圓錐曲線參數范圍類題型求解策略

韋 能

(廣西欽州市第二中學 535099)

圍繞圓錐曲線參數范圍求解目標，結合常見參數范圍求解題型，本文從不等關系建立角度出發，將此類題型細分為四大類：題設條件類不等關系、圓錐曲線位置不等關系、圓錐曲線范圍類不等關系、基本判別式類不等關系.通過對上述四類圓錐曲線參數類題型求解的典型案例分析，從解題技巧上幫助學生掌握求解方法，從而實現靈活應用.

一、利用題設條件建立不等關系

利用題設條件求解圓錐曲線參數范圍類題型屬于較為直接和基礎類的題型，通過對題設條件中已有的不等關系進行直接應用，正向構建含參不等關系.在此類題型的求解過程中，需要緊密關注對應圓錐曲線的類型及取值范圍，并結合圓錐曲線的定義判定范圍.

點評利用題設條件建立不等式，求解圓錐曲線不等關系類題型屬于直接正向求解思維的應用.在實際求解過程中，切忌疏忽大意，必須緊密留意圓錐曲線自身的范圍，避免多解問題的出現.

二、利用位置關系建立不等關系

在圓錐曲線中利用位置關系建立不等式，需要深入挖掘潛在信息，建立圓錐曲線相關的目標函數與參數之間的不等關系，才能實現此類題型的求解.

解析設兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)為橢圓C上關于直線l對稱的兩點，點M(x,y)為弦AB的中點.由于點A、B均在橢圓C上，故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12，

聯立兩式得到關系式

3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

簡化后得到

結合點M與點A、B之間的位置關系可知，

x1+x2=2x、y1+y2=2y，

即是3x-y=0,再與y=4x+m

聯立方程組得到交點M(-m,-3m).由于點M在橢圓內，得到

點評圓錐曲線位置關系類不等關系題型的求解，可以概括為先將已知條件中涉及的基本量轉化為圓錐曲線位置關系，本題再利用點與圓錐曲線的位置關系：點在圓錐曲線內、圓錐曲線上及圓錐曲線外，得到不等關系，進而判定參數范圍，順利實現求解.

三、利用曲線范圍建立不等關系

圓錐曲線自身范圍具備多種特征，針對橢圓、雙曲線等圓錐曲線，其定義域、值域、焦點、準線等等，都是此類題型常用的位置關系，求解此類題型的關鍵在于建立參數與曲線位置之間的不等關系.

解析設點P(x,y)，由于點P位橢圓上的動點，故有-4≤x≤4.

化簡后得到

結合-4≤x≤4,最終可知m≥1.

點評利用圓錐曲線范圍建立不等關系求解參數范圍時，關鍵在于對圓錐曲線幾何特征的應用，這就要求學生必須熟練掌握圓錐曲線的基本特性，尤其是位置關系與函數表達式之間的轉化，只有建立相關聯系后才能準確判定參數范圍.

四、利用判別式建立不等關系

利用判別式確定不等關系類題型常出現于直線與圓錐曲線相交的題型中，通過直線方程與圓錐曲線方程聯立方程組，進而得到一元二次方程，最后結合判別式中所含有的參數不等式進行求解.

再將直線l的表達式帶入橢圓C的表達式，得到

此時利用判別式定理得到

點評當題中已知條件為直線與圓錐曲線之間的位置關系時，此時容易聯想到聯立直線與圓錐曲線之間的方程組，最終得到一個一元二次方程形式的含參表達式，結合判別式或基本不等式即可實現求解.

總之，求解圓錐曲線參數范圍類題型，最關鍵之處在于不等式關系的建立，再結合已知條件，利用圓錐曲線性質、幾何特征、判別式或基本不等式等方式，從而構建含參不等關系，最終實現參數范圍的判定.