基于等效樣本和實仿融合的現(xiàn)場小子樣試驗制導(dǎo)精度評估方法

寧小磊，吳穎霞

(中國華陰兵器試驗中心，華陰 714200)

隨著高新技術(shù)的迅速發(fā)展，在常規(guī)制導(dǎo)兵器的論證、研制過程中引入了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、成像導(dǎo)引頭等昂貴部件[1]，大大提升了常規(guī)制導(dǎo)兵器的作戰(zhàn)能力和作戰(zhàn)效能，但同時裝備單子樣價格也日益昂貴。在裝備鑒定定型階段，受試驗消耗約束，現(xiàn)場能夠獲取的試驗樣本越來越少，若仍采用傳統(tǒng)的純粹依據(jù)現(xiàn)場試驗評估裝備性能指標(biāo)的試驗方法[2]，存在試驗評估誤差較大、試驗鑒定風(fēng)險較高等問題。

Bayes 方法通過融合仿真先驗信息可提高現(xiàn)場小子樣試驗評估精度[3-6]，但Bayes 方法在融合評估時，仍存在先驗分布如何科學(xué)確定的問題，尤其當(dāng)先驗信息失真時，估計精度甚至下降。針對先驗分布的確定問題，現(xiàn)有文獻[7-9]提出了采用加權(quán)自助抽樣技術(shù)構(gòu)造先驗分布；通過引入修正冪參數(shù)構(gòu)造帶冪函數(shù)的先驗分布，控制驗前信息對驗后估計的影響；通過加權(quán)計算仿真先驗分布和無信息先驗分布，構(gòu)造混合先驗分布；通過引入先驗信息可信度C構(gòu)造了先驗分布，并改進了后驗加權(quán)系數(shù)的計算方法。現(xiàn)有文獻[7-9]提出的一些科學(xué)構(gòu)造先驗分布的有效方法，一定程度上提高了Bayes 估計性能。但這些方法本質(zhì)是通過加入無信息先驗分布減少仿真先驗參加計算后驗參數(shù)的權(quán)重，確保Bayes 估計精度，很顯然這是一種比較保守的改進策略，不能充分利用先驗信息。

針對上述問題，提出了一種基于等效樣本和實仿融合的現(xiàn)場小子樣試驗制導(dǎo)精度評估方法。該方法在仿真可信度C、統(tǒng)計理論和評估精度約束下，提出由仿真可信度C引起的評估誤差E1 和仿真抽樣引起的評估誤差E2 共同度量仿真先驗精度。使用等效樣本表征E1，仿真抽樣樣本表征E2，并將其帶入Bayes融合框架完成后驗分布的精確估計。根據(jù)Kalman 濾波收斂性理論給出了該方法合理性的證明。最后，通過示例對改進方法與傳統(tǒng)方法的估計性能進行了比較，驗證了本文方法的有效性和正確性。

1 Bayes 方法與問題分析

1.1 Bayes 方法

Bayes 方法可以利用先驗信息和現(xiàn)場數(shù)據(jù)實現(xiàn)參數(shù)后驗統(tǒng)計推斷[5-6,10]，Bayes 統(tǒng)計推斷過程如下[10]

式中，θ為未知量；x為現(xiàn)場抽樣樣本；π(θ|x)為后驗分布；π(θ)為先驗分布；p(x|θ)為樣本信息；為邊緣密度函數(shù)。

在式(1)中，先驗分布π(θ)反映了抽樣前對θ的認(rèn)識，后驗分布π(θ|x)反映了抽樣后對θ的認(rèn)識。Bayes方法就是通過現(xiàn)場樣本x對θ認(rèn)識的一種調(diào)整。因此后驗分布π(θ|x)可以看作是用總體信息和樣本信息對先驗分布π(θ)調(diào)整的結(jié)果[10]。使用Bayes 方法融合仿真數(shù)據(jù)與現(xiàn)場數(shù)據(jù)綜合評估時，將仿真數(shù)據(jù)作為仿真先驗信息，然后使用現(xiàn)場數(shù)據(jù)調(diào)整先驗分布，得到后驗分布，用框圖表示Bayes 融合過程如圖1 所示[10]。

