天棚半主動(dòng)慣容隔振器動(dòng)態(tài)特性研究

唐 鋒，王 勇,2，丁 虎, 陳立群

(1.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444；2.江蘇大學(xué) 汽車(chē)工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

Smith[2]首次提出了慣容器的概念，慣容器是一種具有兩個(gè)相對(duì)自由運(yùn)動(dòng)端點(diǎn)的裝置，其產(chǎn)生的作用力與兩端的相對(duì)加速度成比例，該比例系數(shù)稱(chēng)為慣質(zhì)系數(shù)且單位為千克。慣容器具有質(zhì)量放大作用，能夠提供比自身質(zhì)量大的慣質(zhì)效應(yīng)，可以增加承載系統(tǒng)的慣性而不增加其承載質(zhì)量。由于慣容器特有的力學(xué)特性，其已被廣泛運(yùn)用于各種工程領(lǐng)域且被視為一種有效的減振裝置，如汽車(chē)懸架系統(tǒng)[3]，鐵道車(chē)輛懸架系統(tǒng)[4-5]，建筑橋梁減振系統(tǒng)[6-7]，動(dòng)力吸振系統(tǒng)[8-9]與隔振系統(tǒng)[10]。

在隔振領(lǐng)域，Chen等[11]證明了慣容器可以使系統(tǒng)的固有頻率降低；Hu等[12]采用H∞與H2兩種方法優(yōu)化了五種慣容隔振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究表明慣容隔振器可以有效降低傳統(tǒng)線性隔振器的傳遞率峰值；Wang等[13]在此基礎(chǔ)上研究了八種慣容隔振器的隔振性能，定義了四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比得出一種最優(yōu)結(jié)構(gòu)。在上述研究中，通過(guò)增加附加彈簧以及改變慣容器、彈簧與阻尼器的布置形式，慣容隔振器可以有多種結(jié)構(gòu)形式，最簡(jiǎn)單易行的是三元件并聯(lián)式慣容隔振器，其所需結(jié)構(gòu)元件較少且安裝方便，三元件并聯(lián)式慣容隔振器能進(jìn)一步拓寬傳統(tǒng)線性隔振器的隔振頻帶，但高頻隔振性能顯著惡化，且慣質(zhì)系數(shù)越大高頻隔振性能越差。Chen等[14]提出了理想天棚慣容器，其一端與承載質(zhì)量相連另一端與慣性參考系相連，能改善被動(dòng)慣容隔振系統(tǒng)在高頻的隔振性能。理想天棚慣容器無(wú)法通過(guò)被動(dòng)結(jié)構(gòu)形式實(shí)現(xiàn)，但可通過(guò)設(shè)計(jì)半主動(dòng)慣容器并采取相應(yīng)的半主動(dòng)控制策略來(lái)實(shí)現(xiàn)。

半主動(dòng)慣容器的慣質(zhì)系數(shù)在工作過(guò)程中可進(jìn)行調(diào)節(jié)，其結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)形式有多種，如在滾珠絲杠式慣容器中安裝可控慣性飛輪[15]或改變液力式慣容器的管徑[16]，當(dāng)工程結(jié)構(gòu)裝置采用半主動(dòng)慣容器后，其減振性能得到進(jìn)一步提高[17-18]。王勇等[19]提出了相對(duì)加速度-相對(duì)速度(relative acceleration relative velocity,RARV)控制的半主動(dòng)慣容隔振器，研究了三元件并聯(lián)式與串聯(lián)式半主動(dòng)慣容隔振器的動(dòng)態(tài)性能，結(jié)果表明并聯(lián)式隔振效果更好，且比被動(dòng)慣容隔振器具有更好的隔振性能。隨后Wang等[20]針對(duì)并聯(lián)式半主動(dòng)慣容器，又提出了相對(duì)加速度-絕對(duì)速度策略(relative acceleration absolute velocity, RAAV)，以更好地改善慣容隔振器的隔振性能。但采用這兩種控制策略后，半主動(dòng)慣容隔振器的高頻隔振性能仍沒(méi)有得到顯著改善，為此本文采用基于絕對(duì)-相對(duì)加速度切換控制的天棚慣容控制策略，調(diào)節(jié)半主動(dòng)慣容器的慣質(zhì)系數(shù)在最大與最小值之間切換，來(lái)近似模擬理想天棚慣容器的力學(xué)特性，以提高慣容隔振器的高頻隔振性能。

