基于繼電反饋的被控對象特征參數研究

閆 曌, 張立廣, 李紅楠, 劉 穎, 嚴宇欣

(1. 西安工業大學 電子信息工程學院, 陜西 西安 710021；2. 大連長豐實業總公司航豐公司, 遼寧 大連 116038)

0 引 言

文獻[1]報道Astrom等提出基于繼電反饋的PID整定方法，在工業界有著廣泛應用。該方法在閉環回路中加繼電器產生振蕩，通過獲取系統輸出振蕩時的臨界參數，利用Z-N規則[2]來調整PID參數。然而，Z-N方法存在不穩定、精度低等不足，無法準確得到PID控制器的參數。

大多數工業過程可近似為低階慣性加純滯后環節[3]，在整定參數時，應該根據不同對象的模型、特性等因素選擇合適的方法。文獻[4]提出一種改進型的繼電反饋自整定PID用來控制自衡過程。文獻[5]針對實際工業對象，設計繼電反饋參數自整定算法。文獻[6]采用繼電反饋進行參數獲取，根據對象的振蕩輸出曲線辨識模型參數和臨界信息。但均存在截斷誤差，對臨界增益的辨識精度低，在時滯大的工業過程中不能取得較好的結果。

針對Z-N方法整定PID參數時存在的不足，本文采用繼電反饋方法，對一階慣性純滯后環節的工業對象進行仿真研究，推導了臨界信息與傳遞函數參數的函數關系，實現工業對象的信息辨識。

1 繼電反饋基本原理及建模

在工業領域內，大多數被控對象結構復雜，無法獲得被控對象的精確模型[7]。參數整定規則大部分是基于傳遞函數進行整定的，然而大多數被控對象均不是標準的延遲形式，為了使結論能廣泛應用，將傳遞函數等效為一階慣性加滯后的模型。但慣性和純滯后的時間無法確定，因此本文采用繼電振蕩的方法，得到臨界參數Ku和Tu，通過建立模型，得到臨界參數與傳遞函數中特征參數的函數關系，從而對控制器進行參數整定。

1.1 基本原理

繼電反饋方法是在閉環控制回路中加入繼電控制[8]，利用繼電控制的非線性特性使被控過程出現極限環振蕩，利用振蕩曲線信息估計動態過程數學模型的特征參數Tu和Ku，進而計算PID控制器的參數。

繼電整定法在控制系統中設置2種模式[9]：測試模式和調節模式。測試模式由一個繼電非線性環節來測試系統的振蕩頻率和振蕩幅值;調節模式由系統的特征參數首先得出控制器參數，然后由控制器對系統的動態性能進行調節。如果系統的參數發生變化,則需要重新進入測試模式進行測試[10]，測試完畢后再回到調節模式進行控制。結構框圖如圖1所示。

圖1 繼電反饋PID自整定控制結構圖

圖1中，r(t)為參考信號，目標值通常被設為0，e(t)為偏差，u(t)為被控對象的輸入，y(t)為輸出[11]。

測試模式下，系統的等效框圖如圖2所示，開始時輸入u為d，當輸出開始增加后，繼電輸出切換到相反的方向,即u=-d，因為相位延遲是-π，所以產生了一個周期為Tu的極限振蕩[12]。

圖2 繼電反饋測試模式結構圖

當系統處于等幅振蕩時，非線性環節信號輸入e(t)為正弦信號，非線性環節輸出信號u(t)為周期方波信號，周期為Tu，其傅里葉級數展開式為

(1)

式中：A0為直流分量；An、Bn分別為基波及各次諧波分量的幅值。

分析可知，輸出的信號為奇函數，則可推出直流分量系數與基波偶函數分量系數為0，即：

A0=A1=0

(2)

而基波奇函數分量系數為

(3)

可以得到該繼電特性的描述函數為

(4)

由控制理論可知，產生等幅振蕩的條件為

1+N(A)G(jω)=0

(5)

即可得：

argG(jω)=-π

(6)

(7)

式中：Ku為繼電特性在傳輸幅度為A的正弦信號時的等價臨界振蕩比例增益。幅度A可根據振蕩輸出曲線進行計算。通過繼電反饋試驗可以獲得對象的臨界參數Ku和Tu，使用Z-N規則可以得到PID控制器的參數。

1.2 工業模型建立

工業控制中常用的模型為一階慣性加滯后模型，可以簡化為式(8)所示的最小模型傳遞函數：

(8)

