基于能量耦合的船舶起重機消擺控制

張 珂，張海峰，佟圣皓，石懷濤，張義星

(沈陽建筑大學機械工程學院，沈陽 110168)

船舶起重機是在海上環境中執行運輸作業的一種特殊起重機，主要用于艦船間貨物的運輸轉移、海上補給、水下作業設備的投放與回收等重要任務。實際工作過程中在海浪橫搖與船低沉降的影響下，船舶起重機系統的控制目標是準確高效地定位有效載荷并減小負載擺動。然而，在惡劣海況下船舶起重機在運轉過程中由于慣性和外界干擾會產生較大的有效載荷擺動，可能會對周圍的人或貨物造成嚴重的影響。因此，從理論價值和實際應用兩方面來看，研究船舶起重機的有效控制方法具有重要意義。

通過對傳統(陸地固定式)起重機[1-5]研究，發現傳統起重機的支撐底座是固定的，它們是在慣性(地球)坐標系內工作的，通過在慣性坐標系內對其動力學建模，并在此基礎上應用運動軌跡規劃、部分反饋線性化、能量(無源)法、智能控制等方法設計起重機欠驅動防擺控制器，從而使負載精確吊運并且能夠有效抑制負載擺動。而船舶起重機底座是裝在船上的，其運動受海浪和海流干擾，因此在非慣性坐標系中工作。除了船舶起重機具有復雜的動力學特性外，由船舶運動引起的海浪和洋流可能包含接近起重機系統固有頻率的能量，這很容易引起貨物擺動，甚至導致意外的共振效應[6]。由此可見，采用現有的針對陸地式起重機的控制方法來解決船舶起重機系統的控制問題是有一定局限的。此外，如前所述，船載起重機通常在惡劣的海況下工作，其中存在各種匹配和不匹配干擾(例如海浪)，這也給它們的控制問題增加了更多的困難。

到目前為止，船舶起重機對低擺動的有效載荷精確定位控制仍然是一個相當具有挑戰的問題。為此，很多專家學者嘗試了許多方法來改進這種系統的控制方法。例如，Lu等[7]提出了兩種考慮船舶橫搖干擾的船舶起重機防搖非線性控制器，這兩種控制器包括一個全狀態反饋控制器和一個輸出反饋控制器。此外，在處理一些未知的海浪擾動時，Qian等[8]設計了一種非線性自適應控制，該控制器對持續擾動和未知參數具有良好的魯棒性。對于靈活的海上設施，通過分析船舶動力學，He等[9]提出了一種魯棒的自適應邊界控制來實現精準定位操作。通過構造能量存儲函數，Sun等[10]為船舶起重機提供了完整的基于李雅普諾夫的非線性防擺控制方法。此外，對于一些有效載荷懸掛在船舶起重船的系統，Hannan等[11]研究了非線性動態響應，同時提出了一種模糊滑模控制方法[12]。然而，通過查閱和學習上述船舶起重機控制方法，發現有些問題仍未解決。

(1)大部分船舶起重機的控制器設計和穩定性分析是基于簡化后的動力學模型進行的。而由于復雜的工作場景，這可能會使系統的狀態變量因為外部干擾而未達到平衡點，從而降低了所用控制方法的控制性能，甚至導致系統不穩定。

(2)大多數船舶起重機在建模過程中，只考慮了海浪或海風對其造成的橫搖擺角，而未考慮船底的垂直升沉位移，而且在建模過程中通常將整個動力學模型分解為起重機相關部分和擾動相關部分，這使得對整個系統分析變得十分麻煩，并給控制器設計和穩定性分析帶來很多困難。

(3)現有的控制方法幾乎都對外部擾動敏感，這對于船舶起重機系統來說缺乏魯棒性。

針對以上問題，現提出一種基于能量分析的海上船舶起重機非線性耦合控制，并證明系統在平衡點的漸近穩定性，同時對各種運輸任務實現控制性能。具體來說，通過引入增強系統狀態和干擾之間耦合的復合型誤差信號，將海上船舶起重機系統動力學模型轉換。在此基礎上，通過能量反映和描述動態系統的狀態選擇合適的李雅普諾夫候選函數，設計基于能量的控制器，并應用李雅普諾夫(Lyapunov)穩定性定理和拉薩爾(Lasalle)不變性原理證明了閉環系統平衡點的收斂性。最后，為了說明所提出控制方法的可行性進行了仿真模擬實驗，以證明有效性以及對外部干擾的魯棒性。

1 動力學建模及模型轉換

1.1 動力學模型及控制目標

船舶起重機在實際運輸過程中，控制問題可以描述為在海風和海浪的外部干擾下，載荷的精確定位以及有效防擺。具體來說，船舶起重機可分為陸地固定坐標系和船舶固定坐標系兩個坐標系，如圖1所示。

從圖1中可以看出，在慣性坐標系中，軸線分別垂直于陸地與平行于地面；而在非慣性坐標系中，即船舶坐標系，軸線分別垂直于船舷并與甲板平行。考慮到船舶運動時受到的干擾，二維海上船舶起重機的動力學可以用公式表示為

