卡氏定理在航空發動機軸間密封設計中的應用

徐鵬飛，李貴林，趙 鵬

(中國航發四川燃氣渦輪研究院，成都 610500)

符號表

A斷面面積/m2

b軸向厚度/m

D直徑/m

E楊氏彈性模量/Pa

FD直徑方向作用力/N

FE徑向-端面密封環圓周方向總徑向彈力/N

Fi載荷/N

FN軸力/N

Fp徑向-端面密封環兩端頭受氣體壓差作用形成的等效徑向力/N

FS剪力/N

FT切向作用力/N

F0假想的虛力/N

G切變模量/Pa

h徑向高度(半徑寬度)/m

I斷面慣性矩/m4

IP斷面極慣性矩/m4

M彎矩/N·m

q載荷集度/(N/m)

R斷面形心半徑/m

T扭矩/N·m

U應變能/J

α剪切形狀系數(矩形截面為6/5，圓形截面為10/9，薄壁圓環截面為2)

θ角度/弧度

φ角度/弧度

δi廣義位移(i=1，2，……)/m

σ應力/Pa

1 引言

雙轉子航空發動機為縮短軸向長度以減小質量，通常設計有中介軸承，即軸承內環和外環各自獨立安裝在兩個不同的轉軸上，以不同的轉速轉動。因航空發動機的主軸轉速較高(超過10 000 r/min)，需要潤滑油對其進行冷卻和潤滑。為阻止中介軸承處的潤滑油泄漏到氣流通道中，需從壓氣機某一部位引來高壓空氣通過密封裝置進行阻擋，同時限制封嚴的高溫、高壓空氣泄漏到低溫、低壓側滑油腔的流量。航空發動機的軸間密封，通常是指在兩個同心但不同轉速的轉軸處，將空氣與滑油隔離開的密封裝置[1]。目前航空發動機常用的軸間密封有篦齒密封和徑向-端面密封。

篦齒密封無需滑油冷卻(密封表面不接觸)、工作壽命長、不需要精密磨加工、魯棒性較好——裝配和分解操作過程中不易損壞[2]，但其空氣泄漏量高，導致滑油消耗量也高。徑向-端面密封結構簡單，零件數量少。其徑向-端面密封環(或稱活塞環)在自由狀態下的形狀為一帶切口的圓環，安裝時密封環的外圓與外軸的襯套孔有輕微過盈，保證工作時在自身彈力作用下與外轉子的襯套貼緊，以實現初始密封，并適應高溫條件下的尺寸和形狀穩定性[3]。在軸間條件下使用時，密封環在自身彈力及離心壓力條件下隨外轉子一起旋轉，滑動摩擦只發生在密封環端面。徑向-端面密封環通常選用碳石墨類材料，其優點是空氣泄漏量低，具有低的滑油消耗和輻射、工作壽命長。缺點是密封的摩擦表面需要耐磨涂層，且要進行精密磨加工；碳石墨類材料較脆，裝配和分解操作過程中易損壞；石墨材料需要高溫抗氧化處理[1]。

徑向-端面密封的設計，需要計算密封環安裝后的自身彈力。美國KOPPERS公司[4]分別給出了英制單位的活塞環安裝后單位周長彈力載荷與切口處切向載荷和距切口90°位置直徑方向載荷之間的關系，美國新墨西哥大學的Lebeck[5]在專著中引用了KOPPERS公司的結果，并將英制單位改為了國際單位，但兩份文獻均未給出公式的推導方法和推導過程。國內何淦延[6]、邱家塵[7]、金永熙[8]、劉志華[9]均對活塞環彈力進行了研究，但都只推導了與距切口90°位置直徑方向載荷與切口間隙的關系，并未研究密封環安裝后的單位周長彈力(載荷集度)與切口間隙的關系。本文從材料力學中的應變能出發，利用卡氏定理，對航空發動機的軸間徑向-端面密封環在不同載荷作用下的撓度進行推導和研究。

