純滾動條件下滾動軸承滾球自轉速度的計算*

祁宏偉,牛藺楷,2*,謝宏浩,肖 飛,鄭一珍,熊曉燕,2

(1.太原理工大學 機械與運載工程學院,山西 太原 030000;2.太原理工大學 新型傳感器與智能控制教育部重點實驗室,山西 太原 030000)

0 引 言

滾動軸承是現代機械裝備的關鍵核心部件之一,因此,如果滾動軸承發生故障,將嚴重威脅設備的安全可靠運行。目前,已有許多學者對滾動軸承的故障診斷展開了廣泛而深入的研究。

在滾動軸承的故障診斷分析和動力學分析中,滾動體沿著自身軸線的旋轉速度(即自轉速度ωb)是計算滾球故障特征頻率(ball defect frequency, BDF)和滑滾比的重要參數[1,2]。

對于外圈固定,內圈旋轉的滾動軸承而言,在純滾動條件下,HARRIS T A的經典著作[3]中給出了滾球自轉速度的計算方法。為了便于后續討論,本文將文獻中給出的自轉速度表示為ωbH。

在對滾動軸承進行故障診斷的研究中,ωbH是提取滾動體故障特征的重要參數。對于ωbH在滾動軸承故障診斷中的應用,文獻[4-7]已經進行了詳細的討論。在動力學分析中,ωbH廣泛地應用在對故障軸承的動力學建模和振動響應分析中[8]。MISHRA C等人[9]采用鍵圖法,提出了一種考慮滾動體故障的球軸承動力學模型。SAWALHI N等人[10,11]在考慮了滾動體故障的情況下,建立了軸承-齒輪系統的動力學模型。在MISHRA和SAWALHI的模型中,ωbH被用來確定滾動體缺陷與套圈發生碰撞的時刻。據此,CHOUDHURY A等人[12]采用集中質量法建立了含滾動體故障的滾動軸承轉子系統動力學模型。在文獻[12]中,ωbH被用來確定由于滾動體故障而產生周期沖擊的時間間隔。WANG H等人[13]建立了考慮滾動體表面波紋度的球軸承動力學模型,ωbH被用來確定在特定時刻時滾動體波紋度的幅度。

雖然ωbH廣泛地應用于故障診斷和動力學分析中,但筆者通過研究發現,ωbH并不能給出純滾動條件下滾球自轉速度的合理值,主要原因在于得出ωbH的推導過程中,忽略了滾球中心點的平移速度對其自轉速度的影響。

為此,本文首先從運動學角度出發,對計算ωb的合理公式進行推導;進而,本文構建含有滾球缺陷的球軸承動力學模型,通過研究沖擊之間的時間間隔對所提方法在計算滾動體自轉速度方面的合理性進行討論。

1 運動學分析

首先給出ωbH的計算公式為:

(1)

式中:ωi—內圈旋轉速度;D—滾動體直徑;dm—軸承節徑;α—接觸角。

為了深入說明式(1)在計算滾球自轉速度時存在的問題,本節首先對式(1)的推導過程進行簡要的說明,進而在此基礎上提出本文的計算方法。需要說明的是,此處對于式(1)的推導僅從運動學角度展開,不涉及離心力、陀螺力矩等復雜的動力學問題。

1.1 推導過程及其存在的問題

球軸承在yz平面和xz平面的幾何參數如圖1所示。

圖1 球軸承在yz平面和xz平面的幾何參數坐標系Oxyz—慣性坐標系,x軸—軸承的旋轉軸線;坐標系O′x′y′z′—接觸坐標系,z′軸通過接觸點,z′軸和z軸的夾角即為接觸角α;ωo—外圈轉速;ωi—內圈轉速;ωb—滾球自轉速度(ωb在yz平面的投影即為ωbcosα);ωc—滾球的公轉速度(保持架轉速);各轉速以逆時針方向為正方向

為了分析方便,筆者將軸承的外圈固定(即圖1中ωo=0),內圈和保持架繞軸承軸線旋轉的角速度分別為ωi和ωc。因此,內圈相對于保持架的旋轉速度為ωi-ωc。

在對滾球進行分析時,Harris分析框架下的滾球自轉速度計算如圖2所示。

圖2 純滾動條件下計算滾球自轉速度(Harris分析框架)

令保持架的轉速ωc=0(ωc=0意味著滾球中心Ob和內圈中心O的連線OOb繞軸承中心的旋轉速度為0),則內圈按照ωi-ωc進行旋轉。當ωc=0時,滾球中心的平移速度vc也相應變為0。

