基于MATLAB的三維重載荷轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真

張照，宋林森

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022）

0 引言

三自由度轉(zhuǎn)臺(tái)目前已經(jīng)成為目前并聯(lián)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)臺(tái)中最普遍的方式,也是研究者的熱門研究對(duì)象。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的旋翼轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)是運(yùn)動(dòng)模擬器整個(gè)最重要的組成部分,其結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題、仿真和控制的規(guī)律都是重點(diǎn)研究對(duì)象,這樣既能增加運(yùn)動(dòng)模擬器的性能,又能夠推動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的相關(guān)理論的發(fā)展,對(duì)于我們國(guó)防工程事業(yè)和其他類似學(xué)科的促進(jìn)具有很大的意義。

運(yùn)動(dòng)學(xué)指的是其主動(dòng)件即輸入構(gòu)件與輸出構(gòu)件兩者之間的相互對(duì)應(yīng)性關(guān)系。例如,一個(gè)已知的輸入和給定一個(gè)構(gòu)件提供了相關(guān)的參數(shù)來(lái)求解一個(gè)輸出和給定一個(gè)構(gòu)件的參數(shù)時(shí),叫做運(yùn)動(dòng)學(xué)的正問(wèn)題,否則統(tǒng)統(tǒng)被叫做運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆問(wèn)題[1]。參數(shù)可以為位置、姿勢(shì)、速度等各種參量。在理論分析方面，位置的正反解推導(dǎo)及其分析方法成為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的重要依據(jù)。位置的正反解提供了對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)加速度、誤差、操縱空間、動(dòng)力學(xué)、控制等方面的分析。通過(guò)對(duì)并聯(lián)結(jié)構(gòu)與其他串聯(lián)結(jié)構(gòu)的分析,并聯(lián)結(jié)構(gòu)反解更加容易，其他串聯(lián)機(jī)構(gòu)更難了[2]。

本文以三維重載荷轉(zhuǎn)臺(tái)作為研究對(duì)象，推導(dǎo)其位置正反解公式，然后在MATLAB Robotics Toolbox環(huán)境下建立其仿真模型，驗(yàn)證公式推導(dǎo)的正確性。

1 三維重載荷轉(zhuǎn)臺(tái)描述及其坐標(biāo)系的建立

1.1 三維轉(zhuǎn)臺(tái)描述

三維轉(zhuǎn)臺(tái)的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，上平臺(tái)為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，下平臺(tái)為方位平臺(tái)，兩者用四根可伸縮的桿件相連接。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與桿件用十字萬(wàn)向節(jié)相接，四根可伸縮桿件上分別裝有四根電動(dòng)缸。

圖1 三維轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

1.2 轉(zhuǎn)臺(tái)功能

三維轉(zhuǎn)臺(tái)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示，其工作原理如下：

圖2 三維轉(zhuǎn)臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

（1）側(cè)傾機(jī)構(gòu)是為了實(shí)現(xiàn)繞X軸的翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)的角度范圍為±30°。側(cè)傾機(jī)構(gòu)上下兩端的萬(wàn)向十字節(jié)連接著電缸，通過(guò)伺服電缸的伸縮來(lái)帶動(dòng)載物平臺(tái)繞萬(wàn)向十字節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)。

（2）俯仰機(jī)構(gòu)是在兩側(cè)電缸的共同作用下，使載物平臺(tái)繞Y軸的翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)的角度范圍為±30°，拉壓力傳感器顯示電缸上的承載力，緩沖器調(diào)節(jié)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不協(xié)調(diào)性，保護(hù)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)行。

（3）方位平臺(tái)主要作用是在旋轉(zhuǎn)平面下安裝的旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)來(lái)帶動(dòng)方位平臺(tái)上面的機(jī)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng),實(shí)現(xiàn)方位繞 z 軸±180°的高速旋轉(zhuǎn)。實(shí)現(xiàn)繞Z軸±180°的旋轉(zhuǎn)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的很大一部分內(nèi)容涉及建立各種坐標(biāo)系來(lái)表示剛體的位置和姿態(tài)，以及這些坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換[3]。

2.1 三維轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的建立

為了建立機(jī)構(gòu)的位置分析模型，在方位平臺(tái)建立參考坐標(biāo)系{D}-XYZ及在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)建立動(dòng)坐標(biāo)系g0gggggg-xyz如圖3。坐標(biāo)系{D}是一個(gè)在下面的三軸方位平臺(tái),以直角邊的頂點(diǎn)D1 為三軸方位坐標(biāo)的原點(diǎn)，D1D3為X軸，D1D2為Y軸，D1d1為Z軸，如圖3所示坐標(biāo)系右手定則。坐標(biāo)系g0gggggg和上一個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連，頂點(diǎn)d1為坐標(biāo)原點(diǎn)，d1d3 為x軸，d1d2為y軸，垂直于上一個(gè)平臺(tái)所在的直線向上為z軸正方向，三軸也為右手定則。其中直角的邊長(zhǎng)被標(biāo)記為 R，上下兩個(gè)平臺(tái)之間的高度差被標(biāo)記為 h。

