雙跨質量慢變轉子系統動態特性數值仿真分析

羅躍綱，付 豪，張 悅，賈海峰，黃逢超

(1.大連民族大學 機電工程學院，遼寧 大連 116600；2.大連民族大學 智能感知與先進控制國家民委重點實驗室，遼寧 大連 116600)

近年來，隨著科技進步和工程需要，轉子系統愈發高速化、大型化，旋轉機械的結構也愈發復雜。在旋轉機械中，隨著運行時間的推移轉子部件質量可能會因工作環境的變化或工作需要而緩慢變化，從而引起轉子系統具有某些特別的動力學行為，這類轉子系統被稱為質量慢變轉子系統[1]。質量慢變現象在很多機械系統中存在，比如纏紗機中轉子纏紗量的多少隨時間緩慢變化、分離機中轉子質量隨著物料的分離而緩慢減小等。旋轉機械中的某些轉子系統，雖然在工作前已經做到精密調節和平衡，但由于質量的緩慢變化，可能會使系統的一些固有特性發生變化，從而導致轉子系統在運轉時發生劇烈的振動，造成不可預估的損失。

有關質量慢變轉子系統的研究較少，研究方向也不是很全面，Cveticanin等[2-5]對含慢變的無故障轉子系統的自激運動和混沌運動等進行了研究，分析了系統的非線性特性；Yu等[6-8]采用漸進法和有限單元法對單跨質量慢變轉子系統的響應解析解進行了詳細的推導，并基于簡單集中質量單跨轉子，建立了質量慢變轉子動力學方程，考慮了系統存在單質量慢變和雙質量慢變兩種情況，對轉子系統的時頻響應特征進行了分析和研究。

在實際工程領域中，質量慢變可能不會單一出現，轉子系統經常發生碰摩、裂紋或油膜渦動等多種故障耦合的情況。李小彭等[9-10]基于工程實際，考慮到某些機械的轉子部件質量可能會因外界環境的變化而改變，從而建立了系統存在碰摩故障時的質量慢變轉子系統模型，應用Newmark-β法進行數值計算，通過仿真分析和試驗研究對轉子系統存在局部位置碰摩時的動力學特性進行了模擬和討論。毛居全等[11]認為系統存在質量慢變時，會產生一定的沖擊力，并采用有限單元法，針對實際轉子試驗臺建立了加入碰摩力模型的單跨轉子系統模型，對存在碰摩故障時轉子系統的運動特性進行了分析研究。Jiang等[12]將質量慢變的變化情況用余弦規律來描述，建立了含質量慢變的非線性數學模型，考慮了轉子系統存在軸承座松動故障的情況，并以質量變化系數作為控制參數進行了分析和研究。Wang等[13-14]采用數值積分方法，考慮了存在支承座松動時的情況，分析和研究了質量慢變轉子系統豐富的動力學特性，并討論了質量變化系數對轉子系統動態特性的影響。Luo等[15-16]建立了當系統存在油膜、松動、碰摩等耦合故障時的質量慢變轉子系統非線性動力學模型，利用延拓-打靶法和數值計算方法得到了該非線性系統的周期解，并對存在故障的質量慢變轉子系統周期運動的穩定性和非穩態規律進行了充分討論。

目前文獻中，以研究單跨轉子系統的質量慢變為主，對含質量慢變的多跨轉子系統的復雜動力學行為還未有研究，故障機理也尚不清楚。本文基于有限元理論，建立了四軸承支撐的雙跨質量慢變轉子-軸承系統模型，研究了雙跨質量慢變轉子系統的相關特性，并分析了不同轉速、不同慢變參數的雙跨單盤和多盤慢變轉子系統的動力學響應，為雙跨質量慢變轉子系統故障診斷提供一定的依據。

1 雙跨質量慢變轉子系統模型

1.1 轉子系統的動力學模型

轉子系統模型如圖1所示，運用有限元方法將該系統離散為26個軸段，共27個節點。其中節點1、15、17、27為四個自潤滑石墨軸承，簡化為四個等效的彈簧阻尼器，左、右圓盤質量集中于節點8和節點22。采用Timoshenko梁單元來模擬26個軸段，單個梁單元模型如圖2所示。

圖1 雙跨質量慢變轉子系統模型

圖2 Timoshenko梁單元模型

軸段存在兩個斷面節點A和B，每個節點均存在6個自由度，分別為沿x,y,z三個方向的平動和轉動，對應的平動位移和轉角分別表示為xA(xB)、yA(yB)、zA(zB)和θxA(θxB)、θyA(θyB)、θzA(θzB)，相比于軸本身的彎曲變形和扭轉變形，實際轉子系統中存在的軸向變形很小，所以忽略z軸方向位移及轉角。則兩端點間位移即梁單元的廣義坐標可表示為：

u=[xA,yA,θxA,θyA,xB,yB,θxB,θyB]

