塔式摩擦提升機的動力學建模及其縱向振動分析*

郭 瑜,黃家海,趙 斌,王文慶,劉 暢

(太原理工大學 機械與運載工程學院,山西 太原 030024)

0 引 言

作為礦井關鍵運輸設備,摩擦提升機隨礦井深度不斷增加逐漸向高速、重載方向發展。摩擦式提升機分為塔式和落地式兩種。塔式摩擦提升機有如下優點:(1)鋼絲繩的包圍角大,有利于防滑;(2)鋼絲繩在井塔內,不受雨雪影響,對防滑性能影響小;(3)鋼絲繩彎曲點少,使用壽命更長[1]。

近年來,國內外學者對摩擦提升系統的振動特性展開了大量研究。KACZMARCZYK S等[2]建立了礦井提升系統的分布參數數學模型,通過Rayleigh-Ritz法離散偏微分方程,以分析鋼絲繩的橫向-縱向耦合動力響應,并研究了提升系統運行過程中的瞬態共振現象。MA C等[3]基于功率平衡法將鋼絲繩簡化為桿件,建立了其動力學模型,通過里茲級數法離散振動偏微分方程;研究結果表明,鋼絲繩長度和箕斗質量對沖擊時間和每一階的振動頻率均有影響。YAO J N等[4-5]基于Hamilton原理建立了落地式摩擦提升機的多源耦合動力學模型,分析了不同提升參數對系統橫向振動的影響。WANG N G等[6]建立了柔性提升系統的橫向-縱向耦合動力學模型,通過數值計算和ADAMS仿真分析系統的動態響應;研究結果表明,當外界干擾頻率接近系統固有頻率時,系統會發生明顯的共振。SANDILO S H等[7]將提升系統簡化為一端附有集中質量的運動弦線模型,通過多重尺度法構造近似解析解,分析了繩長線性變長或諧波變長時系統的非線性動力學響應。文獻[8-10]利用商業動力學仿真軟件RecurDyn,建立了落地式摩擦提升機的仿真模型,并對運行過程中的振動特性進行了分析研究。

上述學者在研究中通常忽略尾繩的作用或者將其質量等效至提升容器[11],而實際運行過程中不僅提升繩的長度隨時間變化,尾繩的長度同樣是時變的。隨礦井深度增加,尾繩的長度和質量增加,對提升系統縱向振動的影響是不可忽略的。

本研究以塔式摩擦提升機為研究對象,建立提升機動力學模型,對提升系統的縱向振動進行仿真分析和試驗、研究。

1 提升系統縱向振動模型

塔式摩擦提升機簡化動力學模型如圖1所示。

圖1 摩擦提升系統示意圖lh(t)—提升繩長度;lk(t)—尾繩長度;u(x,t)—提升繩縱向振動;w(x,t)—提升繩縱向振動;h—提升容器高度;H—井深

圖1中,筆者以提升繩上端即鋼絲繩與摩擦輪相切處為原點建立坐標系,忽略鋼絲繩打滑,將尾繩下端視為自由端[12]。提升繩和尾繩均為彈性體,長度均為變量,假設其具有均勻性和連續性且遵循胡克定律,在運行過程中分別發生縱向振動;提升容器與罐道為剛性體。

1.1 縱向振動控制方程

系統x處的位移向量R為:

(1)

式中:i—沿X軸的單位矢量。

對時間變量t求導,可得提升繩和尾繩的速度向量V1和V2為:

V1=[v(t)+ui(x,t)+v(t)ux(x,t)]i,
0

(2)

V2=[v(t)+wt(x,t)+v(t)wx(x,t)]i,
lh(t)+h

(3)

式中:v(t)—提升系統的運行速度,m/s。

為方便書寫,上標“·”表示對時間的全導數,下標t,x分別表示對時間和空間的偏導數,下面的方程中將v(t),u(x,t)和w(x,t)簡寫為v,u和w。

摩擦提升系統動能為:

