MATLAB在DEA-Malmquist分析中的應用

黎堅雄

摘? 要： DEA-Malmquist分析需要巨大的運算量，MATLAB軟件集成多個經過優化的工具箱，能夠降低DEA-Malmquist分析的時間開銷。文章基于Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。程序運行結果表明，MATLAB軟件能夠勝任DEA-Malmquist的分析工作，可以為經濟與管理學的研究提供強大的支持。

關鍵詞： MATLAB; 數據包絡分析（DEA）; Malmquist指數; 線性規劃

中圖分類號：O221.1，TP311.1? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-8228（2021）07-42-04

Application of MATLAB in DEA-Malmquist analysis

Li Jianxiong

（Supervision and Audit Office， Sihui Prison of Guangdong， Sihui， Guangdong 526237， China）

Abstract： DEA-Malmquist analysis requires a huge amount of calculations. MATLAB software integrates multiple optimized toolboxes， which can reduce the time overhead of DEA-Malmquist analysis. Based on the open source MATLAB toolbox written by Inmaculada C. ?lvarez and others， this paper conduct a DEA-Malmquist analysis. The operation results show that the MATLAB software is competent for DEA-Malmquist's analysis work and can provide the researches on economics and management with a strong support.

Key words： MATLAB; Data Envelopment Analysis （DEA）; Malmquist; linear programming

0 引言

數據包絡分析（Data Envelopment Analysis， DEA）是一種以多個指標為輸入變量，衡量不同決策單元（Decision-Making Unit）的績效的一種分析方法，被廣泛應用于績效和效益的評價中[1-2];Malmquist指數是由StenMalmquist于1953年提出[3]，最初用于消費分析。1994年，Rolf Fare，Grosskopf，Norris等人提出利用基于DEA的距離函數計算Malmquist指數，即DEA-Malmquist指數。自此，DEA-Malmquist被廣泛應用于衡量城市的全要素生產率[4-5]。

MATLAB軟件是由美國MathWorks公司推出的軟件，旨在為向量和矩陣的運算提供一種可讀性強、運行效率高的編程環境。MATLAB的編程語言被稱為M語言，但由于MATLAB本身由C語言編寫，因此MATLAB可以兼容C、C++、JAVA等主流編程語言。得益于強大的數據處理能力以及良好的程序可讀性，MATLAB已經在圖像處理、數值分析、無線通信等領域得到了廣泛的應用。

Malmquist指數的核心，在于利用DEA求出的距離函數;而DEA的核心，則在于線性規劃。在MATLAB的早期版本中，已經集成了線性規劃函數。DEA和Malmquist中的各個變量均是以向量、矩陣表示，而向量和矩陣運算正是MATLAB所服務的領域。但是，目前國內基于MATLAB的數據包絡分析的文獻極少。彭育威等人[6]最先提出M語言的DEA程序，而后秦毅等人[7]在其基礎上提出超效率DEA的M語言程序，胡躍紅[8]戚峰[9]等均是在彭育威等人的M程序的基礎上進行DEA分析。

目前，國內利用MATLAB進行DEA-Malmquist分析的研究尚處于空白階段。西班牙馬德里自治大學Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源工具箱MATLAB，可用于DEA-Malmquist分析[10]。該MATLAB工具箱集成多種DEA以及Malmquist算法，可以方便地對樣本進行DEA或DEA-Malmquist分析。但是，目前國內關于DEA-Malmquist的研究，一般要求將Malmquist指數中的技術效率指數（Technical Efficiency Change， TEC）分解為純技術效率指數（Pure Technical Efficiency Change， PTEC）和規模效率指數（Scale Efficacy， SE）[11-12]，而Inmaculada C. ?lvarez等人開發的Malmquist指數僅僅分解為TEC和技術進步指數（Technical Change， TC），難以直接應用到實際的DEA-Malmquist分析中。因此，本文將基于開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。

1 基于MATLAB的DEA分析

1.1 DEA基本原理

DEA是比較不同DMU在某個時間點的績效或效率的方法。考慮有n個DMU的規模報酬不變的BCC模型，衡量各個DMU的指標有m個，各個DMU的績效指標有s個，給定輸入矩陣[X=xT1xT2…xTmT][X=xT1xT2…xTmT]，輸出向量[Y=yT1yT2…yTs]，其中（.）T代表矩陣轉置，[xi=[x1ix2i…xni]]代表了第i個描述DMU的指標，[xki]代表第k個DMU的第i個指標的值。DEA等價于解決下列問題：

[minθ，λθ] [s.t θxi=Xλ， Yλ=yi， λi≥0]? ⑴

其中[λ=[λ1λ2…λn]T]是一個半正定向量。由于有n個DMU，因此需要重復⑴的過程n次才能解出[λ]。

令[s-=θxi-Xλ]，[s+=Yλ-yi]，則式⑴可轉化為以下問題：

[mins+，λ，s-ω=es++es-]

[? ? ? ? ? ?s.ts-=θxi-Xλ， s+=Yλ-yi， λi≥0，s-i≥0，s+i≥0] ⑵

其中[e=1…1]。對于規模報酬可變模型（Variable Return to Scale， VRS），需要滿足[eλ=1]，而規模報酬不變模型（Constant Return to Scale， CRS）則無此限制。CRS模型下的[θCRS]就是TEC， [θVRS]就是PTEC;兩者的比值[θCRS/θVRS]就是SE。

對于DEA是否有效，可通過三個條件進行判斷：①[θi=1]且[s-=s+=0]時，則第i個DMU，即DMUi有效;②只滿足[θi=1]，則DMUi弱有效;③[θi<1]，則DMUi非有效。

