測量誤差對量子Szilard熱機效率的影響

牟從義

（西南交通大學物理科學與技術學院，四川成都，610031）

0 引言

量子熱機概念是由Scovil和Schultz-Dubois[1]在1959年提出來的，之后量子熱機在很多領域中都得到了很好的發展。研究者們利用量子熱機不同工作物質獨特的屬性，構造了許多具有量子特性的量子熱機。量子熱機研究最重要的意義在于，有的量子熱機打破了經典熱力學極限[2][3][4]，超越經典卡諾熱機的效率[5]。Szilard熱機(Szilard Engine,SZE)是一個典型的例子也是本文要討論的量子熱機。

1929年，Leo Szilard對麥克斯韋妖(Maxwell demon，MD)[6]進行研究，將MD的智慧歸結于信息的作用，提出了一個單分子理想熱機模型—SZE，首次將信息的作用明確地包含在熱力學過程中[7]。隨著量子熱力學的發展，經典Szilard熱機向量子力學領域擴展。1984年，Zurek[8]提出單分子量子Szilard熱機 (QSZE)，對測量與做功過程作了詳細分析指出系統與測量裝置之間的互信息與系統提取功有關。之后QSZE得到了廣泛的研究，包括純量子信息驅動的QSZ[9]、多粒子QSZE[10]、沒有MD的QSZE[11]也被相繼討論。

對于QSZE的熱力學循環過程，MD對系統進行測量，通過測量得到的信息來控制系統從外界提取功，最后擦除MD的信息，系統回到初始狀態。在一個測量、反饋和擦除的循環中，測量獲取系統狀態信息會使系統的熵減小，而根據朗道爾原理，擦除信息過程是熵增的，整個過程原則上是完全可逆的。若存在測量誤差，測量誤差會減少所獲得的信息，使系統的熵減小，但擦除過程的熵增量不變，導致整個過程是不可逆的。另一方面，測量誤差會影響反饋過程進一步增加熵的產生。我們主要研究測量誤差對QSZE熱力學循環中功和效率的影響。論文組織如下，第二章主要介紹量子力學基礎知識。第三章介紹了QSZE物理模型以及熱機循環的四個過程。第四章介紹測量誤差對效率的影響以及溫度T→0或者T→∞時效率的變化。

1 量子力學理論知識

熱力學中一個封閉系統，熱力學第一定律的微分形式為

熱力學第一定律可推廣到量子力學領域中，若以多能級系統為工作物質，系統的哈密頓量為：

系統的第n能級的能量本征值和本征態分別為En和|ψn〉，系統的密度算符可表示為：，配分函數為玻爾茲曼常數。系

其中概率分布 滿足條件統的內能可表示為：

上式的微分形式為：

由（5）式可得，量子力學系統的功和熱被定義為：

由此可得出結論，量子系統能級En發生變化會導致系統的功發生變化。同理，量子系統pn的變化會導致系統的熱量發生變化。

2 量子Szilard熱機

2.1 物理模型

QSZE的物理模型可以由質量為m單粒子束縛在寬度為L的一維無限深勢阱中的模型來描述，稱為系統S。在盒子l處插入薄板的過程可看為在一維無限深方勢阱l處加入一個持續增加的δ勢壘，此時系統S的內能可表示為：

通過解薛定諤方程的知識和波函數的邊界條件和δ勢壘的躍變條件相結合得到，當μ=1/2時，即在盒子正中間插板，此時系統的能量為：

不等式的左右兩項分別代表λ→0 和λ→∞時的取值[12]。上述結論可以得到，加入勢壘后，勢阱的邊界條件發生變化，導致勢阱中能級結構分布會發生改變，勢壘不斷升高，方勢阱中的能級會往上移動。當λ→∞時，即板插入完成，此時偶數能級不變，奇數能級移動到相鄰的偶數能級處。影響能級的參量為λ和μ，即插入勢壘的強度和插入勢壘的相對位置。