(1)

令系統的質量矩陣為M、阻尼矩陣為C、陀螺矩陣為D、剛度矩陣為K、合外力向量為Q、偏心力向量為Fp、重力向量為G，則整個轉子系統的動力學方程為：

(2)

Q=Fp+G

(3)

1.2 轉子系統質量慢變模型

以實際工程中的WL型臥式螺旋卸料沉降離心機轉子系統為例，其轉子系統的整體質量大體分為轉鼓質量和物料質量兩部分，在工作過程中，轉鼓質量不變，物料質量隨著離心力的離心作用而逐漸減小，再添加原料后又逐漸增加，這就實現了整個轉子系統的質量慢變過程。

假設在實際工作過程中，某物料分離機轉子部件質量在m0上下波動，變化程度不大，且這一變化過程是連續的。為了便于分析計算，令該轉子部件質量m(τ)的變化情況符合以下規律：

m(τ)=m0(1+λcosωτ)

(4)

τ=εt;ε?1

(5)

式中:λ為質量變化幅值系數；ω為轉子角速度；τ為慢變時間;ε為慢變時間系數。

2 雙跨單盤質量慢變轉子系統數值仿真

2.1 轉速對質量慢變轉子系統動態特性的影響

考慮到雙跨轉子系統的高維度，具有強非線性特征，故采用Newmark-β數值積分法進行求解。轉子系統主要參數如下：轉子系統軸徑10 mm，總長820 mm，由軸長分別為500 mm和320 mm的左右兩跨構成，并以剛性聯軸節連接；左右兩圓盤的初始質量均為800 g，偏心量均為120 g·mm；質量慢變參數中λ=0.1，ε=0.1；轉子系統的一階固有頻率為38.3 Hz；系統材料密度ρ=7 830 kg/m3，彈性模量E=2.19×1011Pa，泊松比v=0.3。質量慢變發生在左盤8節點處。

圖3和圖4分別為雙跨轉子系統正常工況和存在質量慢變情況下，轉速在1 500～8 000 r/min升速過程中的瀑布圖。可以發現，轉子系統的一階臨界轉速均為2 300 r/min。正常工況下，系統只有工頻存在，整個升速過程均做周期一運動；當存在質量慢變時，系統出現明顯分頻，主要表現為：在工頻Fn的ε倍處出現慢變小分頻Fr,且該分頻貫穿整個升速過程；當轉速在1 800～4 000 r/min區間范圍內時，工頻左右兩側出現明顯的等距分頻，均以ε·Fn為間隔，且在其他轉速區間也存在，但幅值很小，一階固有頻率處幅值稍有降低。

圖3 系統在正常工況下的升速瀑布圖

圖4 系統存在初始質量慢變情況下的升速瀑布圖

為更好的觀測到慢變節點處在升速過程中的運動軌跡與特性，繪制出系統分別在1 500 r/min(亞臨界轉速區)、2 300 r/min(臨界轉速區附近)以及4 500 r/min(超一階臨界轉速區)轉速下的運動特征圖像，如圖5所示。可以發現，轉子系統由亞臨界轉速區到超一階臨界轉速區的過程中，軸心軌跡均為多圓環互相嵌套型，但由上密下疏逐漸變為疏密一致且基本重合，再逐漸變為上疏下密；時域波形圖有明顯的周期性現象出現，在1 500 r/min時，上峰值幅值小于下峰值，隨著轉速的升高，下峰值逐漸減小，出現上峰值明顯大于下峰值的現象，時域波形的下沿趨近平緩；頻譜圖中工頻幅值先增大后減小，工頻兩側分頻幅值也有先增大再降低的趨勢；在升速過程中，轉子系統始終做周期十運動。

(a)轉速為1 500 r/min時的系統響應

2.2 λ和ε對轉子系統動態特性的影響

離心機在工作過程中，會受加入物料的快慢以及物料本身性質的影響，從而導致系統的動態特性發生相應的改變。圖6為轉子系統轉速為4 500 r/min，當慢變時間系數ε=0.1不變的情況下，質量慢變幅值系數λ分別取0.2、0.3時系統的運動特征圖像。

(a)λ為0.2時的系統響應

在λ由0.1增大到0.3的過程中，軸心軌跡由規則的上疏下密型逐漸變得混亂，軸心軌跡的范圍也逐漸增大；時域波形的周期未發生變化，但峰值升高，上峰值區域由平緩的正弦型逐漸變得尖銳；頻譜圖中的工頻幅值稍有增加，緊靠工頻兩側的頻率成分明顯增多，Fr的幅值也明顯增加，說明系統越來越混亂，轉子始終做周期十運動。經研究，當λ=0.3時，系統臨界轉速升高為2 600 r/min,說明當λ增高到一定程度時，系統的臨界轉速也會隨之增高。

