離散數學課程中應用案例的設計

何睿

（重慶工程學院 軟件學院，重慶 400000）

離散數學作為計算類專業的核心課程，旨在讓學生理解并掌握基本理論與方法，培養學生的抽象能力與邏輯思維能力。通過對離散數學的學習，學生可以使用離散數學作為工具，對軟件工程學科問題進行描述、分析、研究，達到對軟件工程專業領域相關問題進行離散建模求解的能力目標[1]。

國際工程教育認證是推動新工科建設的重要手段。國際工程教育認證標準對學生的“工程知識”提出了“學以致用”的要求。包括兩個方面，其一，學生必須具備解決復雜工程問題所需數學、自然科學、工程基礎和專業知識；其二，能夠將這些知識用于解決復雜工程問題。前者是對知識結構的要求，后者是對知識運用的要求[2]。2020版的國際工程教育認證手冊中，要求舉例說明運用數學知識解決復雜工程問題的培養環節，提高了運用數學知識的要求。

一、問題的提出

目前，離散數學課程的教學理念仍側重于數學理論的推導演繹，注重訓練學生的邏輯能力、抽象能力[3]，缺少在實際生活或專業領域的應用案例，對學生運用知識解決復雜工程問題的能力培養不夠，導致學生學而不知其所用，產生“離散數學沒有用”的疑惑。

按照國際工程教育的理念和要求，在傳授理論知識的基礎上，還需要引入軟件工程領域問題，尤其是添加以專業背景的場景案例，并運用離散數學的知識分析問題，提出解決方案。

在離散數學課程中，不僅培養學生體會數學的抽象、推理、邏輯能力，而且能夠學以致用，與后續專業課程建立聯系，打通數學與軟件專業課程的任督二脈。

根據適合的應用場景設計教學案例，是實現這個課程目標的關鍵。下面以離散數學中的特征函數為例，討論應用案例的設計思路。

二、應用案例設計

離散數學中討論的函數都是離散函數，主要關注離散結構之間的函數關系。它是定義在離散集合上的特殊關系，把一個離散對象變換成另一個離散的對象。離散函數是開關理論、自動機理論和可計算理論的基礎，在計算機、軟件工程等學科及應用領域中有重要的意義[4]。

特征函數是離散函數中的教學內容，將離散的對象映射到0或1，在知識層面非常簡單，但能夠解決很多復雜的問題。例如數據處理中，對高維數據降維，得到易處理的特征向量，為數據運算提供支撐；在集合的交、并等運算中，避免數值的多樣性導致數值的比較變得復雜的情況。

（一）離散數學中的特征函數

特征函數直接定義在集合上，映射到0、1兩個值，很容易與計算機中的二進制聯系，因此，選擇集合的交、并、補等運算作為特征函數的應用場景，并按照分析問題、提出解決方案、編程實現的思路設計教學案例。

（二）分析問題：運用特征函數解決集合運算

可將 集合運算表示為公式(8)、(9)。

按照上述思路，很容易使用特征函數表示集合的其他運算。

（三）解決方案：設計算法

按照表2.1所示的特征函數映射關系，可設計出特征函數的算法，特征函數XA的偽代碼如下所示。

表2.1 特征函數XA和XB的映射表

算法1：求特征函數

按照上述方法，也可設計出計算特征函數的算法。

遍歷全集中的所有元素，并使用作為條件判當元素是否為中的元素，設計出求交集的算法。

算法2：求交集

按照相同的方法，可設計求的算法。

算法3：求并集

按照上述思路，很容易設計出其它集合運算的算法，這部分內容可作為學生練習。

（四）編程實現

在計算機中，有很多方法可表示和存儲集合。為了簡單方便，可選數組。

const int n = 15;

int E[15]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};

int A[]={1,3,5,7,9,11,13,15};

int B[]={1,2,5,8,9,10,13};

也可使用數組存儲如表2.1所示的特征函數映射關系。

int Xa[15], Xb[15];

在計算特征函數的算法中，包含了集合的屬于運算，可先編寫一個函數實現此運算，其代碼如下。

根據計算特征函數的算法，可編寫出計算特征函數的程序，其代碼如下。

根據計算集合運算的算法，可編寫出相應的程序，如計算的代碼如下。

（五）運用特征函數的局限性

上述解決方案中，假設了母集是已知的，如果不知道母集的元素，怎樣設計計算集合運算的解決方案？實際上，在不知道母集的情況下，運用特征函數解決集合的運算問題，集合的定義更加復雜。通過上述提問，作為學術拓展練習，讓學生體會到運用特征函數解決工程問題的局限性，明確方法的適用場景。同時，將教學內容延展至算法分析與設計的內容，與其他專業課程緊密相連。

三、總結

本文結合國際工程教育認證對新工科建設方向標準，提出在原離散數學課程的教學方法中，添加專業領域或生活實際的案例。為與后續專業課建立練習，教學案例的思路按照分析問題、提出解決方案、編程實現進行設計。

以離散數學的特征函數解決集合的運算為例，分析集合運算，以特征函數為解決方案，分析設計算法，并提供了使用C語言編程實現算法的關鍵代碼。最后討論了特征函數使用的局限性。