圖1 貝葉斯原理示意圖Fig.1 Bayesian principle diagram

由于制導(dǎo)精度一般服從正態(tài)分布，下面給出正態(tài)分布由共軛先驗到后驗分布的Bayes 統(tǒng)計推斷。

1.2 Bayes 方法融合評估時的問題分析

對式(2)進行分析可見，μ2實際上是μ0和μ1的加權(quán)和，加權(quán)系數(shù)分別是1-k和k，由先驗信息精度和現(xiàn)場樣本精度共同確定。假設(shè)σ2=0.5，=0.45，圖2 給出了該條件下的權(quán)系數(shù)計算結(jié)果。

從圖2 可見，隨著現(xiàn)場樣本量n增大，仿真先驗權(quán)系數(shù)急劇下降；當(dāng)現(xiàn)場樣本量n增大到10 以后，仿真先驗系數(shù)大約為0.1，對計算后驗分布參數(shù)的貢獻已經(jīng)很小了；當(dāng)n= 1時，兩系數(shù)才大致相當(dāng)。很顯然，這種權(quán)系數(shù)分配并不是最優(yōu)的，比如當(dāng)仿真先驗精度較高時，在現(xiàn)場樣本估計精度超過仿真先驗精度時，才應(yīng)該賦給現(xiàn)場樣本更大的權(quán)重。

圖2 權(quán)系數(shù)計算結(jié)果示意圖Fig.2 Weight coefficient calculation result

2 基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統(tǒng)計推斷

2.1 改進思路

對仿真先驗分布而言，仿真可信度C是度量μ0偏離μ程度的參數(shù)，很顯然仿真可信度C越高，則μ0的精度越好，反之μ0的精度就越差，因此可以基于仿真可信度C建立表征μ0的精度模型。從μ1的精度公式可見，抽樣樣本量n是精度的數(shù)學(xué)實質(zhì)反映，因此，也可由一個“虛擬”的抽樣樣本量m表征先驗分布μ0的精度，我們將這個抽樣樣本量m稱為等效樣本（Equivalent Sample，ES），它的物理意義是從具有仿真可信度C的仿真試驗系統(tǒng)中抽樣，其評估誤差相當(dāng)于現(xiàn)場飛行m個試驗樣本的評估誤差。這樣就可以基于評估精度建立表征μ0精度的模型如下

將式(5)帶入式(4)計算權(quán)系數(shù)，就可以得到最優(yōu)后驗估計結(jié)果。

2.2 等效樣本的確定

假設(shè)母體分布函數(shù)為 N （μ,σ2），仿真先驗分布函數(shù)為仿真試驗系統(tǒng)可信度為C。從中抽取M個仿真樣本模擬仿真試驗，其估計精度為從 N （μ,σ2）中抽取m個現(xiàn)場樣本模擬飛行試驗，其估計精度為σ2/m，則當(dāng)

根據(jù)上述描述，很明顯可得到

由式(6)可見，已知σ2，m只與 ΔE（C,M）有關(guān)，而，一般情況下很小，可忽略不計，則有

由式(7)可見，仿真試驗評估誤差ΔE主要由仿真可信度C表征。建立仿真可信度C與仿真評估誤差ΔE（C）之間的關(guān)系模型如下

式中，f（ · ）為ΔE與C之間的關(guān)系模型；f-1（ · ）為f（· ）的反函數(shù)。式(8)最重要的物理意義是建立了仿真可信度C與仿真評估指標(biāo)誤差之間的關(guān)系模型，仿真可信度C是仿真評估指標(biāo)誤差的量化度量。

我們給出f（· ）一種簡單關(guān)系模型如下

則有

仿真可信度評估是系統(tǒng)仿真與建模領(lǐng)域比較復(fù)雜的問題，一般根據(jù)工程應(yīng)用背景和仿真模型驗證方法給出科學(xué)度量，本文主要研究數(shù)據(jù)融合算法，對驗證方法不作深入探討。

2.3 統(tǒng)計推斷

綜上，基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統(tǒng)計推斷公式如下

3 評估精度分析

3.1 權(quán)系數(shù)最優(yōu)分配的理論分析

假設(shè)有如下線性動態(tài)系統(tǒng)模型

式中，Φk,k-1為一步轉(zhuǎn)移矩陣；Γk-1為系統(tǒng)噪聲驅(qū)動矩陣；Hk為量測陣；Wk-1為系統(tǒng)噪聲；Vk-1為量測噪聲，且滿足

當(dāng)Φk,k-1= 1，Γk-1= 1，Hk=1時，式(16)變?yōu)?/p>

式(15)所示線性系統(tǒng)的Kalman 濾波實現(xiàn)為[11]

