高考圓錐曲線離心率問題的基本解析

肖琳婧

(云南師范大學數學學院 650000)

一、考題分析

離心率是圓錐曲線的一個重要基本量，求圓錐曲線離心率的值或范圍的問題也是圓錐曲線中的重點，由于這類問題綜合性比較強，能夠更好地體現學生的思維能力以及直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養，因此備受高考命題者的關注.

分析2019年高考試題對圓錐曲線知識點考查的情況，全國卷很明顯加強了對圓錐曲線的考查力度，試題的題序都在后移，如選擇題或填空題文科Ⅰ、Ⅱ卷在第12題，理科Ⅰ卷在第16題.命題者將圓錐曲線和直線結合在一起，普遍把解析幾何作為壓軸題來考查，改變了傳統以函數與導數為壓軸題的做法.無論是全國統一命題還是省自主命題，選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的定義(第一定義、第二定義)、標準方程和簡單的幾何性質，而解答題的綜合性比較強，切入容易深入難.根據對2019年考題的側重分析，結合新課程的教學理念，預測2020年高考命題者還是會將圓錐曲線的考題放在壓軸位置.

二、例題解析

圖1

注：用幾何關系和橢圓的定義得到a，c的關系，進而得到離心率.

圖2

注：用代數關系(向量的坐標表示)找到a，c的關系，進而得到離心率.

圖3

解取左焦點F0，連接F0A,F0B，則四邊形AFBF0是平行四邊形.

因為|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF0|=2a=4，即a=2.

注：先求得a，再利用點到直線的距離公式得到b的取值范圍，進而得到離心率的取值范圍.

三、基本策略

1.求橢圓離心率或取值范圍的方法

2.求離心率值的常用方法

(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2=c2-a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.

四、解題啟示

縱觀解析幾何試題，題目中一般未給出圖形，解題要求解題者正確畫出圖形，從圖形中推理出幾何或者代數關系，利用幾何直觀助力問題思考，不斷提高解題者邏輯推理和直觀想象的能力.圓錐曲線的定義是圓錐曲線的根源，某些問題的突破口就是回歸定義，如例1、例3運用了橢圓的定義.解析幾何研究的是幾何問題，研究過程中總離不開圖形，同時在解決問題時要注意是否能夠靈活運用向量、平面幾何、三角函數等知識簡化幾何關系和代數運算，綜合考慮問題，養成良好的思維習慣.

如何在解題過程中落實學生的核心素養，這給一線教師的教學也提出了較高的要求.學生在學習圓錐曲線離心率的過程中一是要具備定義意識，定義是對數學問題解決的原動力，所以圓錐曲線的定義，也是對圓錐曲線本質屬性的真實反饋，是圓錐曲線的靈魂所在，在解決問題過程中，可以對其定義進行靈活運用.二是方程意識，方程思想在解決數學問題時，尋找已知與未知之間的等量關系，構造方程或方程組，通過求解方程完成未知向已知的轉化，其在圓錐曲線離心率問題研究的過程中也發揮了重要的作用.因為有些幾何問題表面上看起來與代數問題無關，但是要利用代數方法——列方程來解決，學生在求解過程中要善于挖掘隱含條件，具備方程的思想意識.三是平面幾何意識，在對幾何問題進行解析的過程中，需要將數量關系作為研究基礎，這種方式不僅可以為學生進行思維的簡化，同時還可以對解題過程進行優化.培養學生的數學意識，有助于對學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養的落實.