圖3 坐標(biāo)系選取示意圖

2.2 位置反解

初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)一個(gè)繞軸運(yùn)動(dòng)的固體平臺(tái)四個(gè)軸的鉸鏈連接點(diǎn)d1、d2、d3、d4在g0gggggg中坐標(biāo)：1d1(0,0,0)、1d2(0,R,0)、1d3(R,0,0)、1d4(R,R,0)。運(yùn)動(dòng)的平臺(tái)四個(gè)鉸鏈點(diǎn)在一個(gè)參考坐標(biāo)系{D}的坐標(biāo)為：0d1(0,0,h)、0d2(0,R,h)、0d3(R,0,h)、0d4(R,R,h)。下面平臺(tái)四個(gè)頂點(diǎn)在{D}中的坐標(biāo)為0D1(0,0,0)、0D2(0,R,0)、0D3(R,R,0)、0D4(R,R,0)。

假設(shè)上運(yùn)動(dòng)的平臺(tái)在沒(méi)有約束力的情況下做六自由度的運(yùn)動(dòng)，對(duì)參考坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)做一個(gè)平移運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，X軸方向移動(dòng)u，Y軸方向移動(dòng)v，Z軸方向移動(dòng)w；然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，歐拉角組合主要有ZYZ、ZXZ、ZYX。采用ZYX組合。根據(jù)空間學(xué)的描述及坐標(biāo)式變換公式可以得出：

平移變換的表達(dá)式定義為：

繞x軸旋轉(zhuǎn)α角稱其為側(cè)傾角，旋轉(zhuǎn)變換矩陣可變換為：

繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)β角稱其為俯仰角，旋轉(zhuǎn)變換矩陣可變換為：

繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)干，γ角稱其為方位角，旋轉(zhuǎn)變換矩陣可變換為：

由此可得：

上式中由一個(gè)頂點(diǎn)組成的第四列頂點(diǎn)矩陣可以用于用來(lái)表示上運(yùn)動(dòng)均衡平臺(tái)四個(gè)列的頂點(diǎn)分別位于一個(gè)不同運(yùn)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的其中的三條縱軸上所對(duì)應(yīng)占的體積分量。用的平臺(tái)列或者矩陣圖來(lái)表達(dá)上面的運(yùn)動(dòng)是在平臺(tái)四個(gè)列的頂點(diǎn)通過(guò)方向旋轉(zhuǎn)或者平移進(jìn)行運(yùn)動(dòng)后放在位于一個(gè)參考標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)體系的圖中的三個(gè)方向軸上的物體位置和參考坐標(biāo)的體積。

由轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)分析可知任一連桿通過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)副與下平臺(tái)連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副具有一個(gè)自由度，只能繞Dn點(diǎn)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以有：

上運(yùn)動(dòng)平臺(tái)四頂點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系中坐標(biāo)是固定的，帶入到式（3-6）中，并利用上述約束條件可得：

若令式（9）0，則β=π/2或者γ=0，但為了結(jié)合實(shí)際，y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的俯仰角達(dá)不到90°，因此γ=0。結(jié)合式（8）可知該結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)臺(tái)具有三個(gè)自由度，即繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的側(cè)傾角、繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的俯仰角以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方位角三個(gè)自由度，符合要求。

當(dāng)方位角γ=0時(shí)，有sinγ=0，cosγ=1，將其帶入到式（5）中可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

上運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在經(jīng)過(guò)兩個(gè)平移轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)后滿足該姿態(tài)和位置,具體長(zhǎng)度由下式可得。

到此為止就在上平臺(tái)位姿已知的情況下得到了輸入構(gòu)件即四個(gè)連接桿的長(zhǎng)度。

2.2 位置正解

上平臺(tái)和下平臺(tái)的坐標(biāo)變換矩陣Rot為：

得到了變換后四鉸接點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

其參考坐標(biāo)系坐標(biāo)為：

由式（14）可得。式中l(wèi)1，l2，l3，l4，h，ny為已知，帶入方程組便可求出旋轉(zhuǎn)矩陣中獨(dú)立元素的值和平移運(yùn)動(dòng)量w，再對(duì)應(yīng)式（10）中各元素可求得α和β值，到此便可求得上運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)和位置。