圖7為轉子系統轉速為4 500 r/min，質量慢變幅值系數λ=0.1不變的情況下，慢變時間系數ε分別取0.05、0.3時系統的運動特征圖像。在ε由0.05增加到0.3的過程中，軸心軌跡形狀和范圍基本不變，但周期明顯變化，經研究發現周期倍數和ε相關，當ε可以被1整除時，例如ε=0.05、0.1、0.2時，系統做1/ε倍運動；當ε不能被1整除時，例如ε=0.15、0.3時，系統周期運動倍數，和系統取小于該ε，且和該ε最接近的整數倍的ε時，周期倍數一致。時域波形的變化周期會發生改變，經對比發現周期變化情況和時間參數ε呈線性相關，ε越小，周期越長。頻譜圖中各頻率成分的幅值基本不發生變化。并且，不只是工頻兩側出現等距分頻，在慢變分頻Fr的右側，也出現頻率為Fr整數倍的分頻成分。

(a)ε為0.05時的系統響應

3 雙跨雙盤質量慢變轉子系統數值仿真

令左盤8節點處的質量慢變不變(λ1和ε1均為0.1)，在右圓盤即22節點處加入質量慢變模型，對雙跨雙盤質量慢變轉子系統進行動態特性仿真分析，現取λ2=0.1、ε2=0.3，系統在1 500～8 000 r/min轉速區間內8節點處升速瀑布圖如圖8所示。

圖8 存在雙盤質量慢變時系統的升速瀑布圖

相比雙跨單盤質量慢變，左右兩盤同時發生慢變時的變化主要發生在3 500 r/min后的超一階臨界轉速區。升速瀑布圖中，一階固有頻率的轉速和幅值基本不發生變化，但在3 500 r/min之后，工頻兩側出現比較明顯的分頻成分，慢變小分頻Fr與只存在左盤質量慢變時一致。為更好的分析系統在升速過程的動力學特性，繪制出轉子系統在4 500 r/min和6 000 r/min時的運動特征圖像，如圖9所示。相比于單盤慢變，系統的軸心軌跡由上疏下密型轉變為疏密一致，隨著轉速的升高又變為上密下疏型；時域波形由上部正弦下部平緩變為上下均有正弦型波峰；頻譜圖中，分頻成分明顯增加。經研究，系統的周期性運動為左右兩盤的質量慢變疊加而成且同時存在，其他分頻成分也互相疊加；右盤加入質量慢變之后，左盤處動力學特性更加復雜，系統更加不穩性。

(a)轉速為4 500 r/min時的系統響應

4 結 論

本文建立了雙跨質量慢變轉子系統動力學模型，對其進行動力學特性仿真研究，得到了存在質量慢變情況下轉子系統的響應情況，為雙跨質量慢變轉子系統故障診斷和機理研究提供了一定的理論依據。具體結論如下：

(1)當系統存在質量慢變時，在工頻的ε倍處出現慢變小分頻Fr，且在工頻兩側以及Fr的右側出現以εFn為頻率間隔的等距分頻；等距分頻主要出現在一階臨界轉速區附近，在其他轉速區間內不明顯，但慢變小分頻一直出現。因此可通過慢變小分頻Fr和等距分頻的出現來判斷系統是否發生質量慢變。

(2)質量變化幅值系數主要影響轉子系統的幅值。當λ逐漸增大時，系統的各個頻率成分的幅值均有增加，系統變得越來越不穩定；當λ增加到一定程度時，系統的一階臨界轉速會隨之增加。因此在轉子系統運動過程中，應避免外加質量增減的幅度過快，可通過降低質量增減的變化幅度來保證系統的穩定性，進而讓設備更加安全的運轉。

(3)慢變時間系數主要影響轉子系統的周期性。當ε發生變化時，系統的周期明顯變化，經研究發現周期倍數和ε相關，當ε可以被1整除時，系統做周期1/ε倍運動；當ε不能被1整除時，系統周期運動倍數，和系統取小于該ε，且和該ε最接近的整數倍的ε時，周期倍數一致。

(4)雙跨雙盤轉子系統的兩個盤均存在質量慢變時，系統的周期運動和分頻成分由兩盤疊加而成，且在超一階臨界轉速區現象更加明顯，系統整體的動力學特性更加復雜，愈發不穩定，說明在質量慢變轉子系統正常運轉過程中，應避免在不同位置加入慢變質量，防止系統發生劇烈振動。