例說定點與定直線的最短路徑問題解決策略

魏春瑋

最短路徑問題是初中數學中非常重要的知識，很多同學們在學習和應用時經常會遇到困難。求定點與定直線的最短路徑，主要是利用兩點之間線段最短，軸對稱的性質等知識來解決，特別是要用軸對稱進行轉換。這里充分體現了數學建模、幾何直觀、邏輯推理等數學核心素養的考察。我們知道，“一個圖形沿一條直線折疊，它能夠與另一個圖形重疊，就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點叫做對稱點;對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線，即對稱點到對稱軸上的任意一點距離都相等。”這是解決這類最短路徑問題的關鍵。下面分別對幾種定點與定直線的最短路徑問題進行舉例說明。

一、兩定點與一條定直線中的最短路徑

例1.如圖1，已知直徑a和直線a外兩A、B，A、B在直線a兩側，在直線a上求作一點P，使PA +PB最短。

分析：兩定點A、B在直線a兩側，過兩定點A、B的直線一定與直線a相交，根據兩點之間線段最短，知交點到兩定點A、B的距離的和最短。

作法：連接A，B交直線L于點P，則點P就是要求作的點。

例2.要在河邊修一個水泵站，分別向在河同一側的張村和李莊送水，水泵站修在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？并說明理由。

已知：在直線a及其同側的兩點A、B，求作點C，使點C在直線a上，并且AC +BC最短。

分析：A、B兩點在直線a同側，能不能把它轉換成例1的問題來解決呢？我們知道對稱點到對稱軸上的任意一點距離都相等，作點A關于直線a的對稱點A'，即將點A轉移到直線a的另一側A'點，并不影響它到直線A上的任意一點距離。因此，作點A關于直線a的地稱點A'，就把A、B兩點轉換成在直線a兩側的兩點A'、B，變成例1問題就解決了。

作法：①作點A關于直線a的對稱點A'，

②連接A'B交直線a于點C，則點C為求作的點。

理由：在直線a上另外任取一點C'，連接AC、AC'、A'C'、BC'

直線a是線段AA'的對稱軸，點C和C'在直線a上

AC=A'C，AC'=A'C'（線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等）。

在 BA'C'中，A'B

所以AC +BC

即AC +BC最短。

二、兩定點與兩條定直線的最短路徑

例3.如圖3，已知點A、B和相交直線m、n，分別在直線m、n上各取一點C和D，使AC +CD +DA最短。

作法：連接AB交直線m于點C，交直線n于點D，則點C和D就是要求作的點。

例4.如圖4，A為馬廄、B為帳篷，牧馬人有某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，試確定這一天的最短路線。

已知：如圖5，點A、B在兩直線EF和MN相交所成的四個角中的一個角的內部，

求作：在直線MN和EF上長各找一點C和D，使得AC +CD+DB最短。

分析：A、B兩點在直線a同側，能不能把它轉換成例1的問題來解決呢？作點A關于直線MN的對稱點A'，作點B關于直線EF的對稱點B'，就變成例3的問題了。

作法：①作點A關于直線MN的對稱點A'，

②作點B關于直線EF的對稱點B'，

③連接A'B'分別交直線MN和EF于點C和D，

④連接AC、BD，則C、D為所求作的點。

三、一定點與兩定直線的最短路徑

例5.如圖6， P是銳角 AOB內的一點，在 AOB的兩邊分別找點M、N使得PM +MN +PN最短。

分析：若把P看成是兩個重合的點，就是例4的特殊情況，用例4的方法就解決了。

作法：①作點P關于直線OA的對稱點 ，

②作點P關于直線OB的對稱點 ，

③連接 ?交OA于點M，交OB于點N，則點M、N為所求。

證明：連接PM、PN，在邊OA上任取一點E，在邊OB上任取一點F，連接PE、PF、EF、E 、F

與P關于OA成軸對稱， ?與P關于OB成軸對稱，

OA是 P的垂直平分線，OB是 P的垂直平分線。

M =MP，E =EP，N =NP，F =FP，

PM +MN +NP = M +MN + N = ?，

PE +EF +FP =E +EF +F > ?，

PM +MN +NP

即PM +MN +NP最短。

由上可見，最短路徑的確定，主要是把幾個路徑不在同一直線上的問題，通過軸對稱的性質轉變成在同一條直線上問題來解決，把較復雜的問題轉化成較簡單的問題來解決，使同學們的化歸思維能力得到一定鍛煉。

解決上述問題學生經歷了從“覺悟”與“實踐”的過程。通過合理設計揭示了形與數的內在聯系，發揮數學建模思想在解決實際問題中重要作用，同時學會勤于思索、善于挖掘、勇于探索的學習方法，發展了創新能力。