二連桿機械臂的重復性滑模控制

趙逸吉

（延鋒安道拓座椅有限公司，上海201315）

1 項目概述

本文的控制對象是一個二連桿機器人，如圖1所示，目標是使其末端器（end effector）跟蹤一條周期性的期望路徑，誤差盡可能小。

圖1 控制對象的實物圖與示意圖

兩個Maxon EC電機用于分別控制兩桿，正交編碼器記錄脈沖數，同時計算轉動的角度。由于存在摩擦、重力力矩變化，尤其還有因齒隙（backlash）等裝配誤差，該控制對象是一個非線性較強的二階系統。為使其精確受控，擬采用重復控制（RC）。

重復控制最初在20世紀80年代被提出[1]，是基于內模原理的控制方法，能有效抑制周期性干擾并達到高精度控制，因此受到廣泛的關注。近期仍有許多學者對此進行研究，如LinLin Li等人將其應用在納米定位器上[2]；Lennart Blanken等人設計組合了多個重復控制器以達到更高精度且快速收斂的目的[3]；Hassan Farokhi Moghadam等人使用自適應快速傅里葉變換（AFFT）來輔助重復控制得到干擾的精準周期[4]。

然而，應用重復控制需要上個周期的系統信息。故控制伊始，先采用滑模控制（SMC），幾個周期后，采用基于SMC修改的重復控制律。

2 相關假設

2.1 齒隙干擾

電機的轉角為編碼器計數而得，但由于齒隙的存在，實際情況會有誤差。為消除此誤差，一般會建立反向齒隙模型，如Chunyi Su等人提出的連續時間動態模型[5]。

然而，由于難以構筑精確的反向齒隙模型，將其應用在控制算法里容易導致失穩。這是因為在機械臂改向時，電機的轉角大小會有一個跳變。故本文將齒隙歸為了干擾的一部分，試圖通過控制算法來盡可能降低齒隙的影響，同時也成為了衡量控制方法抗干擾性的一條指標。

2.2 摩擦識別

根據實驗數據，本文選取所應用電機的摩擦模型，為庫侖及粘性摩擦的組合。摩擦識別如圖2所示。

圖2 電機摩擦模型

由此，電機電流與角速度的關系被擬合，并將其轉化為摩擦力矩與角速度的關系，總結成如下的關系式：

式（2）是應用本文所述控制方法的前提，允許摩擦力矩估計值與真實值有一定程度的偏差，此偏差上限F需根據實驗數據合理設置。

3 控制方法

本節介紹控制方法的具體內容。總體步驟為：（1）建立系統的數學模型。（2）根據模型求取系統總動能與總勢能。（3）解拉格朗日方程得到運動方程。（4）在一種適合于非線性系統的自適應魯棒控制律的基礎上，融入重復控制思想，形成本文所提議的控制律。

由于控制對象的幾何參數一定，末端器的位置可由兩桿轉角確定。故末端器的周期性期望路徑，亦可轉化為兩個轉角的周期性期望路徑。

如圖3建立坐標系，設桿長是l1和l2，質量是m1和m2。兩桿質心到轉軸的距離為r1和r2，而兩質心坐標為：（正余弦簡寫，如sinθ1與cosθ2簡寫為s1與c2）

圖3 建模示意圖

對式（3）求一階導后得：

由上式所得速度求取系統總動能得：

其中Iz1與Iz2為兩桿在質心處的轉動慣量。將式（3）和（4）代入（5）經化簡得：

其中：

注意到α、β、γ皆為常數，故系統總動能僅由其姿態（兩轉角之差）及轉速決定。而系統總勢能為：

得到總動能與總勢能后，即可計算拉格朗日函數：

將其代入拉格朗日方程：

由式（10）可導出系統的運動方程，經整理即可寫成如下形式：

其中q=[θ1θ2]T，τ=[τ1τ2]T，且H、C、g三個矩陣分別為：

注意到式（11）一開始是不含有摩擦項f（q˙）的，而是在推出運動方程后補加進去的。事實上，從式（6）可以直接導出H（q），因為動能并且，C（q，q˙）中的每一項，也就是Ckj，皆可用H（q）經由克氏符（Christoffel symbols）計算而得：

針對式（11）形式的運動方程，如Slotine教授所述[6]，一種自適應魯棒控制律（滑模控制）如下：

通過構筑合適的李雅普諾夫函數（Lyapunov function）可證明式（14）的穩定性及魯棒性[6]。K的取值也在此過程中確定，其涵蓋了式（2）中的摩擦力矩偏差上限F。針對本文中的系統，Y與a如下：

在應用式（14）所示的自適應魯棒控制律控制系統幾個周期后，即可應用本文所提議的重復控制律：

重復控制有多種形式，比如可以配合擾動觀測器（Disturbance observer）使用，而上式是其中一種經嘗試簡明有效的控制律。其中，i代表每個迭代（iteration），N為一周期內迭代次數，Q是一個低通濾波器，C是需要被調試的常數（正值）對角矩陣。濾波器在重復控制中是極其必要的，否則擾動將使系統不可控，在每個周期都發生疊加，愈演愈烈。

4 實驗設置

如圖4所示，MaxonEC電機驅動模塊、NImyRIO開發板、電源發生器，是實現機械臂控制的主要設備。在此基礎上，編寫LabVIEW FPGA代碼來實施前述的控制方法。

圖4 重復性滑模控制實驗結果

首先在軟件中建模，系統的傳遞函數可由輸入輸出的測試數據建立。接著是控制仿真，在此過程中，調試λ、C等參數，使跟蹤精度更高。成功后，就將其應用于現實系統。

5 實驗結果

為提供重復控制所需的過往周期數據，并直觀地進行對比，滑模控制（SMC）首先應用于兩關節（joint），過50秒（5個周期）、100秒（10個周期）后，先后在兩關節上應用本文提議的控制律。

所用各參數為λ1=λ2=2，C1=2，C2=1.5，轉角跟蹤曲線皆為tanh（2sin（0.2πkT））的拉伸與平移，實驗結果如圖5所示。

圖5 重復性滑模控制實驗結果

5個周期后，提議的控制律應用在關節1處，可看到θ1的跟蹤表現有所提高，幾個周期內的誤差絕對值平均為0.007rad。雖然某時會有相對較大的誤差，但整體表現證明了它的有效性。

10個周期后，提議的控制律應用在關節2處，很明顯θ2的誤差等級大大下降，幾個周期內的誤差絕對值平均僅為0.00205rad。并且，s的值非常接近0（誤差及誤差導數小）。

更仔細地調試參數后，實驗表現應可進一步提高。然而，本文所側重的是證明所提議控制律的可行性及實用性，目前的實驗結果也已達此目的。

6 結論

本文提議的重復性滑模控制，有著取自重復控制及滑模控制的優勢：非線性系統的控制器易于設計，也不需知曉精確的系統參數；重復控制律進一步提高跟蹤精度。實驗中的表現也十分良好，且系統參數的不確定性、摩擦、齒隙等干擾所帶來的影響被大大減弱。故其具有較強的實用性。

有關所提議控制方法的局限性，主要是以下幾點：如其他大多數控制方法一樣，普適性會有欠缺，且此控制律是基于重復控制的思想，故也僅適用于跟蹤周期性期望路徑；在高階或其他有著更強非線性的系統前，可能作用有限。