圖1 船舶起重機示意圖

Fx-frx+mtgSα+mpgSα-fLx

(1)

(2)

此外，作用在各子系統上的擾動慣性力fLx、fθ表達形式為

(3)

(4)

式中參數具體意義如表1所示。

表1 系統參數物理意義

主要控制目標是以較小的負載擺動實現精確定位，首先在設計控制器之前，可通過幾何關系將負載目標位置xd描述為

xd=Lxd+lSθd

(5)

式(5)中：Lxd和θd分別表示小車和擺角的目標位置，在實際情況中負載的最終擺角θd=α(t)，因此系統的控制目標可轉化為

Lxd=xd-lSα

(6)

θd=α(t)

(7)

由此，系統的小車位移誤差信號e1和負載擺角誤差信號e2可以定義為

(8)

通過以上分析，海上船舶起重機的基本控制任務可以概括如下。

(1)將有效載荷從初始位置調節到目標位置，即陸地坐標系中xd對應于系統狀態的目標值[Lxd,θd]T。

(2)抑制陸地坐標系中有效載荷的擺動(即貨物到達后的擺動)。

(3)在有限時間內消除外部海風和海浪擾動引起的影響。

更為具體地說，為了將船舶起重機系統穩定在期望的平衡點，主要的控制目標可表示為

(9)

1.2 動力學模型轉換

將式(3)和式(4)分別代入原始動力學模型[式(1)和式(2)]中，經過數學運算可得

(10)

(11)

基于式(10)、式(11)，為了增強系統的耦合以便隨后的控制器設計，定義小車位移和負載擺角的耦合型誤差信號為

(12)

式(12)中：λα、λβ∈R+表示正的常數增益；φ(?)是關于船舶搖晃角α(t)和船舶垂直升沉位移z(t)的待定函數；φ(e2)關于負載擺動誤差的待定函數。

將定義的誤差信號[式(12)]對時間求導可以得到

(13)

將定義的誤差信號[式(12)]對時間積分可以得到

(14)

將[式(12)～式(14)]代入到式(10)、式(11)中，動力學模型可改寫為

Fx-frx+mpgSα+mpgSα-

(15)

(16)

為了方便分析，基于式(15)和式(16)可將船舶起重機耦合模型寫成矩陣形式，即

(17)

式(17)中：系統的耦合誤差向量為

ξ(t)=[ξ1(t)ξ2(t)]T∈R2；

系統慣性矩陣M∈R2×2和向心柯式力矩陣V∈R2×2分別為

F∈R2表示系統控制輸入，

式中：Fx為系統小車驅動力；摩擦力矢量fr∈R2可描述為

此外，船舶起重機的重力矩陣G∈R2以及作用于各子系統的擾動慣性力F*∈R2分別為

轉換后模型與其他歐拉-拉格朗日系統類似，也適用于以下屬性和假設。

性質1系統慣性矩陣M(ξ)為正定矩陣。

假設1負載的擺角(與豎直方向的夾角)始終保持在±π/2之間，即

(18)

也就是通過提出一個適當的控制器使系統從任意初始狀態，在附加擾動fLx、fθ存在的情況下，有效地消除有效載荷擺角以及使小車精準定位。

2 控制器設計及穩定性分析

2.1 控制器設計

船舶起重機系統的機械能Em可表示為

(19)

基于機械能函數形式[式(19)]，構造類能量標量函數(最終Lyapunov函數的一部分)為

(20)

將構造的類能量標量函數[式(20)]對時間求導后有

(21)

將式(17)代入式(21)中可得到

(22)

基于式(22)，設計基于能量控制器為

(23)

式(23)中：kξ、kp∈R+表示正的常數增益。

結合式(22)，為了減小閉環系統能量，可以定義等式

(24)

由式(24)可推出構建耦合誤差式(12)中未確定的函數,即

(25)

將式(24)、式(25)代入到式(23)中，可得到最終控制器為

(26)

2.2 穩定性分析

證明為證明該定理，設定基于類能量函數[式(20)]的正定Lyapunov函數[式(27)]為

(27)

求式(27)的導數，并將控制器[式(26)]以及式(22)、式(24)代入，得到

(28)

整理后可得到

(29)

根據[式(29)]，容易得到在Lyapunov定義下，在平衡點周圍閉環系統狀態是穩定的，即

ξ1(t),ξ2(t)∈L∞；

進一步通過式(12)，可以得到

同樣，通過式(26)、式(27)可以得到

為了便于閉環系統的進一步分析定義如下集合S，并定義Λ為S中最大不變集。

(30)

從式(28)、式(30)中可以推導得

將得到的等式關系代入到式(17)中，并在集合Λ中利用式(8)和式(13)、式(14)可得到

gSθ-α=0。

經整理后可得

e2=θ-α=0，

至此，不難證出最大不變集Λ中只包含閉環系統的平衡點，即

最后應用LaSalle不變性原理，定理1中的結論可被證得，即

綜上所述，證明了所設計的控制器既能保證小車定位誤差漸進收斂于零，又能使負載擺角得以抑制與消除。

3 仿真實驗

應用MATLAB/Simulink環境下進行仿真實驗，通過仿真結果來驗證所設計的船舶起重機控制器的可行性。

如前所述，控制目標是在有外部干擾的情況下將船舶起重機的有效載荷精準定位，應用MATLAB/Simulink環境中建立式(17)中描述的動力學模型，船舶起重機系統的具體參數如表2所示。