(4)

式中:ρ1,ρ2—提升繩和尾繩的線密度,kg·m-1;m—提升容器的質量,kg。

摩擦提升系統彈性勢能為:

(5)

式中:E1,E2—提升繩和尾繩的彈性模量,GPa;A1,A2—提升繩和尾繩的橫截面積,mm;Th(x,t),Tk(x,t)—提升繩和尾繩的準靜態張力[13],N。

其中：

Th(x,t)=[m+ρ1(lh(t)-x)+ρ2(H-lh(t)-h)]g

(6)

Tk(x,t)=ρ2(H-x)g

(7)

式中:g—重力加速度,m/s2。

摩擦提升系統重力勢能為:

(8)

提升系統振動過程中阻尼耗散能為[14,15]:

(9)

式中:μ1,μ2—提升繩和尾繩的縱向阻尼系數。

將式(4,5,8,9)代入廣義Hamilton原理中:

(10)

應用萊布尼茲法則和變分運算,可得摩擦提升系統鋼絲繩和尾繩的振動控制方程:

(11)

(12)

由于提升繩下端與提升容器頂部相接,尾繩上端與提升容器底部相接,考慮二者邊界的相互作用,振動偏微分方程相應的邊界條件為:

u(0,t)=0,u(lh(t),t)=w(lh(t)+h,t)

(13)

(14)

v+wt(H,t)+vwx(H,t)=0

(15)

1.2 振動方程離散化

由于縱向振動控制方程為帶有時變參數的偏微分方程組,難以獲得解析解,筆者通過Galerkin法將偏微分方程離散為常微分方程組,使用MATLAB軟件進行數值求解。

此處引入無量綱變量ξ、ζ對式(11,12)進行歸一化處理,其中:

(16)

將方程從時變空間域轉化為ξ和ζ的固定域[0,1],則方程的解可以表示廣義坐標和滿足方程邊界條件振型函數的線性組合[16]:

(17)

式中:pk(t),qk(t)—第k階廣義坐標;n—模數;φk(ξ),ψk(ζ)—離散提升繩和尾繩振動方程的振型函數。

其中:

(18)

求出振動位移u(x,t)和w(x,t),對t和x的各階偏導,代入振動控制式(11,12),并分別乘以φk(ξ)/lh(t)和ψk(ζ)/lk(t),其中:

(19)

(20)

(21)

(22)

筆者利用Galerkin加權余量法將ξ和ζ在固定域[0,1]內進行積分,將振動控制偏微分方程組離散為常微分方程組:

(23)

式中:p,q—廣義坐標向量,p=[p1,p2,…,pk]T,q=[q1,q2…,qk]T;M1,M2—與p和q對應的質量矩陣;C1,C2—與p和q對應的剛度矩陣;K1,K2—與p和q對應的阻尼矩陣;F1，F2—與p和q對應的廣義力矩陣。

M1、C1、K1和F1的元素值為:

(24)

(25)

(26)

(27)

其中:

φ(ξ)=[φ1(ξ),φ2(ξ),…,φk(ξ)]T

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

M2、C2、K2和F2的元素值為:

(34)

(35)

(36)

(37)

其中:

ψ(ζ)=[ψ1(ζ),ψ2(ζ),…,ψk(ζ)]T

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

2 縱向振動仿真與試驗

摩擦提升系統運行過程中,系統不可避免地會發生縱向振動。

2.1 縱向振動響應仿真及分析

筆者以某礦JKM-3.5X6Z(Ⅲ)型塔式摩擦提升機參數作為輸入量,對理論模型進行了仿真分析。提升繩的基本參數為線密度ρ1=5.024 kg·m-1,彈性模量E1=9.2 GPa,橫截面積A1=36 mm,縱向阻尼系數μ1=3×10-3,尾繩的基本參數為線密度ρ2=6.048 kg·m-1,彈性模量E2=8.9 GPa,橫截面積A2=34 mm,縱向阻尼系數μ2=3×10-3。提升容器質量m=5 400 kg,提升繩的初始長度為15 m,井深H=530 m。系統運行過程中,輸入速度曲線由提升機摩擦輪轉速擬合得到,通過數值積分和微分得到系統運行過程中的位移和加速度曲線。