2 軸間密封結構

圖1示出了典型的帶中介軸承的雙轉子航空發動機結構。軸間徑向-端面密封結構如圖2所示。

圖1 帶中介軸承的航空發動機結構Fig.1 The structure of aero-engine with inter-shaft bearing

圖2 軸間徑向-端面密封Fig.2 Inter-shaft radial-face contact seal

由于石墨材料的線膨脹系數較金屬的低，因此軸間徑向-端面密封環設計為開口環結構。徑向-端面密封環先加工成規定的橢圓形狀[10]，再通過徑向切割形成一個自由間隙，如圖3所示。徑向-端面密封環裝配前自由狀態的橢圓形狀可根據圓弧梁的彎曲理論計算。在軸間條件下使用時，密封環端面與高速旋轉的金屬環端面貼緊(靠氣體負荷或彈簧力)達到密封。徑向-端面密封的設計準則是，當主軸高速旋轉時，必須保證密封環相對于襯套不轉動或只允許輕微浮動。

圖3 軸間徑向-端面密封環安裝前后的形狀Fig.3 Shape of inter-shaft radial-face contact seal before and after installation

3 卡氏定理

卡斯蒂利亞諾于1873 年推導出了計算彈性結構的力和位移的兩個定理，分別稱為卡氏第一定理和卡氏第二定理[11]。

卡氏第一定理：彈性結構的應變能對結構上某個載荷相對應的位移δi的偏導數，就等于該載荷的數值(式(1))。該定理適用于一切理想約束條件下的線性和非線性彈性結構。具體應用時，應變能必須用各載荷作用點的位移來表示。

卡氏第二定理：線彈性結構的應變能對作用在結構上的某個載荷的偏導數，就等于該載荷作用點沿該載荷作用方向的位移(式(2))。具體應用時，應變能也必須用各載荷作用點的位移來表示。

本文應用卡氏第二定理推導航空發動機軸間徑向-端面密封環在不同載荷作用下的撓度。包含剪切應變能的線彈性結構，卡氏第二定理可表達為[7]：

4 軸間密封環載荷與位移計算

4.1 切口處的端頭切向作用力

航空發動機軸間徑向-端面密封環切口處受到切向力作用時，其受力分析如圖4 所示。參照文獻[12]中規定：使桿件受拉而伸長的軸力為正，受壓而縮短的軸力為負。在截面處取一微梁段，使該微梁段彎曲呈凹形時的彎矩為正(對于圓弧梁，從圓弧梁外側看)；反之為負。梁截面上的剪力對微梁段內任一點的矩為順時針旋轉(對于圓弧梁，從圓弧梁的外側看)時，該剪力為正；反之為負。則任一截面上的彎矩、軸力和剪力分別為：

圖4 徑向-端面密封環切口處受切向作用力時的受力分析Fig.4 Radial-face contact seal under tangential force at the end

進一步根據式(3)，可得徑向-端面密封環受到切向作用力時兩端頭的位移為：

文獻[11]中計算表明，幾何參數R/0.5h=5時軸力和剪力對端頭位移的影響只有1.7%，并為此建議R/0.5h＞4時可忽略軸力和剪力對端頭位移的影響。故徑向-端面密封環兩端頭位移可簡化為：

根據式(4)，當θ=π時，截面彎矩有最大值。據此進一步得到應力最大截面的彎曲應力為：

4.2 距切口90°位置的直徑方向作用力

航空發動機軸間徑向-端面密封環在距切口90°位置受到直徑方向力作用時，其受力分析見圖5。

圖5 徑向-端面密封環距切口90°位置受直徑方向作用力時的受力分析Fig.5 Radial-face contact seal under the diametral direction force in 90°degree from the slot

端頭A 處，增加虛力F0作用。在CKL段，0 ＜θ＜π，任一截面上的彎矩、軸力和剪力分別為：

令F0=0，進一步根據式(3)，可得徑向-端面密封環受到距切口90°位置的直徑方向作用力時，兩端頭的位移為：

當忽略軸力和剪力時，兩端頭位移簡化為：

4.3 整個圓周弧長上的均布載荷

軸間徑向-端面密封環外圓受到載荷集度為q的均布載荷作用時，其受力分析見圖6。

圖6 徑向-端面密封環外圓受均布載荷作用時的受力分析Fig.6 Radial-face contact seal under excircle distributed load and force