將式(2)轉(zhuǎn)化成如下形式

其對應(yīng)的線性動力學(xué)模型為

由式(26)可見，Pk,k-1由Pk-1,Qk-1兩部分組成，其中，M為仿真抽樣樣本，一般M很大，因此，Qk-1很小，即仿真抽樣誤差很小。Pk-1是k- 1的最優(yōu)估計誤差，可理解為仿真系統(tǒng)誤差，由仿真可信度C引起。

3.2 估計精度分析

對基于等效樣本和實仿融合的Bayes 統(tǒng)計推斷進行精度分析，假設(shè)有權(quán)系數(shù)偏離量δk，則有均方誤差偏離量δP，為

根據(jù)式（22），可得到本文方法的估計精度為

式(28)的工程意義在于：現(xiàn)場N個樣本，仿真等效樣本為m，則基于等效樣本的實仿融合評估精度相當(dāng)于現(xiàn)場N+m個樣本的評估精度。

4 示例分析與比較

4.1 示例場景描述

選擇示例比較分析改進方法與現(xiàn)有方法在估計性能上的差別，示例場景描述如下：

總體分布為 N （μ,σ2），μ=0.4，σ2=0.5；先驗分布為總體分布與先驗分布為之間的差異為則根據(jù)式(6)得m≈ 10。從 N （μ,σ2）中抽取現(xiàn)場樣本x1,x2, … ,xn，n= 7，令則現(xiàn)場樣本分布為 N （μ1,σ2）。

用均方根誤差RMSE（R）度量Bayes 估計精度，RMSE 計算公式如下

式中，MonteC為蒙特卡洛實驗次數(shù)；為估計值；μ為真值。

4.2 估計精度RMSE（R）實驗

運行MonteC= 60次，得到各種方法的RMSE 如下 ：RMSE1=0.2082；RMSE2=0.1793；RMSE3=0.0883，其中，RMSE1為基于現(xiàn)場樣本統(tǒng)計的均方根誤差；RMSE2為Bayes 方法的均方根誤差；RMSE3為本文方法的均方根誤差。可見，本文方法的RMSE3小于現(xiàn)有兩種主要方法，說明其估計精度高于現(xiàn)有方法。圖3 給出了不同估計方法對μ的估計結(jié)果及估計誤差，估計次數(shù)為60 次，估計誤差Error= abs（-μ），其中，為估計值， abs （ · ）為取絕對值運算，從圖3 可見，本文方法的估計精度較高。

圖3 估計結(jié)果Fig.3 Estimation result

60 次抽樣中有7 次估計誤差比Bayes 方法大，這是因為小子樣現(xiàn)場樣本估計結(jié)果非常高所致，具有隨機效應(yīng)。7 次抽樣具體估計結(jié)果見表1 所示。

表1 7 次抽樣及估計結(jié)果Tab.1 7 times test sample and estimation result

一次現(xiàn)場抽樣樣本如下：x=[1.0245, 0.7947，0.2864, 0.8804, 0.2280，0.8199, 0.9733]，則μ1=0.7153，=0.6653，μ2′ =0.5004，其中，μ2′為Bayes 估計結(jié)果，μ2′為本文方法估計結(jié)果，可見μ1′相比μ1′誤差較小，說明本文方法的有效性。

4.3 現(xiàn)場樣本量n 對估計精度的影響效應(yīng)實驗

圖4 給出了估計誤差隨現(xiàn)場抽樣樣本量n的變化過程，圖5 給出了加權(quán)系數(shù)隨現(xiàn)場抽樣樣本量n的變化規(guī)律，其中虛線為現(xiàn)場加權(quán)系數(shù)，實線為仿真加權(quán)系數(shù)。

由圖4 可見，隨著現(xiàn)場樣本量n的增加，μ1的估計精度逐漸提高，Bayes 方法和本文方法的估計精度均逐漸提高，最后逐漸逼近現(xiàn)場樣本估計精度，這是因為現(xiàn)場樣本系數(shù)k逐漸逼近1，此時估計結(jié)果μ?2主要由μ1決定。但當(dāng)n較小時，很顯然本文方法估計精度好于Bayes 方法。

圖4 估計誤差隨現(xiàn)場樣本量n 的變化規(guī)律Fig.4 Relationship curve between estimation error and flying test sample n