提升系統運動曲線如圖2所示。

圖2 提升系統運動曲線

以上述提升參數和運動曲線作為輸入量,筆者應用MATLAB軟件和Runge-Kutta法,對四階Galerkin截斷得到的常微分方程組進行數值計算。

提升工況下,提升容器上方2 m處提升繩與距提升容器底部2 m處尾繩的縱向振動響應,如圖3所示。

圖3 提升工況下系統振動響應

圖3中:提升工況下提升繩與尾繩的縱向振動位移趨勢相同,這是因為提升繩的下端和尾繩的上端分別與提升容器頂部和底部相接,兩者邊界的耦合使振動互相影響,但提升繩的縱向振動比尾繩更劇烈;

隨提升容器提升,提升繩長度減小,提升繩與尾繩的振動頻率均會明顯增加;系統加速時,提升繩和尾繩的振動位移達到峰值;系統加速、減速和制動時,提升繩和尾繩縱向振動加速度幅值明顯增加,隨后在鋼絲繩內部阻尼作用下振動逐漸衰減;與提升繩不同,減速時尾繩的振動加速度達到峰值,這是因為提升工況下減速時尾繩長度比加速時更長,系統運動狀態突變產生的慣性沖擊會使尾繩產生更劇烈的振動。

下放工況下,提升容器上方2 m處提升繩與距提升容器底部2 m處尾繩的縱向振動響應,如圖4所示。

圖4 下放工況下系統振動響應

圖4中,下放工況下提升繩與尾繩的縱向振動比提升工況更小。隨提升容器下放,提升繩長度增加,提升繩與尾繩的振動頻率均會明顯增加。系統減速時,提升繩和尾繩的振動位移達到峰值。系統下放過程中減速和制動會導致提升繩和尾繩產生較大的縱向振動加速度。加速時尾繩的振動加速度達到峰值。

系統制動后提升繩縱向振動對比如圖5所示。

圖5 系統制動后提升繩縱向振動對比

由圖5可知:提升容器下放至井底處時,提升繩與尾繩振動加速度更大,且阻尼衰減率明顯小于提升工況,系統恢復穩態需要更長的時間。這是因為下放制動時提升繩長度比提升制動時更長,鋼絲繩剛度較小,受沖擊作用產生的振動更加劇烈,且提升制動時提升容器的慣性力方向于重力加速度方向相反,系統制動過程中耗散的能量更多。

2.2 縱向振動響應試驗及分析

為驗證理論模型,筆者對某礦JKM-3.5X6Z(Ⅲ)型塔式摩擦提升機進行振動特性測試。

測試系統布局如圖6所示。

圖6 測試儀器布局示意圖

圖6中,將KISTLER 8795A50型可變電容式三軸加速度傳感器置于罐籠內部,采集系統運行過程中的縱向振動信號。由于被測礦井深度達到500 m,無法通過線路連接直流電源為測試儀器供電。因此,將鉛蓄電池的直流電轉換為220 V交流電。

加速度傳感器參數如下:測量范圍為±50 g,分辨率為0.001 g,靈敏度為100 mV/g,諧振頻率20 kHz。由采樣頻率為100 Hz的NI USB-6343型數據采集卡將采集到的縱向振動信號傳送至電腦中,使用LabView軟件存儲數據;最后,使用MATLAB軟件設計低通濾波器對數據進行濾波。

