碳纖維復(fù)合桿柱井下動力學(xué)仿真分析

孫秀榮

（河北環(huán)境工程學(xué)院，河北 秦皇島 066102）

0 引言

碳纖維連續(xù)抽油桿具有質(zhì)輕、高強(qiáng)、耐腐蝕等優(yōu)越特性，在國內(nèi)一些油田逐步得到了規(guī)模化應(yīng)用[1-3]。與鋼制桿抽油桿柱不同，碳纖維連續(xù)抽油桿一般由上部碳纖維桿和下部加重鋼制桿組成。碳纖維桿以碳纖維材料為內(nèi)心，殼層為玻璃纖維材料，兩者結(jié)合處是玻璃纖維纏繞層[4-5]。作為一種新型材料，其力學(xué)性能備受關(guān)注。文獻(xiàn)［6-7］對碳纖維抽油桿柱進(jìn)行了超沖程分析；文獻(xiàn)［8-9］對碳纖維抽油桿柱展開縱向振動力學(xué)分析，求出了固有頻率等參數(shù)。上述研究均未考慮桿柱的橫向變形，而碳纖維桿柱在井下運動過程中，是被局限在油管的狹小空間內(nèi)，桿柱的在油管徑向尺寸上的變形，直接決定了碳纖維桿柱是否有偏磨、斷桿和脫扣現(xiàn)象，以及桿柱壽命情況是否受影響。本文立足于碳纖維桿柱在油管內(nèi)的徑向動力學(xué)變形，研究碳纖維桿柱斷桿、脫扣機(jī)理。

1 力學(xué)模型

不考慮碳纖維桿柱的扭轉(zhuǎn)變形，假設(shè)油管完全豎直狀態(tài)，碳纖維復(fù)合桿柱軸心與油管中心重合。以碳纖維桿柱的井口為坐標(biāo)原點，桿柱在油液中除了受底端的往復(fù)性端部載荷P(t)以外，還受到油管不同深度位置處分布節(jié)點載荷q(x)。在上述假設(shè)條件下，建立圖1所示的復(fù)合桿柱橫向彎曲變形的力學(xué)模型。

圖1 桿柱受力和橫向彎曲變形

2 數(shù)學(xué)模型

將整根碳纖維連續(xù)桿柱的彎曲變形分為三部分：上部段、中間段（桿管接觸）、下部段，兩段連接處滿足連續(xù)性條件，即位移相等、轉(zhuǎn)角相等、彎矩相等。在實際抽油過程的下行程某一時間段，按照桿柱受力分析可知，碳纖維材料桿柱為柔性桿柱，只受拉力，不受壓力。而鋼制桿柱可以處于受拉或受壓狀態(tài)，其某一位置點（中位點）至底端桿柱超過受壓極限載荷出現(xiàn)屈曲變形，中位點以上則處于受拉狀態(tài)。按工程實際，桿柱由于屈曲導(dǎo)致的接觸段全集中在鋼制桿，鋼制桿柱屈曲變形段則與油管內(nèi)壁接觸[10]。因此，上述變形階段中，中間段和下部段均假設(shè)為鋼制桿，上部段則由碳纖維材料桿和鋼制桿合并組成。

中間段桿柱屈曲假設(shè)完全與油管內(nèi)壁接觸，即變形為圓柱螺旋形狀，其變形微分方程為：

上部段包含兩部分：上面的部分為碳纖維材料，下面的部分為鋼質(zhì)材料，兩部分均不與油管內(nèi)壁接觸，其變形微分方程為：

碳纖維材料桿和鋼制材料桿交界處連續(xù)性條件：

底部段變形微分方程為：

碳纖維桿柱頂端的邊界假設(shè)為固定端，鋼制桿的底部假設(shè)為可滑動的固定端，則邊界條件為：

假設(shè)碳纖維復(fù)合桿柱的初始條件為豎直狀態(tài)，即：

碳纖維復(fù)合桿柱在油井中往復(fù)運動，底部抽油泵柱塞位置處桿柱的載荷也是隨往復(fù)運動而變化的，其變化曲線如圖2所示：

圖2 端部柱塞載荷變化規(guī)律

由于桿柱的中下部段出現(xiàn)了屈曲變形，此變形作為橫向動力學(xué)的空間位移激勵，相應(yīng)時刻桿柱的屈曲變形為：

3 數(shù)值仿真方法

此方程為變系數(shù)高階線性微分方程，含耦合變量時間變量t和空間變量x。當(dāng)桿柱產(chǎn)生的彎曲變形與油管內(nèi)壁接觸后，將與油管壁面產(chǎn)生碰撞后反彈，碰撞過程的發(fā)生為非線性接觸問題。因此分析整個過程需要分為兩部分：求解高階變系數(shù)線性耦合微分方程和接觸碰撞問題的簡化處理。

接觸碰撞問題本文引入較常用的方法恢復(fù)系數(shù)法，即當(dāng)桿柱節(jié)點與油管壁發(fā)生碰撞后，節(jié)點沿圓周徑向的速度發(fā)生反向，節(jié)點切向的速度方向和大小不變，且碰撞后節(jié)點落在油管內(nèi)壁上，參見文獻(xiàn)[11-12]。

