基于深度學習的單自由度機械臂定位可靠性估計

鮑 丹，侯保林

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

隨著機器人技術的發展，機械臂被廣泛應用于工業制造、航天航空、醫學治療和軍事等各個領域，比如物流系統中用于搬運、包裝的機械手；航空航天的空間自由漂浮機械臂；火炮自動裝填系統中的彈藥傳輸機械臂。機械臂定位可靠性是動作可靠性的一種，它表示機構在規定的實用條件下，在規定的使用期內，為實現其規定功能，而使其性能保持在允許值范圍內，能精確、及時、協調地達到目標位置的能力。但是，由于受工作環境的影響，在運動過程中的機械臂系統受到不確定性參數和外部擾動等因素的影響，使其定位可靠性的估計很困難。因此，研究機械臂在參數不確定以及存在外部隨機擾動的情況下的定位可靠性具有重要意義。

國內外目前也有大量對系統中存在不確定性參數的可靠性問題研究。例如，Rao等[1]使用概率方法對機械手運動學和動力學進行建模，在此基礎上提出計算可靠性的方法；Kang等[2]基于概率多橢球凸集混合模型，提出了在參數不確定或載荷不確定情況下結構安全可靠度指標的數學定義；姜潮等[3]針對系統中既有概率變量又有區間變量的混合不確定問題提出了一種概率-區間混合結構可靠性的高效計算方法；孟廣偉等[4]提出了借助降維方法將功能函數利用泰勒展開，推導結構功能函數的前4階中心距，利用四階矩法分別獲得失效概率上界和下界；邱濤等[5]針對機械結構中既有隨機變量又有區間變量的混合可靠性問題，提出一種基于二參數的混合可靠性分析算法。上述文獻的方法是基于功能函數可用顯式數學方程表達，當系統受到隨機擾動的影響，復雜性增加，顯式方程難以獲得時，采用神經網絡模型是可取的選擇。例如文獻[6]建立神經網絡代替位置分量的動力學模型，結果表明該方法能較好地滿足計算精度的要求；朱堅民等[7]針對機床滑動結合面動態特性參數不確定的問題，結合神經網絡對參數進行優化辨識；高學星等[8]構建了基于徑向基神經網絡的代理模型以提高計算效率，實現彈藥協調器動作可靠性估計。

具有單隱層的前饋神經網絡足以表示任何一個函數，但是當函數的非線性特別強時，則需要非常多的隱層單元，不僅大大降低計算效率，更有可能無法正確地學習和泛化。針對非線性復雜系統，使用更深的網絡模型能夠減少隱層單元數量，并且可以減少泛化誤差[9]。因此，文章提出了一種基于深度學習多隱層結構的神經網絡模型結合LM(levenberg-marquardt)算法，用于估計機械臂的定位可靠性。在ADAMS中建立機械臂系統的不確定模型，區間不確定參數在一次動作過程中可視為定值，通過實驗數據結合參數辨識的方法辨識出幾組實驗的參數，同時驗證單自由度機械臂仿真模型的準確性；在模型中加載外部隨機擾動，對區間不確定性參數進行拉丁超立方采樣，將每一組參數帶入模型，獲得機械臂在運動中的定位誤差，從而得到樣本數據；然后構造基于LM算法的深度學習神經網絡的模型，基于此模型估計機械臂定位可靠性。最后通過多組實驗數據分析表明文章提出的定位可靠性估計方法具有高效性和有效性。

1 單自由度機械臂模型建立

1.1 單自由度機械臂不確定性參數分析

文章研究的單自由度機械臂是以某火炮的彈藥傳輸機械臂為原型。單自由度機械臂由電機、控制器、減速箱、機械臂、氣彈簧、臺架、負載以及振動臺組成，主要實現機械臂末端負載的準確定位。控制器與上位機進行數據交換，通過電流控制電機的轉矩，電機輸出轉矩經過行星齒輪減速箱實現單自由度機械臂的繞軸運動，系統結構如圖1所示。氣彈簧用于平衡機械臂的重力矩，減小電機的負載。

圖1 單自由度機械臂的結構示意圖

單自由度機械臂系統中包含眾多參數，其中某些參數是可以通過計算或測量的方式獲得，如等效轉動慣量，機械臂物理尺寸；某些參數是不確定的，在估計單自由度機械臂的定位可靠性的時候，考慮工作時間段中外部環境的變化(例如溫度，氣壓等)和零件的磨損變形，這類參數在長時間工作中是變化的，只能確定其變化的范圍。對于文章研究的機械臂系統而言，這類區間不確定性參數包括：減速箱傳動效率η，氣彈簧的初始壓力p和氣體的多變指數n。