在保持架轉速ωc=0的分析框架內,內圈在接觸點處的速度為:

(2)

滾球在接觸點處的速度為:

(3)

當忽略接觸點處于相對滑動的情況下(即純滾動條件下),滾球在接觸點的速度等于內圈在接觸點的速度(vibH=vbiH),即:

(4)

由式(4)可以得到:

(5)

由文獻[3]46-51可知,保持架轉速ωc可以表示為:

(6)

最終,將式(6)代入式(5)中,即可得到式(1)。

通過上述對ωbH推導過程的討論可以看出,滾球在接觸點的速度對自轉速度的計算具有重要的影響。實際上,當滾球表面點按照滾球自轉速度繞滾球軸線旋轉的同時,滾球中心會同時繞著軸承中心進行公轉,公轉速度即為ωc。因此,根據速度合成定理,滾球表面點速度應該為滾球自轉速度ωb和公轉速度ωc共同作用的結果。然而,式(3)和式(5)在建立時僅僅考慮了滾球自轉速度對滾球接觸點速度的影響,導致式(1)也未能充分考慮滾球公轉速度對表面點速度的影響。因此,ωbH無法合理表征自轉速度。

需要說明的是,雖然式(1)無法合理表達自轉速度,但可以對滾球故障特征頻率進行合理的計算(其原因在第2節進行詳細的說明)。

1.2 計算ωb的合理方法

在純滾動條件下,滾球自轉速度的計算(本文分析框架)如圖3所示。

圖3 純滾動條件下計算滾球自轉速度(本文分析框架)

(7)

內圈在接觸點的速度可以表示為:

(8)

在純滾動條件下,vib=vbi,即有:

(9)

對式(9)進行整理,最終有:

(10)

由以上討論可以看出,與式(5)相比,本文所推導的自轉速度表達式,即式(10),考慮了滾球中心速度對滾球接觸點速度的影響,因此可以得到更為合理的自轉速度。

進而,對比式(5)和式(10),有:

ωb=ωbH-ωccosα

(11)

2 動力學分析

本節通過動力學分析進一步驗證本文在1.2節中所提計算方法的合理性(即在計算滾球自轉速度時需要考慮滾球接觸點的平移速度)。

在動力學分析中,軸承元件旋轉速度通過對動力學方程進行數值積分后得到。為了建立其動力學方程,需要計算其相對滑動速度,以得到軸承元件的摩擦力和力矩;計算滑動速度則需要計算接觸點的平移速度。由此可以看出,當采用不同的計算方法計算接觸點平移速度時,會得到不同的自轉速度。

由第1節的相關分析可知,式(1)的建立不考慮滾球中心速度對接觸點平移速度的影響,而本文建立式(10)時,考慮了滾球中心速度對接觸點平移速度的影響。在動力學分析時,如果在考慮滾球中心速度對接觸點平移速度的影響的情況下,得到更為合理的結果,則可以說明本文所提方法的合理性。

為了對自轉速度進行分析,筆者建立了一個能夠考慮滾球局部損傷的動力學模型。

滾球損傷的示意圖如圖4所示。

圖4 滾球局部損傷

圖4中,當滾球自轉時,滾動體損傷會周期性地和套圈發生碰撞,并產生一系列沖擊,每一個沖擊之間的時間間隔與滾球自轉速度具有直接的關系。因此,可以通過對沖擊時間間隔的研究,來對滾球自轉速度進行一定的分析。

當滾球損傷通過連線ObO′時,該損傷就會與套圈發生碰撞并產生一定的沖擊。因此,BDF對應的就是損傷連續通過連線ObO′(對同一個套圈)的時間間隔。在滾動體損傷以ωb的角速度繞滾球中心旋轉時,連線ObO′也同時以速度ωccosα繞著軸承中心進行旋轉。也就是說,BDF受到角速度ωb和ωccosα的共同影響,即|ωb|+|ωccosα|。由于ωbH比ωb大ωccosα,ωbH可以計算得到合理的BDF。

為了建立能夠考慮滾球損傷的動力學模型,筆者首先建立正常軸承的動力學模型,并基于損傷的產生,對軸承幾何和動力學特性的影響建立損傷模型;然后將損傷模型與正常動力學模型進行模型融合,最后得到考慮了滾球損傷的動力學模型。

此處筆者使用的正常軸承動力學模型基于由Gupta開發的ADORE(advanced dynamics of rolling elements)模型構建。模型ADORE能夠對軸承內部各元件(滾動體、套圈、保持架)以及各元件之間復雜的時變動力學行為進行模擬。

