含隱含條件的橢圓離心率范圍的求法探究

李恩斌

（四川省巴中市第二中學 四川·巴中 636000）

求離心率的范圍是高考高頻考點。其中求含隱含條件的離心率范圍問題對學生來說更是個難點。本文通過對一道經典例題不同角度的分析、多解解法的探究，一方面說明如何求含隱含條件的橢圓的離心率的范圍問題，另一方面，讓學生從不同側面重溫基礎知識，看到知識間的內在聯系，有利于加強對基礎知識的掌握，同時，解題思路的不同往往還滲透著不同的數學思想方法，可以使知識得到活化，融會貫通，而且可以開闊思路，培養學生的發散思維和創造思維等方面的能力及提升學生的數學核心素養，充分發揮經典例題在高中數學教學中的教育價值。

思路一：（根據橢圓上的點到兩焦點距離之差的最大值為2c而求）

又由橢圓性質：橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c知：

方法點睛：結論：“橢圓上的點到兩焦點距離之差的最大值為2c”是隱含條件，往往學生不會挖掘。但實際上，此結論是學生在學習橢圓的性質時應掌握的知識點。

方法點睛：焦半徑取值范圍學生是熟悉的，但真要用來求范圍可能不會這么自覺。

思路三：（根據焦點三角形的最大角定理而求，定理：橢圓中，短軸的一個端點與兩焦點所成的角，是橢圓上所有的點與兩焦點所成角中最大角）

方法點睛：“最大角定理”很容易理解，在應用時由角的大小轉化線余弦的大小關系時，易忽略cos∠F1PF2≤1而致錯。

思路四：（根據構成三角形的條件求解）

由構成△PF1F2(見上圖)條件得：

方法點睛：學生在平時學習中，容易受“慣性思維”影響，總會把一些問題復雜化，卻忽略了更加簡單的方法。構成三角形的條件，對于解決某些含隱含條件的范圍問題有奇效。

由橢圓定義知：

方法點睛：定義或方程中往往隱含著一些要求和條件限制，這些要求和限制條件往往被我們忽視，而這些要求和限制條件往往是我們求解某些問題的依據。

思路六：（向量法并結合中線長定理而求）

方法點睛：向量實質上是使幾何結構代數化的工具，它是溝通代數、三角、幾何等內容的橋梁之一。向量的三角形法則、向量的數量積是架起橋梁的基石。

思路七：（不等式絕對值公式法）

方法點睛：構造法是一種創造性思維方法，構造法往往需要奇思妙解，對學生的“四能”和數學素養要求很高。

在求含隱含條件的橢圓離心率范圍問題的教學過程中，注重結合相應的內容，落實“四基”，培養“四能”，樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程。教學過程中讓學生主動參與其中，充分調動學生學習的興趣，同時，讓學生經歷失敗、嘗試成功，嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，不斷的探索還讓學生主動探索的精神得到很好的發展。一題多解的目的在于思維的“多層次”，在于學生從多解中分析出解法的優劣，獲得高水平的思維訓練，從而提高學生的數學思維能力，培養學生的創新意識。如是這樣更有利于學生對問題進行更深層次的思考，對培養學生思維的深刻性和數學核心素養具有積極的作用。