對(duì)2020年新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題的解法探究

劉彥永

(吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué) 130000)

2020年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

一、試題分析

本題也是2020年高考全國1卷理科第20題，考查了曲線的方程和圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題.問題由淺入深，對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高.考查學(xué)生的推理論證能力和代數(shù)運(yùn)算能力.考查層次分明、區(qū)分度較高，能使學(xué)生充分展示理性思維的廣度和深度和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、解法探究

圖1

本題第(2)問的解法很多，不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度，要求學(xué)生要有一種勇于探索、敢于實(shí)踐的精神.

解析(1)根據(jù)題意作圖如下：

下面對(duì)第二問深入探討：

解法1設(shè)點(diǎn)表線解決問題

(2)證明：設(shè)P(6,t)，則直線AP的方程為

整理得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0，

點(diǎn)評(píng)對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)問題，設(shè)該直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，求出相應(yīng)的直線，然后再說明直線過定點(diǎn).

解法2 設(shè)點(diǎn)設(shè)線解決問題

(*)

整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0，

即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0，

點(diǎn)評(píng)解法2巧妙利用坐標(biāo)的平方，再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上處理問題，這就是曲線代換，2011年四川理科高考圓錐曲線題就可以用曲線代換解決.反設(shè)直線也避免了討論斜率是否存的情況，事實(shí)上，先討論斜率不存在，再設(shè)直線CD方程為y=kx+m解決問題也會(huì)有巧妙處理技巧，在此不贅述.

解法3整體法解決問題

同解法2可知，2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)

(**)

整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，結(jié)合(**)式有

(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0，

點(diǎn)評(píng)解法3利用韋達(dá)定理很難處理，然而利用(**)式進(jìn)行替換，利用整體法就很巧妙地解決了問題.這種代數(shù)變形的技巧需要積累多了才能用得靈活.

解法4先猜后證解決問題

證明：根據(jù)已知條件的特征和橢圓的對(duì)稱性，可以猜想到該定點(diǎn)一定在x軸上.

當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，得t2=3，

解法5 參數(shù)方程解決問題

設(shè)P(6,t)、C(3cosα,sinα)、D(3cosβ,sinβ).

點(diǎn)評(píng)利用參數(shù)方程巧妙地用一個(gè)參數(shù)表示出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)公式快速解決問題.2010年陜西、遼寧、寧夏高考圓錐曲線解答題均可用參數(shù)方程解決.

解法6 極點(diǎn)極線解決問題

點(diǎn)評(píng)基于高等數(shù)學(xué)的極點(diǎn)和極線知識(shí)命題是命題人的一個(gè)常見思路，這在全國各地的考題中屢見不鮮.盡管此法簡(jiǎn)潔，但不宜作為解答題的解法，也不建議教師突出本解法而沖淡常規(guī)解法.值得一提的是本題的第(2)問與2010年江蘇高考試題18題第(3)問本質(zhì)完全一樣，幾乎就是“撞衫”題.

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就要用變化的量表示目標(biāo)量，目標(biāo)量不受變化的量所影響的那個(gè)點(diǎn)就是要求的定點(diǎn).化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示目標(biāo)量，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

圓錐曲線解答題主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力，因此在備考過程中要培養(yǎng)學(xué)生敢想、會(huì)算、有信心能算對(duì).這就要求教師首先對(duì)試題的解法深入的探究，然后在教學(xué)中踐行所掌握的知識(shí)技能和思想方法，最后使學(xué)生的思維更廣闊、思想更深刻.