平行四邊形的折疊問題

劉頓

平行四邊形的折疊問題與其他圖形的折疊問題一樣，都是軸對稱的應用，涵蓋了三角形全等、勾股定理、圖形變換、垂直、平行等諸多知識，其求解的關鍵是抓住折疊前后折痕兩邊的圖形完全重合，即對應線段相等、對應角相等.下面，對平行四邊形的折疊問題簡單歸類并解析，供同學們參考.

一、沿平行四邊形的對角線折疊

例1 如圖1，把一張平行四邊形紙片ABCD沿BD對折，使點C落在E處，BE與AD相交于點O，若∠DBC = 15°，求∠BOD.

分析：考慮到四邊形ABCD是平行四邊形，則有AD[?]BC，于是∠ODB = ∠DBC，由翻折可得∠OBD = ∠DBC = 15°，從而可求得∠BOD的大小.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]BC，∴∠ODB = ∠DBC.

由折疊可得∠OBD = ∠DBC = 15°，∴∠ODB = ∠OBD = 15°，

∴∠BOD = 180° - 2∠OBD = 150°.

二、沿平行四邊形的一個頂點與其對邊上一點的連線折疊

例2 如圖2，在[?]ABCD中，E為邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點F.若∠B = 52°，∠DAE = 20°，求∠FED′.

分析：由平行四邊形的性質得到∠D的度數，再利用三角形內角和定理和外角性質求得∠AEF，進而由翻折求得∠AED′，最后利用角的和差進行計算.

解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠D = ∠B = 52°.

∵∠DAE = 20°，∴∠AED = 180°-52°-20° = 108°，∠AEF = 72°.

由翻折知∠AED′ = ∠AED = 108°，

∴∠FED′ = ∠AED′ - ∠AEF = 108°-72° = 36°.

三、沿一組對邊上各一點的連線折疊

例3 如圖3，折疊[?]ABCD，使C與A重合，D落在D1處，折痕為EF，若∠BAE = 55°，求∠D1AD.

分析：由平行四邊形和折疊的性質可得∠BAD = ∠EAD1，再利用角的和差求解.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD = ∠BCD，

由折疊的性質得∠EAD1 = ∠BCD，∴∠BAD = ∠EAD1，

∴∠BAD-∠EAD = ∠EAD1-∠EAD，

即∠D1AD = ∠BAE = 55°.

四、沿過平行四邊形的一個頂點所在的直線折疊

例4 如圖4，將[?]ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點[D']處，折痕l交CD邊于點E，連接BE.

（1）求證：四邊形[BCED']是平行四邊形.

（2）若BE平分∠ABC，求證：AB2 = AE2 + BE2.

分析：（1）由折疊得到對應角相等，再轉化為同位角相等，∠D = ∠A[D']E = ∠ABC，進而得到E[D'][?]CB，根據兩組對邊分別平行，可知四邊形[BCED']是平行四邊形.（2）要證明AB2 = AE2 + BE2，只需證明∠AEB = 90°，利用互補的鄰補角的平分線互相垂直易證得結論.

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ AB[?]CD，∠D = ∠ABC，

由折疊知∠D = ∠A[D']E，∴∠A[D']E = ∠ABC，∴[D']E [?] BC.

∵AB[?]CD，∴四邊形[BCED']是平行四邊形.

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE = ∠D'BE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD[?]BC，∴∠DAB + ∠CBD' = 180°.

∴∠EAB + ∠EBD' = [12]（∠DAB + ∠CBD'） = 90°，∴∠AEB = 90°，

∴△AEB是直角三角形，∴AB2 = AE2 + BE2.

五、沿平行四邊形一個頂點與其對邊的連線折疊，同時沿一組鄰邊上各一點的連線折疊

例5 如圖5，將平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使E，B′，C′在同一直線上，求∠AEF.

分析：利用翻折和平角定義易得組成∠AEF的兩個角的和等于平角的一半，可得所求角的度數.

解：根據折疊的性質，可知△ABE ≌△AB′E，△CEF ≌△C′EF，

∴∠AEB = ∠AEB′，∠CEF = ∠C′EF.

∵∠AEB + ∠AEB′ + ∠CEF + ∠C′EF = 180°，

∴∠AEB′ + ∠C′EF = 90°.

∵點E，B′，C′在同一直線上，∴∠AEF = 90°.

1.如圖6，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB = 45°，BD = 2，將△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為B′，則DB′的長為 .

2.如圖7，在[?]ABCD中，點E，F分別在邊DC，AB上，DE = BF，把[?]ABCD沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連接DG，B′G.

求證：（1）∠1 = ∠2;（2）DG = B′G.

答案：1.[2]（提示：連接B′E） 2.略