從圖5 可見，Bayes 方法權(quán)系數(shù)分配中，n很小時現(xiàn)場權(quán)系數(shù)非常大，導(dǎo)致仿真先驗對后驗分布參數(shù)計算貢獻很小，這樣分配系數(shù)顯然不合理，因為此時仿真先驗比現(xiàn)場樣本估計精度要高，應(yīng)當(dāng)賦予更大的權(quán)系數(shù)；而本文方法中，當(dāng)10n= 時，現(xiàn)場樣本系數(shù)與仿真先驗系數(shù)大致相當(dāng)；當(dāng)n較小時，仿真先驗權(quán)系數(shù)大于現(xiàn)場樣本權(quán)系數(shù)，后驗參數(shù)計算大部分由仿真先驗值決定。

圖5 加權(quán)系數(shù)隨現(xiàn)場樣本量n 的變化規(guī)律Fig.5 Relationship curve between weight coefficient and flying test sample n

4.4 仿真先驗對估計精度的影響效應(yīng)實驗

用μ0=0.2:0.02:0.8模擬不同精度（仿真先驗精度dμ=-0.2：0.02：0.4）的先驗分布，其余場景條件不變進行實驗。

圖6 給出了估計誤差與不同精度仿真先驗0μ、現(xiàn)場樣本量n的變化曲面。從圖6 可見，兩種方法的估計精度隨著現(xiàn)場樣本量n增大均逐漸提高；本文方法的估計精度高于Bayes 方法，尤其在現(xiàn)場樣本量n較小時，估計精度明顯好于Bayes 方法。

圖7 給出了等效樣本m與不同精度仿真先驗μ0、現(xiàn)場樣本量n的變化曲面。從圖7 可見，當(dāng)μ0=0.4時，等效樣本m最大，這是因為此時μ=μ0，其中，μ為真值。隨著μ0相對μ增大或減小，m均減小。

圖7 等效樣本m 與仿真先驗誤差 μ0、現(xiàn)場樣本量n 的關(guān)系曲面Fig.7 Relationship curve between equivalent sample m and simulation prior, flying test sample n

圖8 給出了現(xiàn)場樣本權(quán)重k與不同精度仿真先驗μ0、現(xiàn)場樣本量n的變化曲面。

圖8 權(quán)系數(shù)k 與仿真先驗誤差 μ0、現(xiàn)場樣本量n 的關(guān)系曲面Fig.8 Relationship curve between weight coefficient k and simulation prior, flying test sample n

從圖8 可見，Bayes 方法對仿真先驗μ0不敏感，但隨著現(xiàn)場樣本量n增大k急劇增大，此時現(xiàn)場樣本在后驗分布參數(shù)計算中起主要作用；本文方法在μ0=0.4時k最小，這是因為此時μ=μ0，仿真先驗分布與真實分布相同，仿真樣本相當(dāng)于實際抽樣樣本；隨著μ0相對μ增大或減小，k逐漸增大，這是因為仿真先驗不精確時，應(yīng)增大現(xiàn)場樣本權(quán)重；隨著現(xiàn)場樣本量n增大，兩種方法中k均逐漸增大。

4.5 仿真可信度C 對估計精度的影響效應(yīng)實驗

用dμ表示仿真先驗誤差，度量仿真可信度C評估誤差；用Δμ表示仿真先驗誤差評估精度，其余場景條件不變進行實驗。

圖9 給出了仿真先驗誤差dμ引起的Bayes 估計誤差曲面圖。由圖9 可見，隨著dμ增大，估計精度下降，但n能夠在一定程度上彌補這種誤差。圖10給出了仿真先驗誤差dμ引起的均方根誤差RMSE。由圖10 可見，隨著dμ增大，RMSE 增大。由圖9、10 可見，要保證一定精度，就必須精確表征仿真先驗。

圖9 估計誤差與dμ、n 的關(guān)系曲面Fig.9 Relationship curve between estimation error,dμ and n

圖10 RMSE 與dμ、n 的關(guān)系曲面Fig.10 Relationship curve between RMSE,dμ and n

圖11 給出了等效樣本計算誤差dm與仿真先驗誤差dμ、現(xiàn)場樣本n的關(guān)系；圖12 給出了現(xiàn)場樣本權(quán)系數(shù)計算誤差dk與仿真先驗誤差dμ、現(xiàn)場樣本n的關(guān)系；圖13 給出了命中概率評估誤差dP與仿真先驗誤差dμ、現(xiàn)場樣本n的關(guān)系。由圖11-13 可見，隨著dμ增大，等效樣本誤差dm、權(quán)系數(shù)計算誤差dk、命中概率評估誤差dP均增大（同樣的，減小dμ，即提高仿真系統(tǒng)可信度C，可以提高命中概率評估精度），但隨著現(xiàn)場試驗樣本n增加，dP逐漸減小。