測試現場圖如圖7所示。

圖7 測試現場

仿真與測試曲線對比如圖8所示。

圖8 仿真與測試曲線對比

圖8中,本文建立的動力學模型計算得到的振動加速度幅值與實驗測試結果在相同位置的振動加速度幅值基本一致。從仿真和實測曲線均可看出：系統加速、減速時振動加速度明顯增大,制動時系統受到沖擊產生縱向振動峰值,隨后在內部阻尼的作用下衰減為0。由此表明,本文建立的帶尾繩提升系統動力學模型和使用不同振型函數通過Galerkin加權余量方法計算系統的縱向振動是可行的。

由于理論模型采用了一些假設,致使仿真曲線與試驗測試曲線存在一定的誤差,例如忽略了系統運行過程中摩擦輪和剛性罐道對鋼絲繩上下邊界的擾動,導致仿真結果中勻速階段鋼絲繩的振動均小于真實值。綜上可知,本文建立的帶尾繩提升系統振動模型能夠反映系統的縱向振動特性。

3 提升參數對系統振動特性影響

隨著礦井深度變深,提升速度越來越快,摩擦提升系統在運行過程中對結構參數變化更加敏感。此外,由摩擦輪輸出轉速或力矩的波動、動不平衡會在鋼絲繩與摩擦輪分離處產生縱向激勵源,該激勵可能引起提升系統運動狀態參數發生波動,進而引發參數激勵振動現象[17]。

提升質量分別為5 000 kg、6 000 kg和7 000 kg時系統的縱向振動響應[18],如圖9所示。

圖9 不同提升質量時提升繩振動響應

圖9中,提升質量越大,提升系統運行過程中縱向加速度幅值越大。制動后,提升質量越小,系統的殘余振動更劇烈;摩擦提升機重載運行時,系統更易產生劇烈的縱向振動,但由于鋼絲繩張力增大,制動后產生的殘余振動更小。

提升容器下放至井底處、距井底1/3H處和距井底2/3H處制動時,系統的縱向振動響應如圖10所示。

圖10 不同高度制動時系統振動對比

圖10中,當提升容器越靠近井底時,提升繩長度變長,瞬時剛度較小,系統運動狀態突變更易導致劇烈的縱向振動。因此,當井深變深、鋼絲繩總長變長,即系統提升高度增加時,加速、減速和制動時會產生更嚴重的縱向振動。

假設提升繩上端存在一個縱向諧波激勵,e(t)=A0sin(πt),受該激勵影響,提升繩瞬時長度為lh(t)+e(t)。激勵幅值分別為0 m、0.001 m和0.002 m時系統的縱向振動響應如圖11所示。

圖11 不同激勵幅值時系統振動對比

圖11中,隨激勵幅值增大,系統縱向振動加速度幅值明顯增加。該諧波激勵不僅使鋼絲繩繩長發生變化,也會導致系統的運行速度和加速度發生突變。因此,摩擦輪作為摩擦提升系統的動力源,除提供動力外,其引入的邊界激勵也會導致提升機產生受迫振動。

4 結束語

針對塔式摩擦提升機縱向振動特性,筆者應用Hamilton原理建立了帶尾繩摩擦提升系統縱向振動偏微分方程;以礦井塔式提升機參數和運動狀態曲線作為輸入,對系統運行過程中的縱向振動相應進行了仿真分析和驗證,研究了提升參數對系統振動特性的影響。研究結果表明:

(1)提升系統加、減速和制動時，提升繩和尾繩縱向振動位移和加速度均會明顯增加,在內部阻尼作用下振動逐漸衰減(提升繩與尾繩的縱向振動特征與此相似);系統下放到井底制動時縱向振動位移和加速度均大于提升工況,且阻尼衰減率更慢;

(2)提升載荷、高度以及摩擦輪波動幅值的增加均會使系統運行過程產生更劇烈的縱向振動;

(3)經實驗驗證,筆者建立的帶尾繩縱向振動模型能夠較好地描述塔式摩擦提升系統的縱向振動特性。