QSZE的熱力學循環過程如圖1所示，包括(A)、(B)、(C)、(D)四個過程，即等溫插入、絕熱測量、等溫膨脹、等溫移除。系統初始狀態，系統S與溫度為T的高溫熱源保持接觸，達到熱平衡，系統S的密度算符、內能和Von-Neumann熵分別為：

圖1 QSZE工作原理圖

2.2 等溫插入

在這個過程中，過程系統S始終與溫度為T的高溫熱源保持接觸，在盒子的中間插入一個厚度可以忽略不計的壁，即系統S被分為左右兩部分。若插板過程足夠緩慢，系統S與熱源處于熱平衡，插板之后系統S的分布函數為：

2.3 絕熱測量

朗道擦除原理[14]指出，擦除1比特信息至少需要消耗能量k BTln2。MD作為Szilard熱機的一部分，我們把它視為測量系統D，為了便于分析假設其為一個二能級系統，能量本征態為|g〉和|e〉且能級差為 Δ=E e-Eg，與溫度為TD的熱源接觸。Zurek指出系統與測量裝置(或存儲裝置)之間的互信息I與系統的提取工作有關。若存在測量誤差，那就說明系統狀態與測量系統的相關性不完善，即兩者之間的互信息小于測量設備邏輯狀態的完整信息[8]。

系統S的狀態x在板左側或右側可用0或1表示，即x∈ (0,1)，其對應的概率分布為p(x)。系統D的測量結果可記錄為y，且y∈ (0,1)，在x已知的情況下條件概率定義為：

存在測量誤差的情況下，假設測量成功的概率p≥1/2，上式可表示為：

由上式能級差可表示為：

當TD→0時不存在測量誤差，當TD=T時，系統D得初始能級為：

系統D與系統S接觸進行測量，系統D的能級變為：

測量之后系統S與D要分開，分開過程的功為：

p對Wmrs的影響如圖2所示。測量之后系統的內能為整個過程吸收的熱量

圖2 測量過程的功Wmrs(單位為k BT)與測量成功的概率p之間的關系

2.4 等溫膨脹

膨脹過程足夠緩慢為準靜態過程，系統和熱源處于熱平衡狀態。系統D得到粒子位置信息并根據信息控制系統S提取功，粒子在左側，板慢慢地從的中間向另右邊移動，粒子在右側同理，系統膨脹之后內能為膨脹過程的功和熱分別為：

2.5 等溫移除

膨脹結束后，板到達平衡位置處，為使系統S回到初始狀態，需要將板移除。膨脹過后薄板位于勢阱的邊界處，移除板對系統的能級以及概率分布沒有影響，所以這個過沒有功和的熱的變化，即

3 量子Szilard熱機的效率

QSZE的效率定義為，系統對外做的有用功與從熱源吸的總熱量之比，表示為：

當測量過程沒有誤差是QSZE的效率為：

對比上述兩個效率我們可發現η＜η′，p與效率的關系如圖3所示。

圖3 QSZE效率η(單位為lnZ (L )/ Z ( L /2))與測量成功概率p的關系

接下來考慮當溫度T取高溫極限（T→∞）或低溫極限（T→0）時QSZE的效率。T→∞時，系統的配分函數可表示為：

此時系統的總功為：

故溫度取高溫極限時QSZE變為經典SZE。溫度取低溫極限時可簡化為此時量子效應更明顯。

4 總結

總之，我們考慮了在MD輔助下的QSZE的熱力學循環，并仔細分析了絕熱測量過程。得到結論存在測量誤差時，測量誤差對測量過程的功和整個熱機的效率都有影響，通過繪制出的圖2和圖3表示出來他們之間的關系。除此之外還討論了，熱源溫度取高溫極限時，QSZE趨于經典SZE總的功反之熱源溫度取低溫極限時整個循環過程的量子效應更加明顯。