圖11 等效樣本誤差dm 與dμ、n 的關(guān)系曲面Fig.11 Relationship curve between ES dm, dμ and n

圖12 權(quán)系數(shù)計算誤差dk 與dμ、n 的關(guān)系曲面Fig.12 Relationship between weight coefficient calculation error dk, dμ and n

圖13 命中概率估計誤差dP 與dμ、n 的關(guān)系曲面Fig.13 Relationship curve between hit probability evaluationerror dP, dμ and n

圖14 給出了仿真先驗評估誤差為Δμ時與仿真先驗評估誤差Δμ= 0時（此時表示能夠精確評估仿真先驗）的命中概率評估誤差之差ΔP與仿真先驗評估誤差Δμ、現(xiàn)場樣本n的關(guān)系。由圖14 可見，隨著仿真先驗評估誤差Δμ減小，能夠提高命中概率評估精度，這說明提高仿真系統(tǒng)可信度C評估精度，與增加現(xiàn)場試驗樣本量n、提高仿真系統(tǒng)可信度C一樣，在一定程度上可以降低試驗評估誤差。

圖14 命中概率評估誤差之差ΔP 與Δμ 、n 的關(guān)系曲面Fig.14 Relationship curve between the errorΔPof hit probability evaluation error, Δμ and n

5 工程應(yīng)用案例

使用文獻[9]給出的工程案例數(shù)據(jù)進行應(yīng)用對比分析。案例場景如下：

案例1[9]在武器落點精度試驗中，6 個實際縱向落點偏差樣本為（單位：m）：x=[0.25， 9.3， 5.5， 4.0， 1.1， 2.2]；補充樣本為x0=[10.0， 8.1， 13.1， 3.3， 6.5， 4.6， 4.8， -10.6， -8.8， -10.7]；這里，補充樣本服從的分布與真實試驗的分布有一定差異。采用各種方法得到的估計結(jié)果見表2 所示。

表2 估計結(jié)果（單位：m）Tab.2 Estimation result（Unit: m）

案例2[9]在武器落點精度試驗中，6 個實際縱向落點偏差樣本為（單位：m）：x= [0.77， 5.60， 14.64， -9.79， 17.6， -12.1]；補充樣本為x0=[-11.32， -1.65， 12.97， -27.91， -10.88， 8.32， -14.95， 3.61， -5.03， 0.28]；這里補充樣本服從的分布與真實試驗的分布是相同的，都是 N （0,102）。采用各種方法得到的估計結(jié)果和表3 所示。由表3 可見，本文方法μ? 估計精度較好，使用式(2)估計方差精度較差。

表3 估計結(jié)果（單位：m）Tab.3 Estimation result（Unit: m）

6 結(jié) 論

本文針對Bayes 方法應(yīng)用于仿真數(shù)據(jù)和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)融合評估時存在的仿真數(shù)據(jù)容易“淹沒”現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)、估計結(jié)果不是最優(yōu)估計值等問題，提出了一種基于等效樣本和實仿融合的現(xiàn)場小子樣試驗制導(dǎo)精度評估方法。該方法為了提高融合評估精度和可靠度，在仿真可信度C、統(tǒng)計理論和仿真評估精度約束下，將仿真驗前信息折算成等評估精度下的飛行樣本量，精確度量了仿真先驗信息精度，并將其引入Bayes 融合框架實現(xiàn)了對后驗分布參數(shù)的精確估計，從而解決了Bayes 方法直接將仿真先驗分布方差作為度量仿真先驗信息的精度參數(shù)參與計算后驗加權(quán)系數(shù)導(dǎo)致的估計精度不高、先驗信息失真時估計精度甚至下降等問題。根據(jù)kalman 濾波收斂性理論證明了現(xiàn)場樣本權(quán)系數(shù)計算的最優(yōu)性，并給出了估計誤差模型。通過示例對改進方法與傳統(tǒng)方法的估計性能進行了比較，驗證了本文方法的有效性和正確性。