(1)減速箱傳動效率η；由于齒輪間的潤滑條件和長時間的使用等因素使減速箱的傳動效率受到影響，將這些因素對整個傳動系統性能的影響等效在減速箱傳動效率η上。

(2)氣彈簧的初始壓力p；氣彈簧的初始壓力隨著外部環境的變化而變化，在此氣彈簧的初始壓力被視為變化的區間不確定參數。

(3)氣體的多變指數n；氣彈簧的伸縮桿在運動過程中，氣體的多變指數受外部環境溫度影響，是變化的不確定性參數。

1.2 單自由度機械臂不確定性建模

在仿真軟件ADAMS中建立了單自由度機械臂的動力學模型和控制模型。模型的控制采用PID控制，PID控制器由比例單元(P)、積分單元(I)和微分單元(D)組成，結構和算法簡單，應用廣泛，工業過程控制中95%以上的控制回路都具有PID結構。在建模過程中，對三個不確定性參數進行參數化區間建模。并采用MATLAB程序控制參數化仿真，即在改變不確定性參數的取值，自動進行仿真，得到相應參數下的機械臂角位移變化曲線，以便后面參數辨識過程中的大量仿真的自動進行。

根據實際經驗、器材說明書以及相關文獻[10]，確定三個區間不確定參數的變化區間分別為：減速箱傳動效率η為[0.58,0.63]；氣彈簧的初始壓力p為[0.46,0.52]，單位MPa；氣體的多變指數n為[1.08,1.26]。

1.3 參數辨識與模型驗證

系統的三個區間不確定性參數在長時間內是變化的，但在機械臂一次動作定位過程中，由于時間極短可近似看作是定值。利用實驗數據對系統參數進行辨識，同時驗證ADAMS動力學模型的準確性。圖2為測試過程的圖片。在無負載情況下進行三次機械臂的重復性定位測試，以20°為目標定位位置，得到圖3 所示的三組機械臂角位移變化曲線。在加載負載的情況下進行三次機械臂的重復性定位測試，仍以20°為目標定位位置，得到圖4所示的三組機械臂角位移變化曲線。

圖2 測試照片

圖3 無負載時角位移變化測試結果

圖4 有負載時角位移變化測試結果

文章的辨識問題可看成一個優化問題來解決，即在控制條件與測試過程中的控制參數一致的情況下，當減速箱傳動效率、氣彈簧的初始壓力和氣體的多變指數在區間中變化時，在區間內找到一組最優的參數，使得仿真得到的機械臂角位移曲線與測試所得的角位移曲線相似度最高。以時間序列曲線相似度為優化目標，文章采用動態時間規整(DTW)[11]計算仿真曲線與測試曲線的相似度來評價辨識結果。尋優過程采用粒子群優化算法，粒子群優化算法(particle swarm optimization, PSO)以其實現簡單、精度高、收斂快等優點被廣泛運用，它是從隨機解出發，通過迭代尋找最優解，并通過適應度值來評價解的優劣[12]。PSO參數包括種群規模m、最大迭代次數N、慣性權重、學習因子c1和c2，粒子位置和速度的范圍。優化問題的自變量值即為粒子的位置，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值(個體極值和群體極值)，再根據以下公式來更新位置和速度直到滿足結束條件。其中x表示粒子的位置，v表示粒子的速度；d表示不確定參數的個數；pid表示個體極值，pgd表示群體極值；r1和r2為[0,1]范圍內的均勻隨機數，k為迭代次數。

vid(k+1)=wvid(k)+c1r1(pid-xid(k))+

c2r2(pgd-xid(k))

(1)

xid(k+1)=xid(k)+vid(k+1)

(2)

粒子群算法的流程圖如圖5所示，具體步驟為：

圖5 PSO算法流程圖

(1)初始化粒子群的位置和速度，設置種群規模、最大迭代次數，慣性權重，學習因子等參數。

(2)計算每個粒子的適應度值(此處的適應度值為時間序列曲線相似度)。

(3)將每個粒子的適應度值與個體極值進行比較，更新個體極值；將每個粒子的適應度值與群體極值進行比較，更新群體極值。

(4)根據式(1)和式(2)更新粒子的位置和速度。

(5)如果滿足結束條件(達到精度或者達到最大迭代次數)則退出，否則返回步驟(2)。

由于實際系統待辨識的參數是難以測量的，文章利用仿真模型實驗來確定此方法的辨識精度，再利用測試數據對單自由度機械臂的參數進行辨識，來驗證仿真模型的準確性。表1給出了辨識結果。其中，通過仿真模型，粒子群算法對三個待辨識參數辨識結果的平均相對誤差分別為0.54%、2.48%和0.61%，可見辨識精度較高，滿足實際需求。對于圖3中的無負載情況下的3組測試數據，通過辨識的方法分別得到3個待辨識參數的辨識值；對于圖4中的有負載情況下的3組測試數據，通過辨識方法分別得到3個待辨識參數的辨識值，且辨識值均與理論值相符。將有無負載情況下的第二組辨識結果帶入仿真模型，計算得出機械臂角位移辨識結果與測試數據進行對比，如圖6所示，從圖中可以看出，兩組對比的相似度均很高，表明辨識結果是合理的，并且仿真模型是準確的。

