校訪問。在訪問期間，李友林結識了很多切觸幾何方面的同行和朋友，對這一方向有了更加深入的認識，也堅定了研究切觸幾何的決心。

經過十余年的研究，李友林在三維流形上的胎緊切觸結構的分類、過度扭轉切觸結構的識別、切觸結構的切觸不變量、勒讓德紐結、切觸三維流形的辛填充和Stein填充等方面取得了一系列成果。在這期間，李友林得到了國內國外很多人的支持和幫助，如李友林與Kaloti（Georgia Tech）、Ozbagci（土耳其Koc大學）分別合作，對一些典型的切觸三維流形的辛填充進行了分類;李友林與丁帆、劉亞晶（UCLA）分別合作，解決了一些切觸三維流形的辛填充的存在性問題。

在Giroux把三維流形上的切觸結構與三維流形的忽略掉穩定化的開書分解建立一一對應的基礎上，李友林與Etnyre（Georgia Tech）合作，將緊致帶邊曲面的同調本質的曲線復形引入到對開書分解的研究過程中，并用它給出一個開書分解是可以去穩定化的一個充分必要條件。利用這一條件，李友林與Etnyre進一步對承載標準的切觸三維球面的頁面虧格為零的開書分解的去穩定化問題做出了解答。

此外，丁帆與Geiges還發現，任何切觸三維流形都可以從標準的切觸三維球面出發，沿著一個勒讓德鏈環做切觸手術而得到。李友林與丁帆、吳忠濤（香港中文大學）合作，通過切觸三維流形的手術描述來研究其過度扭轉性質和切觸不變量，給出切觸三維流形是過度扭轉（或者不變量為零）的若干充分條件。

對于未來，李友林沒有特別明確的期許，只想堅持沿著研究切觸幾何這條路走下去，享受在數學世界里自由探索的樂趣和發現的喜悅。