表2 船舶起重機初始參數

3.1 控制性能

為了測試所提出的控制器[式(26)]對于在海浪和海風等外部干擾下船舶起重機系統的控制性能，進行如下仿真實驗，小車的目標位置為xd=0.15 m，船舶運動擾動設置為

α(t)=0.5sin(10t)，

z(t)=0.25sint+π/6。

為了獲得適當的性能，通過大量的數值模擬，該組仿真實驗中的控制增益為kp=13,kξ=5，kα=8,kβ=9。

具體仿真結果如圖2所示。

圖2 控制性能仿真結果

從仿真結果中可以看出，所提出的控制器在有海浪和海風等的外部干擾下獲得了令人滿意的性能，小車的啟動和運行過程較為平穩，位移誤差大約在10 s內收斂于零且到達準確位置。負載擺動曲線光滑，很好地抑制負載的擺動范圍，擺角誤差總在3°以內且總是圍繞原點有界，而在整個運輸過程中也在10 s左右收斂于零，消擺效果明顯無反復擺動現象，極大地提高了船舶起重機運行過程中的安全性。由此可以看出本文設計控制器對負載的擺動抑制效果良好，提高了負載的運輸效率。

3.2 對比分析

為了進一步驗證所提出的控制方法的優越性，在這組仿真實驗中與線性二次調節器(LQR控制器)進行對比實驗。

傳統的LQR控制器形式為

在進行實驗時，利用MATLAB求解LQR控制器的適當控制增益，具體表示為

k1=50,k2=36，k3=-24,k4=3。

在這組仿真實驗中，系統狀態初始值及船舶運動擾動不變，小車的目標位置設置為xd=1 m。仿真結果如圖3所示。

圖3 對比實驗仿真結果

從對比仿真結果可以明顯看出，在持續海浪和海風的干擾下，設計的控制器能夠更好地驅動小車快速到達指定位置且過程平穩，小車位移誤差在10 s內收斂到0，而LQR控制器則需要較長時間使小車位置誤差收斂且小車運動不平滑。在抑制有效載荷擺動方面，本文方法最大擺幅為3°左右且無殘余擺角，而LQR方法最大擺幅為5°左右，且有明顯的殘余擺角。此外，該控制器能保證系統狀態的漸近收斂性，比LQR控制器具有更好的性能。

3.3 魯棒性測試

3.3.1 目標位置變化測試

為驗證所提出的控制器[式(26)]在負載的目標位置發生變化時的魯棒性，進行了如下仿真，將小車的目標位移由原來的xd=0.15 m改為xd=1 m，系統其他參數不變，仿真結果如圖4所示。

圖4 目標位置變化仿真結果

從仿真結果中可以看出本文所提出的控制器在小車目標位置發生改變時獲得了令人滿意的性能，小車位置誤差在大約10 s內收斂于零，而擺角誤差總是圍繞原點有界，且在整個運輸過程中也在10 s左右收斂于零。由此可見本文所提出的控制器具有優良的適應性能和魯棒性。

3.3.2 外界擾動測試

當船舶起重機運輸負載時，外部干擾如風載荷、人為碰撞及測量信號的不準確等是不可避免的。為測試對外界干擾的魯棒性，做如下仿真實驗，船舶起重機系統達到穩定狀態后，在20～23 s加入1°左右的正弦波模擬外界連續擾動用以模擬風載荷、人為碰撞以及測量信號的不準確的影響，系統其他參數不變，仿真結果如圖5所示。

圖5 外加擾動仿真結果

從仿真結果可以看出，在負載位置到達穩定狀態后，20 s時開始加入不規律連續外界擾動因素，在所提控制器控制驅動力Fx的作用下，負載擺角幅度不超過1.5°，在擾動結束后10 s左右系統仍可恢復至穩定狀態，且最終殘余擺角收斂至0°，目標位置的變化幾乎為0。這說明本文設計的控制器在具有噪聲或風載等外界干擾加入時魯棒性好的優點。

綜上所述，本文控制方法具有良好的控制性能、適應性和魯棒性。對于運輸過程中擺角抑制、系統定位和效率提高具有良好的效果。

4 結論

提出了一種基于能量耦合的船舶起重機控制器設計方法。該控制器成功地解決了船舶起重機系統的欠驅動特性和不匹配外部干擾等問題并得到以下結論。

(1)所提控制策略與傳統應用廣泛的控制器相比：傳輸效率提高了至少30%；負載的擺動角度為1°～4°，并可以有效抑制和消除殘余擺角。

(2)在外界能量輸入方面，與傳統控制方法相比系統所需能量更少，不會對系統造成巨大沖擊。

(3)通過仿真實驗結果證明了控制策略具有良好魯棒性，當系統負載的目標位置發生變化以及綜合性的外界擾動因素影響時，也能達到預期的控制性能。