例談構造函數解一類導數題

李 俊

(云南省玉溪市江川區第一中學 652600)

近幾年各地高考數學試卷中，許多涉及函數選擇題或填空題的題目，可采用構造函數法進行解答.所謂構造函數法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關的函數，通過觀察分析，借助函數本身的性質，如單調性或利用運算結果，解決原問題的方法.簡而言之就是構造函數解答問題.如何合理地構造函數就成為了問題的關鍵，這里我們就這方面問題探討一下.

例1已知函數f(x)的定義域為R，f(-1)=2，且對任意x∈R，都有f′(x)>2，則f(x)>2x+4的解集為( ).

A.(-1,1) B.(-1，+∞)

C.(-∞，-1) D.(-∞，+∞)

解析構造函數h(x)=f(x)-2x-4，所以h′(x)=f′(x)-2，由于對任意x∈R，f′(x)>2，所以h′(x)=f′(x)-2>0恒成立，所以h(x)=f(x)-2x-4是R上的增函數，又由于h(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0，所以h(x)=f(x)-2x-4>0，即f(x)>2x+4的解集為(-1，+∞)，故選B.

點評對于f′(x)>a(a≠0)，可構造函數h(x)=f(x)-ax.

點評對于f′(x)+f(x)>0，可構造函數h(x)=exf(x).

例3已知f(x)>0為f(x)<0上的可導函數，且f(x)>x，均有f(x)

A.e2016f(-2016)e2016f(0)

B.e2016f(-2016)

C.e2016f(-2016)>f(0)，f(2016)>e2016f(0)

D.e2016f(-2016)>f(0)，f(2016)

例4若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf′(x)+f(x)>0恒成立，對任意正數a、b，若a

A.af(b)

C.af(a)

解析由已知xf′(x)+f(x)>0可構造函數h(x)=xf(x)，則h′(x)=xf′(x)+f(x)>0，從而h(x)在R上為增函數.因為a

點評對于xf′(x)+f(x)>0，可構造函數h(x)=xf(x).

例5已知f(x)是定義在(0，+∞)上的非負可導函數，且滿足xf′(x)-f(x)≤0，對任意正數a、b，若a

A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)

C.af(a)≤bf(b) D.bf(b)≤af(a)

故選A.

例6設函數f(x)在R上的導函數為f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，下面不等式恒成立的是( ).

A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>xD.f(x)

解析由已知，首先令x=0得f(x)，排除B，D.

令h(x)=x2f(x)，則h′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]

綜上f(x)>0,故選A.

點評對于xf′(x)+nf(x)≥0，可構造函數h(x)=xnf(x).

例7設函數f(x)是(0,+∞)上的非負可導函數，且xf′(x)-2f(x)>0，下列不等式成立的是( ).

例8設f(x)、g(x)是R上的可導函數，f′(x)、g′(x)分別為f(x)、g(x)的導函數，且滿足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，則當a

A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

解析構造函數h(x)=f(x)g(x)，則h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，所以函數h(x)=f(x)g(x)在R上為減函數，因為xf(b)g(b)，故選C.

點評對于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，構造函數h(x)=f(x)g(x).

例9設函數f(x),g(x)在[a,b]上均可導,且f′(x)

A.f(x)>g(x) B.f(x)

C.f(x)+g(a)

解析構造函數h(x)=f(x)-g(x)，則h′(x)=f′(x)-g′(x)<0，所以函數h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上為減函數，因為af(x)-g(x)，故f(x)+g(a)

點評對于f′(x)-g′(x)>0或f′(x)+g′(x)>0，構造函數h(x)=f(x)-g(x)或h(x)=f(x)+g(x).

在平時的教學中，我們要勤于積累，善于總結，熟練掌握導數四則運算，通過對題目的分析，根據題目的不同形式在解題中合理巧妙地構造函數，結合導數這一工具進行合理計算，使復雜的問題轉化成熟悉而簡單的問題，進而找到問題解決的突破口!

模型總結關系式為“加”型

(1)f′(x)+f(x)≥0,構造h(x)=exf(x)，則h′(x)=[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)].

(2)xf′(x)+f(x)≥0,構造h(x)=xf(x)，則h′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x).

(3)xf′(x)+nf(x)≥0,構造h(x)=xnf(x)，則h′(x)=[xnf(x)]′=xnf′(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)].

關系式為“減”型