3 轉(zhuǎn)臺(tái)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立

D-H法最早是由德納維特和哈滕伯格提出來(lái)的[4]，如今已經(jīng)發(fā)展成為了進(jìn)行機(jī)器人設(shè)計(jì)和建模的一種標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)方法。從三維重載荷轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)視角來(lái)看,三維重載荷旋轉(zhuǎn)臺(tái)各個(gè)支鏈也都可以被認(rèn)為是由移動(dòng)副與轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)載相互連接而形成的開鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),類似于一般的機(jī)械手,所以我們可以通過(guò)應(yīng)用D-H法來(lái)設(shè)計(jì)和建立三維重載荷轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

D-H方法具體建立過(guò)程為：

步驟1：從一個(gè)低序到另一個(gè)高序依次尋找一個(gè)被定義的軸,把這個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)方向分別設(shè)為z0，…，zn-1。

步驟2：首先選擇一個(gè)坐標(biāo)系O，將其中的原點(diǎn)固定在z0軸上，選擇x0和y0組合起來(lái)形成右手坐標(biāo)系。

步驟3：將原點(diǎn)Oi定位于軸zi、軸zi-1和zi公垂線的交點(diǎn)。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，如果軸zi和zi-1平行，則建立原點(diǎn)使得偏置為0；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，則將原點(diǎn)建立在關(guān)節(jié)延伸范圍的某一個(gè)參考點(diǎn)上。

步驟4：將軸xi建立在軸zi-1和zi公垂線上，其方向由關(guān)節(jié)i指向關(guān)節(jié)i+1。

步驟5：根據(jù)右手定則，由軸xi和zi軸的方向確定yi的方向。

步驟6：坐標(biāo)系n的建立由關(guān)節(jié)n的類型決定，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則按照zn-1來(lái)設(shè)置zn；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，則任意選擇zn的方向。按照上述方法建立坐標(biāo)系如圖4 所示。

圖4 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系位置示意圖

D-H參數(shù)表

4 基于MATLAB的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

Matlab軟件是由美國(guó)Mathworks公司專門自主開發(fā)研制和設(shè)計(jì)開發(fā)的一款功能強(qiáng)大的系統(tǒng)工程矩陣計(jì)算圖像應(yīng)用處理軟件,配備了強(qiáng)大的矩陣工程計(jì)算圖像分析仿真能力,其中所可以使用的計(jì)算軟件主要包括了Robotics Toolbox工具盒不但讓您可以直接為您實(shí)現(xiàn)基于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的工程圖像分析可視化和自動(dòng)仿真,還同時(shí)也讓您可以直接對(duì)采用手工矩陣計(jì)算的正逆方程理解以及結(jié)果方法進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證[5]。 本文基于此設(shè)計(jì)了仿真模型,模擬了機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)和操縱空間的運(yùn)動(dòng)。

建立一個(gè)函數(shù)的指令 Link 將表1中 D-H的參數(shù)輸入,再通過(guò) SeriaLink函數(shù)來(lái)構(gòu)造模型,如圖5所示。

圖5 三維轉(zhuǎn)臺(tái)仿真模型

可以利用MATLAB中的測(cè)量功能來(lái)測(cè)量出需要的角度、距離等變量，以便于運(yùn)動(dòng)學(xué)解算驗(yàn)證。例如當(dāng)一個(gè)旋轉(zhuǎn)臺(tái)圍繞X軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),我們就可以檢測(cè)出上平臺(tái)圍繞 X 軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,可以從上面讀出四個(gè)圓柱副方向各自位移的角度,將這些對(duì)應(yīng)值分別帶入要推導(dǎo)的計(jì)算公式中,就已經(jīng)可以從上面所要求的測(cè)量值中得到計(jì)算值,與這些所要求的測(cè)量值進(jìn)行比較就已經(jīng)能夠檢測(cè)驗(yàn)證關(guān)于這個(gè)位置和正反解的推導(dǎo)方法的正確性。

上圖是轉(zhuǎn)臺(tái)做側(cè)傾運(yùn)動(dòng)時(shí)速度隨時(shí)間變化的曲線。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，得出該機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器在實(shí)現(xiàn)要求動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、無(wú)位置突變，并且速度、加速度曲線也都比較平緩，無(wú)突變現(xiàn)象，反映了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)無(wú)沖擊現(xiàn)象傳遞運(yùn)動(dòng)性能良好。

利用MATLAB Robotics Toolbox進(jìn)行三維轉(zhuǎn)臺(tái)的建模，其次進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們可以測(cè)出轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，,驗(yàn)證了該位置的正反理解公式進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算的正確性。