高階變系數(shù)線性耦合微分方程無法采用解析方法求解，最理想的方式為數(shù)值分析方法。本文采取有限差分法和Newmark-β法相結(jié)合的方法，有限差分法用于離散空間變量x，Newmark-β法用于離散時間變量t。空間離散的模型如圖3所示，將整個細(xì)長桿柱離散成n個單元，n+1個節(jié)點，以碳纖維桿和鋼制桿連接處為分界點，分別采用不同的步長?x1和?x2，時間步長均為?t。

圖3 空間節(jié)點離散

則空間離散并進(jìn)行中心有限差分后，兩邊界處的差分形式為：

同理，將桿柱邊界范圍內(nèi)的空間節(jié)點進(jìn)行差分處理，得到不同節(jié)點處各階差分形式(8-10)：

采用Newmark-b法對時間進(jìn)行離散，按Newmark-b假設(shè)形式，則有：

式中，β和γ是積分精度相關(guān)的參數(shù)。當(dāng)β≥0.5，γ≥0.25（0.5+β）2時，為無條件穩(wěn)定的形式。本文取β=0.5，γ=0.25，滿足穩(wěn)定條件。由式（11）得到的表達(dá)式，即：

則進(jìn)一步得到t+?t時刻的微分方程：

將式（12-13）代入（14），得到關(guān)于yt+?t的方程

4 仿真結(jié)果

4.1 基本參數(shù)

碳纖維桿柱組合形式為二級桿柱：一級桿為19mm×1700m的碳纖維桿柱，二級桿為25mm×500m的鋼桿。鋼質(zhì)桿彈性模量E2=206 GPa，碳纖維桿彈性模量E1=103 Gpa。分布軸向力為如圖4所示，分布軸向力隨桿柱的節(jié)點位置和運動瞬時時刻而變化。其他相應(yīng)參數(shù)如圖5所示。

圖4 碳纖維復(fù)合桿柱不同節(jié)點位置處的分布載荷

4.2 桿管接觸的仿真結(jié)果

經(jīng)數(shù)值仿真得到了碳纖維復(fù)合桿柱隨井深和抽油時間變化的規(guī)律，如圖5所示。由圖可知，碰撞接觸力在中下部相比上部段碰撞接觸力顯著增長，具有較大碰撞力的桿柱位置分布在鋼制桿上，而中上部碳纖維桿柱碰撞力很小。由此說明，碳纖維材料的桿柱能有效減少桿管的接觸碰撞，即相應(yīng)的延長桿柱的壽命。

仿真界面的基本參數(shù)

圖5 接觸力變化

4.3 桿柱彎曲應(yīng)力

對數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)一步進(jìn)行處理，得到了桿柱在油管內(nèi)產(chǎn)生動力學(xué)彎曲變形后的彎曲應(yīng)力分布，如圖6所示。圖6a為鋼制桿部分彎曲應(yīng)力分布，圖6b為碳纖維桿柱彎曲應(yīng)力分布。由圖可知，在一個行程內(nèi)，碳纖維桿和鋼制桿的彎曲應(yīng)力最大值隨著井深的增加而增大，碳纖維桿的最大彎曲應(yīng)力可達(dá)30MPa，鋼制桿的最大彎曲應(yīng)力可達(dá)150MPa。鋼制桿的彎曲應(yīng)力并為超過本身的屈服極限，說明鋼制桿在井眼內(nèi)的受力多為往復(fù)磨損及疲勞破壞。而碳纖維桿受到的彎曲應(yīng)力大幅減小，碳纖維桿柱的壽命大大延長。

圖6 碳纖維復(fù)合桿柱彎曲應(yīng)力變化

5 結(jié)論

本文建立了碳纖維復(fù)合桿柱的橫向動力學(xué)仿真模型，對桿柱和油管的橫向碰撞和接觸力進(jìn)行了仿真分析，得到如下結(jié)論：

（1）碳纖維-鋼制桿復(fù)合桿柱與油管發(fā)生碰撞劇烈的位置在鋼制桿靠近底端幾十米至幾百米之間，上部碳纖維桿的碰撞明顯較弱，且碰撞力較低，說明碳纖維復(fù)合桿柱主要在鋼制桿處發(fā)生偏磨，而傳統(tǒng)鋼制桿柱偏磨幾乎發(fā)生在全井。因而，碳纖維桿柱的桿管偏磨現(xiàn)象大大降低。

（2）桿柱在油管內(nèi)發(fā)生彎曲變形的應(yīng)力并未超過材料許用應(yīng)力，材料仍在彈性范圍內(nèi)變形。說明發(fā)生的破壞多是疲勞磨損。

（3）本文的動力學(xué)仿真結(jié)果驗證了碳纖維桿的良好的力學(xué)性能和較低的桿管接觸偏磨現(xiàn)象，解釋了碳纖維桿相比全鋼制桿具有較長壽命的原因，為碳纖維桿的工程應(yīng)用提供了理論支撐。