本文研究的慣容隔振器采用最基本的三元件并聯(lián)式結(jié)構(gòu)，分析天棚半主動(dòng)慣容隔振器在基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)特性，運(yùn)用平均法求解系統(tǒng)的近似解析解，并用數(shù)值解進(jìn)行驗(yàn)證。定義四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)半主動(dòng)慣容隔振器的隔振性能，揭示可變慣質(zhì)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響規(guī)律，并與被動(dòng)慣容隔振器、RARV與RAAV半主動(dòng)慣容隔振器進(jìn)行對(duì)比分析。

1 天棚半主動(dòng)慣容隔振器

理想天棚慣容隔振器如圖1(a)所示，與其等價(jià)的天棚半主動(dòng)慣容隔振器如圖1(b)所示。半主動(dòng)慣容器的慣質(zhì)系數(shù)為b且可進(jìn)行調(diào)節(jié)，阻尼器的阻尼系數(shù)為c，彈簧剛度為k，x為質(zhì)量m相對(duì)于靜態(tài)平衡位置的位移，外界激勵(lì)為基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)且可用y=ymcos(ωt)表示。

(a)理想天棚慣容隔振器

一種半主動(dòng)液力式慣容器如圖2所示，其結(jié)構(gòu)包括由缸體、活塞和緩沖塊構(gòu)成的主體以及由軟管、電磁閥、兩種不同管徑的螺旋硬管構(gòu)成的慣質(zhì)系數(shù)調(diào)節(jié)裝置。油液經(jīng)細(xì)長(zhǎng)管從缸體的一個(gè)腔流向另一個(gè)腔時(shí)會(huì)產(chǎn)生慣性效應(yīng)[21]，通過(guò)控制兩個(gè)電磁閥的開(kāi)關(guān)調(diào)節(jié)油液流通的管道便可改變液力式慣容器的慣質(zhì)系數(shù)。半主動(dòng)慣容器在信號(hào)采集、信號(hào)傳輸、控制器計(jì)算和作動(dòng)器執(zhí)行過(guò)程中會(huì)有一定的調(diào)節(jié)響應(yīng)時(shí)間[22]，時(shí)滯在一定情況下會(huì)惡化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，但是選取適當(dāng)?shù)臅r(shí)滯反饋增益可以減小或消除時(shí)滯帶來(lái)的不利影響[23]。本文為簡(jiǎn)化分析，考慮半主動(dòng)液力式慣容器在調(diào)節(jié)慣質(zhì)系數(shù)時(shí)是實(shí)時(shí)快速地調(diào)節(jié)，不考慮時(shí)滯的影響，建立天棚半主動(dòng)慣容器在基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程

圖2 半主動(dòng)液力式慣容器

mx″=-b(x″-y″)-k(x-y)-c(x′-y′)

(1)

天棚慣容控制策略采用基于絕對(duì)-相對(duì)加速度切換的控制策略，半主動(dòng)慣容器的慣質(zhì)系數(shù)調(diào)節(jié)如下

(2)

式中:bmax，bmin分別為可控制調(diào)節(jié)的最大與最小慣質(zhì)系數(shù)。定義x-y=z，式(1)和式(2)可以化簡(jiǎn)為

(3)

(4)

定義無(wú)量綱參數(shù)

(5)

對(duì)于弱非線性系統(tǒng)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的振動(dòng)幅值和相位是緩慢變化的，即其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是小量，又從式(4)可知系統(tǒng)是分段的，因此適合采用平均法[24]求解系統(tǒng)的近似解析解，首先假設(shè)解的形式為

z=zmcosφ

(6a)

z′=-zmωsinφ

(6b)

式中：φ=ωt+θ，將式(6a)和式(6b)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，得到以下表達(dá)式

(7a)

(7b)

結(jié)合式(6b)和式(7a)，結(jié)合式(3)和式(7b)分別得到

(8a)