1.2 MATLAB在DEA分析中的應用

在文獻[10]提供的DEA工具箱中，對數據進行DEA分析的函數，主要有dea（.）函數和deascale（.）函數。dea（.）函數主要用于分析DMU是否有效，可選CRS模型或VRS模型;deascale（.）函數可以直接輸出TEC、PTEC、SE的值，能滿足絕大多數場景的DEA分析。

將文獻[10]中的DEA工具箱下載后，將文件夾deatoolbox下的所有m程序復制到MATLAB運行環境中，并建立程序如下的主函數m文件：

load 'deadataFLS';

io = dea（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（io）;

程序的運行結果如表1所示。

表1是dea（.）函數基于CRS模型的演示樣例，輸入矩陣X，Y由文件夾deatoolbox中deadataFLS.mat文件提供;slackX1和slackX2就是s-，slackY就是s+。如果想更換為VRS模型，則運行語句需變更為：

load 'deadataFLS';

io=dea（X， Y， 'orient'， 'io'， 'rts'， 'vrs'）;;

deadisp（io）;

在DEA分析中，如果可以確定輸入指標的確會影響DMU的績效評價，則可以不對DMU進行有效性評價，而直接分析其TEC、PTEC、SE。此時，就需要使用deascale（.）函數。deascale（.）函數的調用格式如下：

load 'deadataFLS';

io=deascale（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（io）;

表2是deascale（.）函數的演示實例，可以看到，CRS與VRS的比，或者說TEC與PTEC的比，即為規模效率指數SE。

2 基于MATLAB的Malmquist分析

2.1 Malmquist分析的基本原理

DEA分析是對靜態指標的分析，而Malmquist分析則是對靜態指標的分析，Malmquist指數要求至少有兩個不同時間點的數據。從t時間到t+1時間的Malmquist指數可以表示為[11]：

[Mal=TEC×TC] ⑶

其中，TC的求解較為復雜，需要將當期的投入、產出的DEA分析結果投影到下一期，在此本文不再贅述。TEC則可繼續分解為：

[TEC=PTECt+1×SEt+1PTECt×SEt] ⑷

其中[PTECt]代表時間t的PTEC指數，顯然，它可以用DEA分析的方法求取。將TEC分解為不同時間的PTEC與SE的變動率的乘積，可以顯示出變動規模報酬的情況下，技術進步對總體效率的貢獻情況以及規模效率對總體效率的變動情況。

2.2 MATLAB在Malquist分析中的應用

在文獻[10]提供的工具箱中，進行Malquist指數分析的函數為deamalm（.）。由于Malquist指數要求使用多個時間點的數據，因此，輸入矩陣應該是一個三維矩陣，矩陣的第一、二維代表每一維度的矩陣的行、列數，第三維則點不同的時間。

值得注意的是，deamalm（.）函數的輸出結果只包含了⑶式子中的三個參數。如果要將TEC繼續進行分解，則需要進一步對不同時間的數據進行DEA分析，具體做法是：①利用deascale（.）函數，對不同維度的數據進行DEA分析;②從結構體變量eff中提取scale變量，得到不同時刻的SE;③從結構體變量eff中提取vrs變量，得到不同時刻的PTEC;④將前后時刻的scale變量進行點除操作，即可得到各期的SE的變動率;同理可得各期PTEC的變動率。

下面給出deamalm（.）函數的使用樣例。X的DMU數量為5，只有一個指標衡量各個DMU;一共有三個時間節點。

clc

clear

X = [2; 3; 5; 4; 4];

X（：， ：， 2） = [1; 2; 4; 3; 4];

X（：， ：， 3） = [0.5; 1.5; 3; 2; 4];

Y = [1; 4; 6; 3; 5];

Y（：， ：， 2） = [1; 4; 6; 3; 3];

Y（：， ：， 3） = [ 2; 4; 6; 3; 1];

malmquist = deamalm（X， Y， 'orient'， 'io'）;

deadisp（malmquist）

SC_struct_1=deascale（X（：， ：， 1），Y（：， ：， 1），'orient'， 'io'）;

SC_struct_2=deascale（X（：， ：， 2），Y（：， ：， 2），'orient'， 'io'）;

SC_struct_3=deascale（X（：， ：， 3），Y（：， ：， 3），'orient'， 'io'）;

SC_1=SC_struct_2.eff.scale./SC_struct_1.eff.scale;

SC_2=SC_struct_3.eff.scale./SC_struct_2.eff.scale;

PC_struct_1=SC_struct_1.eff.vrs;

PC_struct_2=SC_struct_2.eff.vrs;

PC_struct_3=SC_struct_3.eff.vrs;

PC_1=PC_struct_2./PC_struct_1;

PC_2=PC_struct_3./PC_struct_2;

disp（[SC_1，SC_2，PC_1，PC_2]）;

上述語句的輸出結果如表3、表4所示。

表3是deamalm（.）函數的直接輸出結果，M1、M2分別是不同時期的Malmquist至少，MTEC1、MTEC2是不同時期的TEC，MTC1、MTC2是不同時期的TC。表3的控制句柄為deadisp（malmquist）及之前的語句，其后的語句對應表4的內容。表4中，前兩列對應不同時期的SE變動率，后兩列對應不同時期的PTEC變動率。

3 結束語

本文基于西班牙馬德里自治大學Inmaculada C. ?lvarez等人編寫的開源MATLAB工具箱，進行DEA-Malmquist分析。針對該工具箱在進行Malmquist分析過程中，沒有將TEC進一步分解的問題，本文給出了相應的思路以及程序樣例。程序運行結果表明，MATLAB不僅可以對數據進行DEA分析，也可以進行DEA-Malmquist分析，并且其最終的運行結果可以根據研究需要做進一步的分解，使得該工具箱更加符合當下我國經濟與管理學研究的習慣。

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