關于ADORE中詳細的建模過程可參見文獻[14-16]。本節僅對ADORE的基本建模過程進行必要的討論。

ADORE中計算旋轉速度的流程如圖5所示。

圖5 ADORE中計算旋轉速度的流程

以球和套圈相互作用為例。首先,筆者根據球中心的平移速度和球的旋轉速度,來確定球和套圈在接觸點的速度;由球和套圈在接觸點的速度之差,計算它們在接觸點的相對滑動速度。當得到相對滑動速度后,將相對滑動速度代入一定的潤滑劑牽引模型,就可以得到其摩擦力。摩擦力將決定作用在軸承元件上的力矩。當力矩確定后,可根據歐拉方程計算角加速度。然后,通過對角加速度進行數值積分,從而計算出下一時刻軸承元件的轉速。

由以上討論可知,軸承元件接觸點處的速度直接影響著兩個元件的相對滑動速度,并進一步影響著球的旋轉角速度。如上面所述,通過式(5)和式(10)計算得到的不同結果,原因在于滾球在接觸點的平移速度計算方法的不同。

2.1 相對滑動速度的計算

2.1.1 基于本文所提方法

在動力學模型中,基于本文在1.2節中提出的方法(滾動體接觸點平移速度應為滾球自轉速度和滾球中心平移速度共同作用的結果),滾球和內圈在接觸點處的速度可以分別表示為:

ui=vi+ωi×ri

(12)

ub=vb+ωb×rb

(13)

式中:ωi,ωb—內圈和滾球的自轉速度矢量;ri,rb—內圈和滾球在接觸點相對于內圈中心和滾球中心的位置矢量;vi—內圈中心的平移速度矢量;vb—滾球中心的平移速度矢量。

在慣性柱坐標下,可將vb寫為:

(14)

則:滾球和內圈在接觸點處的相對滑移速度為ui-ub。

2.1.2 基于式(1)的推導方法

基于式(1)的推導方法,內圈和滾球在接觸點的速度可以分別寫為:

(15)

(16)

則:滾球和內圈在接觸點處的相對滑移速度為uiH-ubH。

從上面的討論可以看出,基于本文所提方法和式(1)的推導方法,可以得到兩種滑動速度的計算方法。如果基于滑動速度ui-ub計算得到的沖擊時間間隔是合理的,則說明本文所提出的計算滾球自轉速度的方法是合理的。

2.2 滾球局部損傷模型

由于材料的缺失,局部損傷對軸承各元件之間的幾何趨近量會產生重要影響。

當滾球損傷與套圈發生相互作用時,二者之間的幾何趨近量可以寫為:

Δ=|rbc|-fD-hd如果εd≤εb

(17)

式中:hd—損傷深度;εd—損傷包容角的一半;εb—損傷中心和ObO′之間的連線(如圖4所示);f—滾道溝曲率系數;rbc—滾球中心和滾道溝曲率中心之間的位置矢量。

在動力學分析中,需要實時判斷兩個角度的關系。如果εd>εb,則可以說明滾球損傷和滾道之間沒有相互作用。

2.3 基座模型

為了研究軸承的振動,筆者在軸承外圈上增加沿軸和軸兩個平移自由度,以模擬軸承箱的振動,如圖6所示。

圖6 軸承座模型

相應的動力學方程為:

(18)

3 動力學分析結果

筆者使用第2節中討論的考慮滾球損傷的球軸承動力學模型,來研究當滾球損傷碰撞套圈時兩個連續脈沖之間的時間間隔。

軸承的基本參數如表1所示。

表1 仿真軸承-軸承座系統參數

內圈轉速為5 000 r·min-1,在內圈施加500 N的純徑向載荷。為了方便進行對比分析,本節將對比分析基于uiH-ubH和ui-ub所計算得到的結果。這兩種計算方法分別稱為方法1和方法2。其中,方法1與式(1)的推導相對應,方法2與本文所提公式的推導相對應。

當軸承不存在損傷,且初始接觸角為0°時,由動力學仿真得到的滾球自轉速度ωb如圖7所示。

圖7 動力學仿真得到的滾球自轉速度

需要說明的是,圖7中速度ωb的符號(“正”或“負”)基于右手法則(逆時針為正)。由于內圈轉速ωi是逆時針方向的,在圖7中ωb為負。當使用方法1時,結果為-1 397 rad·s-1;當使用方法2時為-1 182 rad·s-1。兩者結果差為215 rad·s-1,幾乎等于保持架的轉速。