(8b)

其中

cosφ-2ζωωnzmsinφ-ω2ymcos(φ-θ)

(9)

通過(guò)式(8a)和式(8b)可以得到廣義振幅zm和相位θ的表達(dá)式

(10)

根據(jù)平均法思想，慢變量振幅和相位可以通過(guò)將式(10)右側(cè)在一個(gè)周期內(nèi)積分得到

(11)

將式(6a)代入式(4)得到

(12a)

(12b)

其中

(13)

(14)

2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解

式(11)中可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間與相位β有關(guān)。定義相位β的取值區(qū)間為[0, 2π)，當(dāng)相位β分別在四個(gè)象限取值時(shí)，cosφ和cos(φ-β)曲線的相對(duì)位置如圖3所示。

(a)β∈(0, π/2)

根據(jù)cosφ和cos(φ-β)的符號(hào)變化情況，可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間可以分為八種情況，以此可得穩(wěn)態(tài)解的幅值和相位。根據(jù)式(11)和八種情況下的可控慣質(zhì)比δ的積分區(qū)間，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的幅頻特征方程如下

(I)0<β<π/2

(15)

(II)π/2<β<π

(16)

(III)π<β<3π/2

(17)

(IV)3π/2<β<2π

(18)

(V)β=0

δ=δmax

(19)

(VI)β=π/2

(20)

(VII)β=π

δ=δmin

(21)

(VIII)β=3π/2

(22)

本文中基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)振幅ym= 0.02 m，天棚半主動(dòng)慣容隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 天棚半主動(dòng)慣容隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)

為驗(yàn)證平均法得到的近似解析解的精確性，將其與數(shù)值解結(jié)果對(duì)比，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的相對(duì)位移的解析解和數(shù)值解結(jié)果對(duì)比如圖4所示。數(shù)值結(jié)果通過(guò)結(jié)合式(3)與式(12a)，運(yùn)用定步長(zhǎng)的4階龍格庫(kù)塔方法得到。從圖中可以看出解析解與數(shù)值解基本吻合，從而可以得出解析解是精確可靠的。

圖4 天棚半主動(dòng)慣容隔振器相對(duì)位移數(shù)值解與解析解對(duì)比 (δmax=1, δmin=0.5)

3 隔振性能分析

令質(zhì)量m的位移幅值為xm，絕對(duì)位移傳遞率Ta定義如下

(23)

定義四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的隔振性能：絕對(duì)位移峰值xmp為系統(tǒng)共振時(shí)的振幅，是系統(tǒng)可以達(dá)到的最大位移；絕對(duì)位移傳遞率峰值Tap為全頻域絕對(duì)位移傳遞率的最大值；隔振頻帶ω0為絕對(duì)位移幅值xm小于基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)幅值z(mì)m的頻帶范圍，隔振器在隔振頻帶內(nèi)才對(duì)振動(dòng)起隔離作用；高頻帶絕對(duì)位移傳遞率Talim為激勵(lì)頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)絕對(duì)位移xm與激勵(lì)幅值z(mì)m的比值，描述的是隔振器的高頻隔振性能。

需要注意的是在計(jì)算四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)前首先要求解相位β，不同慣質(zhì)比下相位β的取值如圖5所示。在求解幾個(gè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，當(dāng)β在區(qū)間(3π/2,2π)時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇式(18)，同理當(dāng)β在區(qū)間(π,3π/2)時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇式(17)。

(a)δmax=1

天棚半主動(dòng)慣容隔振器的四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)推導(dǎo)過(guò)程如下所示：

絕對(duì)位移x由以下公式求得

x=y+z=xmcos(ωt+γ)

(24)

(25)

(26)

絕對(duì)位移峰值和絕對(duì)位移傳遞率峰值所對(duì)應(yīng)的β取值范圍在(3π/2, 2π)，故將式(18)兩邊對(duì)激勵(lì)頻率進(jìn)行求導(dǎo)，得到

(27)

cos2θ+sin2θ=1

(28)

由絕對(duì)位移峰值導(dǎo)數(shù)為0，對(duì)式(23)求導(dǎo)得到

(29)