式中：K表示穩態增益；τ表示時間延遲；T表示慣性時間。

因此，一階慣性加滯后模型是描述工業系統的基本結構。

2 繼電反饋仿真

為了驗證繼電反饋方法的可行性，本文針對一階慣性加滯后環節的工業對象進行MATLAB仿真試驗。搭建仿真模型如圖3所示。

圖3 繼電反饋仿真圖

當開關打到繼電環節，系統進入測試狀態，測試狀態的作用是進行系統臨界信息獲取，通過繼電器發出繼電激勵信號，從而由系統的響應曲線來計算出該系統的振蕩頻率和振蕩幅值。

為獲取臨界參數Ku、Tu，進行繼電反饋仿真試驗，通過曲線可獲取被控對象的振蕩周期和繼電環節的幅值。繼電反饋仿真試驗圖如圖4所示。

圖4 繼電反饋仿真試驗圖

根據頻率點的幅值計算式計算出臨界增益，從而得到被控過程的臨界參數，即Ku和Tu，最終按照Z-N整定規則即可獲得PID參數，如表1所示。

表1 PID控制器參數整定規則

將被控對象接入控制環節，輸入表1的PID整定參數，得到整定曲線如圖5所示。

圖5 被控對象階躍響應曲線

由圖5可知，基于Z-N整定方法獲取的PID控制器參數具有較大的系統超調量和穩定時間，不能達到良好的控制效果。

3 仿真數據分析

3.1 函數關系仿真分析

通過繼電振蕩仿真曲線可得出臨界增益Ku和振蕩周期Tu。針對一對一的線性關系，分析Ku和Tu與被控對象的傳遞函數中T和τ之間的函數關系，具體分析如下。

被控對象在相同慣性時間、不同滯后時間的情況下，分別計算出Ku和Tu的值，當慣性時間T相同時，分別得出Ku和Tu與滯后時間τ之間的函數關系，如圖6所示。

圖6 臨界增益、振蕩周期與滯后時間的相關性

Ku和滯后時間τ之間的函數關系為

y=0.018 9x2-0.375 9x+2.786 5

(9)

Tu和滯后時間τ之間的函數關系為

y=2.029 6x+1.095 2

(10)

其中臨界增益與滯后時間的擬合度參數為SSE=0.493，R2=0.812 8(SSE為擬合數據和原始數據對應點的誤差平方和，R2為判定系數)，振蕩周期與滯后時間的擬合度參數為SSE=0.133 6，R2=0.999 8。由式(9)和式(10)的函數關系得出，在相同慣性時間、不同滯后時間的條件下，Tu與滯后時間τ的相關性較大，Ku與滯后時間τ的相關性不大。

被控對象在相同滯后時間、不同慣性時間的情況下，分別計算出Ku和Tu的值，當滯后時間τ相同時，分別得出Ku和Tu與慣性時間T之間的函數關系如圖7所示。

圖7 臨界增益、振蕩周期與慣性時間的相關性

Ku和慣性時間T之間的函數關系為

y=-0.006 247x2+0.352x+0.795 4

(11)

Tu和慣性時間T之間的函數關系為

y=-0.040 23x2+1.027x+10.74

(12)

其中，臨界增益和慣性時間的擬合度參數為SSE=0.097 19，R2=0.991 2，振蕩周期和慣性時間的擬合度參數為SSE=0.380 2，R2=0.988 8。由式(11)和式(12)的函數關系得出：在相同滯后時間、不同慣性時間的條件下，Ku與慣性時間T的相關性較大，Tu與慣性時間T的相關性不大。且Ku、Tu與T、τ存在著某種函數關系，即T=f(Ku,Tu)，τ=f(Ku,Tu)。

3.2 臨界參數分析

通過在MATLAB中進行繼電測試，得出臨界參數。以下為在不同系統下得出其對應的臨界參數。

對于超快速系統，取0.01 s

T=[0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.07 0.08 0.09 0.1]，

τ=[0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.07 0.08 0.09 0.1]。

分別對應取值，即可得81組數據，如表2所示。

表2 試驗數據表

由繼電反饋試驗獲取各自傳遞函數分別對應的Ku和Tu，并將這81組數據進行擬合，以Ku和Tu作為自變量，以T和τ作為因變量的函數關系。

Ku和Tu與時間常數T的函數關系如下：

f=-0.119 7+0.130 8x+8.13y-0.001 33x2-

9.937xy-66.16y2-0.031 58x3+3.942x2y+

70.44xy2+158.3y3+0.005 775x4-

0.253 2x3y-28.16x2y2-83.57xy3-242.1y4-

0.000 267x5-0.005 152x4y+1.554x3y2+

45.83x2y3-155.4xy4+655.1y5

(13)

對以上函數關系選取此范圍內的非樣本數據進行驗證。首先通過繼電振蕩得出Ku和Tu，然后輸入至式(13)得出理論慣性時間與仿真的慣性時間之間的誤差，如表3所示。

表3 慣性時間誤差分析表

由表3可知，該函數關系在超快速系統下，得到的仿真慣性時間與傳遞函數G(s)理論慣性時間之間的誤差均在3%以下，由此得出，該函數關系能較為準確地得到被控對象傳遞函數中的慣性時間。

Ku和Tu與滯后時間τ的函數關系如下：

(14)

對以上函數關系選取此范圍內的非樣本數據進行驗證。通過繼電振蕩得出Ku和Tu，輸入至式(14)得出理論滯后時間與仿真滯后時間之間的誤差，如表4所示。

表4 滯后時間誤差分析表

由表4可知，該函數關系在超快速系統下的仿真滯后時間與傳遞函數G(s)理論滯后時間之間的誤差均在2%以下，由此得出，該函數關系能較為準確地得到被控對象傳遞函數中的滯后時間。

3.3 仿真結果

本文以超快速系統為例進行展開分析，從上面的仿真研究可以得到如表3、表4所示的特征參數的值，并給出其與理論值之間的誤差。數據表明，在超快速系統下，得到的特征參數值與理論參數值的誤差均在3%以下，可以看出該理論方法能有效且準確地得出被控對象的特征參數。對于其余情況下的系統，同以上分析方法，可分別得出各自系統對應的求參式。

4 結 語

針對被控對象特征參數未知、控制效果不穩定等缺點，本文通過對典型一階慣性純滯后環節進行繼電反饋試驗，提出了具體的獲取被控對象傳遞函數中特征參數的表達式。由該表達式得出系統重要的特征參數。利用這些特征參數，選取最優的整定規則或者方法，從而快速對系統進行整定。大量仿真數據表明，該表達式能以較小的誤差計算出控制系統的特征參數。