表1 辨識結果

(a)無負載情況

與測試過程一樣，在三個位置采用正弦波疊加原理加載隨機外部擾動，振動臺由三個振動柱構成，每個振動柱加載隨機正弦波位移擾動。在仿真模型中，正弦波的頻率均為1 Hz，幅值在區間[0,30]中隨機取值，單位mm;相位在區間[0,180]中隨機取值,單位為度。當幅值分別為7 mm、18 mm和30 mm,相位取值分別為45°、90°和180°時，三個振動柱加載的位移擾動如圖7所示。

圖7 隨機擾動信號

在三個不確定參數的區間內進行拉丁超立方采樣10 000組，將每一組參數帶入仿真模型，機械臂在隨機外部擾動中實現定位，從而獲得機械臂定位誤差。不確定性參數作為訓練深度學習神經網絡模型的輸入，機械臂定位誤差作為其訓練的期望值。

2 深度學習神經網絡模型建立

2.1 深度學習神經網絡結構

進行可靠性計算時，需要大量的數據，通過實驗獲得大量數據是耗時耗力不可取的。并且在文章所研究的機械臂系統中，存在著多個區間不確定參數，所以文章采用了基于深度學習的代理模型來分析機械臂系統的可靠性。深度學習是機器學習的一種方法，它大量借鑒了我們關于人腦、統計學和應用數學的相關知識[13]。深度前饋神經網絡也稱多層感知機，是典型的深度學習模型，主要包含輸入層，隱含層和輸出層，如圖8所示。神經網絡是由大量的神經元連接而成的復雜網絡，其中“M-P模型”是一直沿用至今的神經元模型。在這個模型中，每個神經元接收到前一層所有神經元傳遞過來的輸入信號，這些信號通過權重的連接進行傳遞，再經過偏置，然后通過“激活函數”處理產生神經元的輸出，并傳遞到下一層神經元。

圖8 神經網絡模型結構

圖9 M-P神經元模型

(3)

(4)

(5)

根據文章有三個輸入，一個輸出，采用含三個隱含層的神經網絡結構，則W(1)為4×3的矩陣，b(1)為4×1的矩陣，W(2)為3×4的矩陣，b(2)為3×1的矩陣，W(3)為3×3的矩陣，b(3)為3×1的矩陣，W(4)為1×3的矩陣，b(4)為1×1的矩陣。

2.2 基于Levenberg-Marquardt算法的模型

神經網絡的訓練過程就是根據輸出與期望輸出之間的誤差來調整神經元之間的權值以及閾值，使得預測輸出與期望輸出最接近。文章采用LM算法[15-16]來更新權值和閾值。LM算法是介于梯度下降法和高斯牛頓法的一種非線性算法，在遠離最優解的時候，它具有梯度下降法的全局搜索特性，在接近最優解的時候，LM算法具有高斯牛頓法的局部快速收斂性。LM算法的權值和閾值更新準則為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，下標k和k+1分別表示當前迭代和下一迭代，Jk是神經網絡輸出誤差相對于神經網絡權值的雅可比矩陣，Ek是由目標系統與神經網絡輸出誤差組成的誤差向量。第l層權值和閾值的雅可比矩陣可由公式(8)和(9)得到。μ是LM算法中的超參數，當μ值很小的時候，LM算法近似于高斯-牛頓法，當μ值很大的時候，LM算法近似于梯度下降法。這里μ采用自適應算法。

設置神經網絡的相關參數：神經網絡具有三個隱含層，第一層含有4個神經元、第二層和第三層分別含有3個神經元；采用正態概率分布法采樣初始化權重和閾值，平均值為0，標準方差為前一層的節點數的開方；最大迭代次數為1 000次。

采用LM算法訓練神經網絡，得到模型預測結果，并與單隱層神經網絡的預測結果進行對比，圖10為單隱層結構且含有10個神經元的網絡模型預測誤差，單隱層結構且含30個神經元的網絡模型預測誤差以及文章提出的多隱層結構且含10個神經元的網絡模型預測誤差對比圖，它們的平均預測誤差分別為0.107 5、0.092 0和0.051 7。當神經元數目相同時，多隱層結構神經網絡的預測精度比單隱層神經網絡的預測精度高兩倍。此外，由圖11可得，基于LM算法的深度學習神經網絡模型收斂速度更快。因此，文章的機械臂定位可靠性分析是基于LM算法的深度學習神經網絡模型。