結(jié)合式(18)，(25)，(27)～(29)可以求得絕對(duì)位移x的最大振幅，即絕對(duì)位移峰值xmp。

則絕對(duì)位移傳遞率峰值為

(30)

對(duì)于隔振頻帶，有

xm=ym

(31)

代入式(25)可以得到

(32)

式(32)結(jié)合式(18)可得隔振頻率ω0。

對(duì)于高頻帶絕對(duì)位移傳遞率，所對(duì)應(yīng)的β取值范圍為(π,3π/2)，由式(17)可以得到當(dāng)頻率趨于無(wú)窮大時(shí)相對(duì)位移振幅的極限值

(33)

(34)

(35)

將式(33)～(35)結(jié)合式(14)和式(23)可得高頻帶絕對(duì)位移的傳遞率Talim

(36)

當(dāng)最小慣質(zhì)比δmin與最大慣質(zhì)比δmax取不同值時(shí)，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的絕對(duì)位移與絕對(duì)位移傳遞率分別如圖6與圖7所示。

圖6 δmax= 1，δmin取不同值時(shí)，天棚半主動(dòng)慣容隔振器絕對(duì)位移與絕對(duì)位移傳遞率

圖7 δmin= 0.05，δmax取不同值時(shí)，天棚半主動(dòng)慣容隔振器絕對(duì)位移與絕對(duì)位移傳遞率

從圖6可以看出當(dāng)最大慣質(zhì)比δmax固定時(shí)，隨著最小慣質(zhì)比δmin增加，絕對(duì)位移峰值和絕對(duì)位移傳遞率峰值減小，高頻帶的絕對(duì)位移幅值和絕對(duì)位移傳遞率增大，隔振頻帶稍有擴(kuò)大。圖7顯示當(dāng)最小慣質(zhì)比δmin固定時(shí)，隨著最大慣質(zhì)比δmax增加，絕對(duì)位移峰值和絕對(duì)位移傳遞率峰值降低，隔振頻帶擴(kuò)大，高頻帶絕對(duì)位移傳遞率無(wú)明顯變化。

4 隔振性能對(duì)比研究

為了明確天棚半主動(dòng)慣容隔振器的優(yōu)勢(shì)，將其分別與被動(dòng)慣容隔振器，RARV、RAAV半主動(dòng)慣容隔振器進(jìn)行對(duì)比。在對(duì)比時(shí)，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，被動(dòng)慣容隔振器的慣質(zhì)比δ與天棚半主動(dòng)慣容隔振器的最小慣質(zhì)比δmin相等；在與RARV、RAAV半主動(dòng)慣容隔振器對(duì)比時(shí)，取相同的δmax與δmin。

4.1 與被動(dòng)慣容隔振器對(duì)比

選取天棚半主動(dòng)慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，最小慣質(zhì)比δmin= 0.05，被動(dòng)慣容隔振器的慣質(zhì)比δ分別取1和0.05，其絕對(duì)位移與絕對(duì)位移傳遞率對(duì)比如圖8所示。

圖8 天棚半主動(dòng)與被動(dòng)慣容隔振器的絕對(duì)位移與絕對(duì)位移傳遞率對(duì)比

從圖8可以看出天棚半主動(dòng)慣容隔振器的絕對(duì)位移共振峰值和隔振頻率更接近慣質(zhì)比與其最大慣質(zhì)比δmax相等的被動(dòng)慣容隔振器，高頻帶絕對(duì)位移傳遞率更接近慣質(zhì)比與其最小慣質(zhì)比δmin相等的被動(dòng)慣容隔振器。

圖9比較了天棚半主動(dòng)慣容隔振器和被動(dòng)慣容隔振器的四個(gè)隔振性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。圖9(a)為絕對(duì)位移峰值的對(duì)比圖，圖9(b)為絕對(duì)位移傳遞率峰值的對(duì)比圖，當(dāng)天棚半主動(dòng)慣容隔振器的最大慣質(zhì)比δmax= 1，最小慣質(zhì)比δmin和被動(dòng)慣容隔振器的慣質(zhì)系數(shù)δ一同改變時(shí)，隨著δmin的增加，兩者的絕對(duì)位移峰值和絕對(duì)位移傳遞率不斷減小，差值逐漸變??；圖9(c)為隔振頻率的對(duì)比圖，隨著最小慣質(zhì)系數(shù)δmin和被動(dòng)慣容隔振器的慣質(zhì)系數(shù)δ的增加，兩者的隔振頻帶均擴(kuò)大，但天棚半主動(dòng)慣容隔振器的隔振頻帶變化很小；圖9(d)為高頻帶絕對(duì)位移傳遞率對(duì)比圖，兩者吻合，變化呈增長(zhǎng)趨勢(shì)。