此外,基于方法1和2的計算得到的接觸角都很小,約為0.000 12°。因此,根據方法1計算得到的球自轉速度大約比按方法2計算得到的球自轉速度大ωccosα,這與第2.2節的結論是一致的。

當軸承滾球含有1個深度為1 mm的局部損傷時,軸承座在z方向的加速度如圖8所示。

圖8 軸承座z方向的加速度

在圖8中,損傷碰撞內圈時產生的沖擊標為“I”,沖擊外圈時產生的脈沖稱為“O”。

圖8(a)和圖8(b)之間的一個主要區別是當滾球損傷碰撞同一套圈時,產生的脈沖之間的時間間隔。以碰撞外圈的脈沖為例。當使用方法1計算相對滑動速度時,時間間隔約為3.9 ms,對應的BDF約256.4 Hz,如圖8(a)所示;當使用方法2時,時間間隔約為4.5 ms,約222.2 Hz,如圖8(b)所示。

以上結果表明：當采用方法1和方法2,計算得到的滾球故障特征頻率分別為256 Hz和222 Hz,兩者相差約34 Hz,與ωccosα(本仿真中,α=0)相一致。

由此可以發現,當用方法2計算相對滑移速度時,BDF幾乎等于用式(1)確定的BDF(由式(1)計算的BDF約為222.1 Hz)。雖然式(1)無法計算得到合理的ωb,但公式(1)已被大量實驗證實可以計算得到合理的BDF。因此,根據式(7)和式(8)確定接觸點速度的方法2,可用于確定實際和合理的相對滑動速度。

上述分析表明,本文所提出的式(10)計算的ωb更為合理。

此外,在不同初始接觸角下,計算得到的球自轉速度如表2所示。

表2 滾球自轉速度

由于施加純軸向載荷時,每個滾球都會表現出相似的動態特性,表2中的結果是在內圈上施加50 N的純軸向載荷時所得到的。從表2中可以看出,接觸角對球的自轉速度影響很大,方法1和方法2的結果之差幾乎等于ωccosα。

此外,根據方法2計算的BDF幾乎等于根據式(1)計算得到的BDF,如表3所示。

表3 滾球故障特征頻率(BDF)

4 實驗驗證

本節筆者通過一個實驗對所提的方法進行驗證。筆者采用動力學模型,使用方法2對接觸點的相對滑動速度進行計算。

此處所采用的實驗臺為HD-CL-012X行星齒輪箱綜合故障模擬實驗臺,如圖9所示。

圖9 HD-CL-012X故障模擬實驗臺

圖9中,故障軸承為太陽輪軸承,具體為6212型深溝球軸承。筆者采用激光燒蝕的方法在滾球上加工出直徑大約為1 mm的表面損傷。

具體實驗時,筆者采用一個KISTLER 8766A50三軸加速度傳感器,在齒輪箱頂側采集振動信號。數據采集儀為DEWE-5000型多通道數據采集儀,采樣頻率為5 kHz,轉速為3 000 r/min,通過磁粉制動器施加的扭矩為5 N·m。

6212深溝球軸承的基本參數如表4所示。

表4 6212深溝球軸承基本參數

通過動力學仿真和實驗得到的振動信號的頻譜如圖10所示。

圖10 振動信號的頻譜圖

從圖10(b)中可以明顯找到BDF的2倍頻259.5 Hz(由于滾球損失旋轉一圈會和內圈和外圈分別發生一次碰撞,頻譜中2BDF更為明顯);從圖10(a)可以看到2BDF259.3 Hz。

可見,由仿真得到的BDF與實驗結果基本一致,從而可以說明,采用方法2計算滾球自轉速度是合理的,也即可以說明,本文所提出的在計算滾球自轉速度時需要考慮滾球接觸點平動速度的方法,即式(10)是合理的。

5 結束語

本文討論了純滾動條件下,滾動軸承中球的自轉速度的計算;從運動學中該公式的推導過程和動力學中,建立了滾球缺陷動力學模型,從兩個角度對其進行了研究,并通過故障模擬實驗臺對該結果進行了驗證。

研究結果表明:

(1)由于式(1)在推導時沒有考慮球的軌道速度對滾球-滾道接觸點速度的影響,因此,式(1)無法得出合理的純滾動條件下的滾球自轉角速度;

(2)由式(1)計算得到的比實際滾球的自轉速度大。在計算球的自轉速度時,應考慮滾球中心的平移速度對滾球-滾道接觸點平移速度的影響。

本文提出的計算滾球自轉速度的公式,可為進一步開展滾動軸承的故障診斷分析和動力學分析提供一定的依據。