淺談三種插值方法的研究與比較

華友情

（曲阜師范大學，山東 濟寧 273165）

一、拉格朗日插值

（一）拉格朗日插值原理與方法

定理1（拉格朗日插值原理）

（二）拉格朗日插值方法的實例應用

當x=3 時,L(3)=0.0909 與精度解f(3)=0.090909 相比,存在小誤差,精度可以接受;

當x=4.5 時,L(4.5)=0.3809 與精度解f(4.5)=0.04494382 相比,誤差非常大,精度很低。因此,拉格朗日插值多項式便于理論推導和形式地描述算法,但不便于計算函數值。因為用拉格朗日插值多項式Ln(x)計算函數近似值,如果精度不滿足,需增加節點時,原來計算出的數據均不能利用，必須重新計算。為了克服這個缺點,可以采用牛頓插值多項式方法,為了克服這種缺點,可以采用牛頓插值多項式方法,這兩種方法是在拉格朗日插值的基礎上組合已知的計算值,提高計算效率,可達到加速計算。

二、牛頓插值

（一）牛頓插值原理與方法

定義2（差商）

定理2（牛頓插值原理）

根據差商的定義，將x 看作[a,b]上一點，可得

（二）牛頓插值方法的實例應用

x=3 時,Y(3)=0.0909 與精度解f(3)=0.090909 相比,存在小誤差。當x=4.5 時發現,Y(4.5)=0.044944 與精度解f(4.5)=0.04494382 相比,誤差也比較小。因此牛頓插值方法的精度比拉格朗日插值方法高。

將區間[-5,5]作10 等分,并將已知的11 個節點分成兩段,對兩段分別用5 次牛頓多項式插值,再進行拼接。這與拉格朗日插值結果相比,在一定程度上克服了龍格現象,但是在拼接處存在尖端,光滑度不理想。

（三）三次樣條插值

定義3（三次樣條插值函數）