圖10 不同神經網絡模型預測誤差對比圖

圖11 不同算法下模型的收斂速度

3 定位可靠性分析方法與結果

3.1 定位可靠性的分析方法

定位可靠性是動作可靠性的一種，它表示機構在規定的實用條件下，在規定的使用期內，為實現其規定功能，而使其性能保持在允許值范圍內，能精確、及時、協調地達到目標位置的能力。定位可靠性取決于系統的物理參數、幾何參數、邊界條件和外部載荷等，設這些因素為系統的隨機變量X=(x1,x2,…,xn)，每一組隨機變量經過系統得到對應的定位誤差，即定位誤差Y是隨機變量的函數。

Y=g(X)=g(x1,x2,…,xn)

(10)

在正常運動的系統中，如果任一定位誤差超過某一臨界狀態將不能滿足設計指標，這一臨界位置稱為系統的極限狀態。對于機械臂定位可靠性問題，極限狀態函數可表示為

f(X)=Y0-Y

(11)

式中：Y為隨機變量X下的定位誤差，Y0為要求的誤差范圍。動作是否可靠可以通過f(X)來判斷。如果能將f(X)表示為X的明確數學表達式，則稱之為顯式極限狀態函數，否則稱為隱式極限狀態函數。在實際工程中，難以獲得不確定參數的概率密度分布；另外，由于存在外部隨機擾動，使得機械臂的定位誤差極限狀態函數f(X)很難用明確的數學表達式來表示；并且，可靠性分析需要進行成千上萬次不停隨機變量下的模擬計算，從時間上來說也是不現實的。文章采用上述基于深度學習的神經網絡代理模型進行定位可靠性估計。

定位可靠性計算流程如圖12所示。前處理模塊主要完成機構動力學模型不確定性參數辨識和模型驗證，對區間不確定參數采樣，并產生隨機擾動，帶入動力學模型來獲取用于訓練深度學習模型的樣本點。機械臂的定位誤差作為訓練樣本的輸出。由于涉及大量的重復仿真操作，整個流程采用腳本程序自動完成，主要包括的步驟有調用MATLAB自動修改ADAMS參數文件，打開動力學軟件完成參數賦值并進行仿真，保存仿真結果。中間處理模塊主要以區間不確定參數為輸入，定位誤差作為輸出建立深度學習神經網絡模型。后處理模塊完成對基于深度學習神經網絡模型的大量仿真結果進行統計，利用蒙特卡洛算法最終計算出定位可靠性。

圖12 基于深度學習模型和蒙特卡洛的定位可靠性計算流程

3.2 定位可靠性的估計結果

根據3.1的定位可靠性計算流程，進行可靠度的估計。在一次動作過程中，機械臂從初始位置0°運動到定位位置，設置20°為目標角位移，定位誤差為機械臂協調的定位角度與目標位置的角度之差。通過深度學習神經網絡模型，模擬106組數據。采用蒙特卡洛算法得到定位誤差絕對值的概率密度分布以及定位誤差絕對值的累積概率分布，如圖13和圖14所示。該機械臂的定位誤差精度指標為0.5°，仿真可得機械臂的定位誤差絕對值不超過0.5°的概率是84.12%，即機械臂的定位可靠性為84.12%。最后在不同的環境溫度中進行了100組實驗，得到100組機械臂的定位誤差，如圖15所示。對100組定位誤差進行分析，可得機械臂的定位誤差概率為82.05%。仿真結果與實驗結果很接近，且仿真所得誤差絕對值的累計概率分布與實驗測試所得的誤差絕對值累計概率密度曲線重合度很高，如圖14所示。

圖13 定位誤差絕對值概率密度分布

圖14 定位誤差絕對值累計概率分布

圖15 100組實驗的定位誤差

4 結 論

文章建立了單自由度機械臂的動力學模型和控制模型，根據實驗數據辨識系統中的參數并驗證了仿真模型的準確性；針對系統中存在區間不確定參數以及隨機擾動的因素，使得系統復雜性和非線性急劇上升，提出了一種基于深度學習結合Levenberg-Marquardt算法的神經網絡模型來估計定位可靠性；對神經網絡模型進行Monte-Carlo仿真分析后，求解了定位誤差的概率分布，機械臂的定位可靠性估計值為84.12%。最后通過100組實驗的數據分析，表明文章提出的方法具有可行性，這為復雜系統的可靠性估計提供了借鑒。