在端頭A 處，增加虛力F0作用。在整個圓周弧長上，0 ＜θ＜2π，任一截面上的彎矩、軸力和剪力分別為：

令F0=0，進一步根據式(3)，可得徑向-端面密封環受到整個圓周方向上的均布載荷作用時，兩端頭的位移為：

當忽略軸力和剪力時，兩端頭位移簡化為：

4.4 各載荷間的關系

根據式(6)，可得到材料彈性模量與切口處端頭切向作用力的關系式為：

根據式(10)，可得到材料彈性模量與距切口90°位置直徑方向作用力的關系式為：

根據材料力學中的互等定理[13]，當密封環安裝前后的切口間隙相等時，根據式(6)、式(13)可得載荷集度與端頭切向載荷的關系式為：

進一步可得到徑向-端面密封環在圓周方向上的總徑向彈力為：

根據式(6)、式(16)可得，兩端頭在壓差為Δp的氣體力作用時引起的徑向力增加量為：

根據式(10)、式(13)可得，載荷集度與直徑方向作用力的關系式為：

相比KOPPERS 公司[4]和Lebeck[5]給出的載荷集度與直徑方向作用力的關系式(式(20))，兩者有一定差異。

5 應用實例

某雙轉子發動機軸間密封由兩級徑向雙端面石墨密封(第一級密封和第二級密封)組成，其結構見圖7。每一級密封均有上游密封環和下游密封環，中間由波簧前、后擋板以及波形彈簧構成。上游密封環和下游密封環尺寸相同，內徑165.0 mm，外徑175.0 mm，徑向高5.0 mm。上游密封環軸向厚度5.0 mm，除去卸荷槽后斷面面積91 mm2，斷面形心半徑84.8 mm，過斷面形心平行于零件回轉中心的慣性矩為45.5 mm4。下游密封環軸向厚度7.5 mm，除去卸荷槽后斷面面積112 mm2，斷面形心半徑85.3 mm，過斷面形心平行于零件回轉中心的慣性矩為58.0 mm4。所用碳石墨材料的彈性模量為12 GPa，抗折強度≥40 MPa。

圖7 軸間密封結構圖Fig.7 Structure of inter-shaft seal

以上游密封環為例，根據式(7)計算得到端頭處能夠承受的極限載荷為4.9 N。因密封環幾何參數R/0.5h=34 ＞4，所以可忽略曲梁斷面上的剪力和軸力。進一步根據式(6)計算得到兩端頭在端頭受切向載荷作用時的撓度極限為45.377 mm。超過該撓度，徑向端面密封環將在距切口180°的位置斷裂損壞。

上述軸間密封環在裝配前切口自由間隙為1.4 mm，見圖8。在的環規中檢查，切口間隙僅0.05 mm。裝配過程中用壓縮空氣吹除密封環外表面碎屑時，出現密封環切口端頭彈開，兩端頭間隙約10.0 mm，見圖9。在不考慮密封環端面摩擦力時，根據式(17)和式(18)，計算得到在軸間徑向-端面密封環兩端頭施加5.4 kPa 的氣體壓差即可出現端頭彈開約10.0 mm 的情況。進一步計算分析得到，不考慮密封環端面摩擦力時，上游密封環強度極限所能承受的端頭氣體壓差為24.5 kPa。為此，在加工、裝配和分解檢查軸間徑向端面密封環的過程中，應避免使用壓縮空氣吹除密封環表面的磨損碎屑或其他異物。

圖8 軸間密封環裝配前形狀Fig.8 Shape of inter-shaft seal ring before installation

圖9 軸間密封環裝配后端頭彈開形狀Fig.9 Shape of inter-shaft seal ring after installation with deformed end

6 結論

(1) 用卡式定理推導的航空發動機軸間徑向-端面密封環安裝前后因切口間隙差形成的單位周長彈力(載荷集度)與直徑方向作用力的關系式為，與KOPPERS 公司[4]和Lebeck[5]給出的計算關系式有差異。

(2) 航空發動機的軸間徑向-端面密封環選用碳石墨材料，其彈性模量較低，較小的端頭作用力也可引起較大的端頭位移。為此在加工、裝配和分解檢查軸間徑向端面密封環的過程中，應避免使用壓縮空氣吹除密封環表面的磨損碎屑或其他異物。