從“乘1法”到待定系數法

謝賢祖

(廣東省汕尾市華南師大附中汕尾學校 516600)

一、問題起源

題4(造1法)已知a,b∈R+,a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

評注這道題考查得更加隱蔽，沒有直接給出條件“1”，所以需要我們主動利用sin2x+cos2x=1來幫忙解題，最終使基本不等式得以使用，值得注意的是要驗證取等條件，確保使用兩次基本不等式后等號可以同時成立.下面再看一個“加1法”的升級版.

二、擴展延伸

由前面的例題展示，可以發現“用1”法的具體使用方向可以是：加、減、乘、除、代、造，尤其是“加n法”，其實就是待定系數版的基本不等式，更是解決競賽不等式的利器.在遇到用基本不等式求最值的陌生題目，條件有出現“1”時，我們都可以嘗試一下這些解題方向，不應該只局限于“乘1法”，遇到困難再切換方法.其實“1”可以去到目標式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，都可以嘗試一下，下面繼續舉例說明.

評注正如前文總結，“1”可以去到目標式子里的任何位置，只要對我們的解題有簡化作用，如果一種方法遇到困難，我們需要繼續調整策略，直至解題成功.下面再看一個用“代1法”來分析不等式的例子.

=0.

評注“1”可以去到目標式子里的任何位置，把“1”代入不等式中的一次項是為了實現“齊次化”，使得不等式的各項次數統一，容易化簡.

受到前面題6的啟發，可以考慮使用“加n法”.

原式

三、方法升級

前面的例題，筆者更多的是展示“加n法”，而且都是往縮小的方向使用平均值不等式，其實待定系數法的思想(也叫“平衡系數法”)在不等式中的應用很廣泛，不應該只局限于前文所展示的這些方法.下面舉例說明，繼續發散思維，希望對讀者有所幫助.

待定系數法還可以用到柯西不等式中.設x,y>0且x2+y2=1，

由柯西不等式得

≥a+ax+by=(1+x)a+yb

為了能夠使用條件2a+b=2，使得(1+x)a+yb為定值，令(1+x):y=2:1，結合x2+y2=1，

四、總結反思

通過前面這一系列從易到難的例題展示，我們可以總結“用1法”的具體使用方向是：加、減、乘、除、代、造等等，還有待定系數法的作用更是強大，可以為我們解決最值問題指明方向，但一定要小心確認一下取等條件是否合理，以上的每道例題筆者都親自計算確認無誤，限于篇幅，驗證取等條件的過程被筆者舍去，讀者可以自行驗證.