(a)絕對(duì)位移峰值xmp

4.2 與其他兩種半主動(dòng)慣容隔振器對(duì)比

本節(jié)以δmax= 1，δmin= 0.05為例，比較三種半主動(dòng)慣容隔振器的隔振性能。從圖10可以看出三種半主動(dòng)慣容隔振器的隔振頻帶是比較接近的；對(duì)于高頻帶絕對(duì)位移傳遞率，天棚半主動(dòng)慣容隔振器較另外兩種策略而言具有明顯優(yōu)勢(shì)。

圖10 三種半主動(dòng)慣容隔振器的絕對(duì)位移和絕對(duì)位移傳遞率對(duì)比圖

從圖11可以看出，當(dāng)最大慣質(zhì)比δmax為固定值時(shí)，隨著最小慣質(zhì)比δmin的減小，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的高頻帶絕對(duì)位移傳遞率也減小。整體上看，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的絕對(duì)位移峰值以及絕對(duì)位移傳遞率峰值高于RARV與RAAV半主動(dòng)慣容隔振器，隔振頻率介于二者之間且更接近隔振頻率較低的RAAV半主動(dòng)慣容隔振器，在高頻帶的絕對(duì)位移傳遞率明顯低于其他兩種半主動(dòng)慣容隔振器。所以想要改善系統(tǒng)在高頻的隔振性能，應(yīng)選擇使用天棚半主動(dòng)慣容隔振器。

(a)絕對(duì)位移峰值xmp

5 結(jié) 論

本文根據(jù)天棚慣容器的力學(xué)特性，提出了基于絕對(duì)-相對(duì)加速度切換控制的天棚慣容控制以達(dá)到近似天棚慣容器的效果方法，研究了可變慣質(zhì)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響規(guī)律。通過(guò)與被動(dòng)慣容隔振器、RARV與RAAV半主動(dòng)慣容隔振器進(jìn)行對(duì)比分析，展現(xiàn)了本結(jié)構(gòu)在高頻隔振性能上的優(yōu)勢(shì)。研究結(jié)果如下：

(1)提出了天棚慣容控制策略，該控制策略下系統(tǒng)為分段動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，使用平均方法解得其動(dòng)態(tài)響應(yīng)，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證表明，采用平均法求得的近似解析解可以代表實(shí)際的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

(2)天棚半主動(dòng)慣容隔振器的低頻隔振性能(絕對(duì)位移峰值，絕對(duì)位移傳遞率峰值和隔振頻帶)與最大慣質(zhì)系數(shù)相關(guān)，高頻隔振性能(高頻帶絕對(duì)位移傳遞率)與最小慣質(zhì)系數(shù)更為相關(guān)。

(3)天棚半主動(dòng)慣容隔振器在高頻的隔振性能與δ=δmin的被動(dòng)慣容隔振器一致。三種半主動(dòng)慣容隔振器中，天棚半主動(dòng)慣容隔振器的高頻隔振性能最佳，當(dāng)其最小慣質(zhì)系數(shù)δmin趨近于0時(shí)，其高頻傳遞率趨于0。

(4)天棚半主動(dòng)慣容隔振器的隔振頻帶較被動(dòng)慣容隔振器、RARV半主動(dòng)慣容隔振器更寬，接近RAAV半主動(dòng)慣容隔振器；高頻帶絕對(duì)位移傳遞率普遍低于其他三者。但絕對(duì)位移峰值和絕對(duì)位移傳遞率峰值僅低于被動(dòng)隔振器，高于RARV與RAAV半主動(dòng)慣容隔振器。