桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析方法適用性研究

阮猛， 王之強(qiáng)， 李鵬飛

(1.西安市軌道交通集團(tuán)建設(shè)分公司， 陜西 西安 710000；2.陜西建工機(jī)械施工集團(tuán)有限公司， 陜西 西安 710048；3.陜西建工集團(tuán)有限公司， 陜西 西安 710003)

桿系結(jié)構(gòu)在橋梁中應(yīng)用十分廣泛，包括平面桿系和空間桿系。當(dāng)荷載增大到某一限值時，結(jié)構(gòu)體系可能出現(xiàn)失穩(wěn)，即偏離原有的變形形式而過渡到另一種平衡狀態(tài)或整個結(jié)構(gòu)喪失承載能力。因此，對桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分析十分必要。目前關(guān)于幾何非線性分析的理論已十分成熟，如王欣、孟陽君等在傳統(tǒng)幾何非線性分析方法的基礎(chǔ)上，基于CR列式法得到平面桿系單元的切線剛度矩陣，提出了適用于大變形幾何非線性分析的方法；李云飛、王殿龍等引入剛體準(zhǔn)則及廣義位移控制法，解決了極值點(diǎn)和回彈點(diǎn)附近迭代方向不能有效確定的問題；鄧?yán)^華、丁泉順等同時考慮幾何非線性與徐變共同作用，基于隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)法及初應(yīng)變法推導(dǎo)了平衡方程；劉鋒、魏鵬等基于Green-lagrange應(yīng)變和第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力，推導(dǎo)了適用于空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的剛度矩陣。常用桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析方法包括荷載增量法、Newton-Raphson法(簡稱NR法)、弧長法。荷載增量法將荷載分成一系列荷載增量，可在幾個荷載步或一個荷載步的幾個子步內(nèi)施加荷載增量，在每個荷載增量求解完成后，繼續(xù)進(jìn)行下一個荷載增量之前調(diào)整剛度矩陣以反映結(jié)構(gòu)剛度的非線性變化。NR法是一種常用的求解非線性方程的線性化方法，每次平衡迭代都要修改一次剛度矩陣，具有很好的收斂性能，但頻繁地修改剛度矩陣使其計算工作量大。弧長法是一種通過圓弧把荷載增量因子與位移增量相聯(lián)系的求解方法，通過加強(qiáng)弧長迭代得到沿與平衡路徑相交的圓弧收斂，從而獲得不穩(wěn)定性問題(KT→0)或負(fù)的切線剛度(KT<0)的數(shù)值穩(wěn)定解。目前對于如何根據(jù)實(shí)際問題選擇合適方法的研究少之又少。該文選取2個平面桿系結(jié)構(gòu)、2個空間桿系結(jié)構(gòu)，分別編制適用于大變形幾何非線性分析的有限元程序，對比3種方法的計算結(jié)果，研究適用于平面及空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的一般步驟及方法選擇依據(jù)。

1 平面及空間桿系結(jié)構(gòu)有限元分析

選用有限元程序ANSYS，針對荷載增量法、弧長法和NR法編制相應(yīng)計算程序，分別對2個平面桿系結(jié)構(gòu)、2個空間桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析。采用ANSYS程序作幾何非線性分析時，打開大位移選項，根據(jù)實(shí)際問題類型設(shè)置求解控制選項。在大多數(shù)實(shí)際問題分析中，需引入缺陷(模型更新)“激發(fā)”結(jié)構(gòu)的非線性分析，但對拱類結(jié)構(gòu)則不必引入缺陷而直接進(jìn)行非線性分析。對于兩端鉸接的軸心受壓桿、平面桁架、空間鋼架和六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，除兩端鉸接的軸心受壓桿必須引入初始缺陷外，其余3個均可不引入(計算結(jié)果無明顯差異)。

1.1 兩端鉸接的軸心受壓桿

圖1為兩端鉸接的軸心受壓桿，其保持彈性穩(wěn)定的臨界荷載Pcr=π2EI/L2。

如圖2及表1所示，對于該軸心受壓桿，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，均收斂且計算結(jié)果基本一致。計算時間上荷載增量法和NR法用時較少，精度上則是弧長法與理論解更接近。

圖1 軸心受壓桿件構(gòu)造示意圖

圖2 壓桿中點(diǎn)荷載-位移曲線

表1 壓桿幾何非線性計算方法對比

1.2 平面桁架

如圖3所示，該桁架的幾何非線性分析為經(jīng)典的跳越問題，荷載與頂點(diǎn)位移的理論關(guān)系為P=EA0x(x-sinθ0)(x-2sinθ0)。

圖3 平面桁架結(jié)構(gòu)示意圖

如圖4及表2所示，對于該平面桁架結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，只有弧長法收斂，而NR法與弧長法的計算結(jié)果在到達(dá)第一個極值點(diǎn)之前基本一致，荷載增量法則差異較大。計算時間上NR法及弧長法用時較少，精度上則是弧長法與理論解最接近。

圖4 平面桁架頂點(diǎn)荷載-位移曲線

表2 平面桁架幾何非線性計算方法對比

1.3 空間鋼架

圖5為空間鋼架結(jié)構(gòu)，假定6個邊節(jié)點(diǎn)均為滑動鉸支座，當(dāng)中間六桿劃分為3個單元以上時，不同單元數(shù)目的計算結(jié)果之間的誤差在0.5%以內(nèi)。

圖5 空間鋼架結(jié)構(gòu)示意圖

如圖6及表3所示，對于該空間鋼架結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，只有弧長法收斂，而NR法與荷載增量法的計算結(jié)果在到達(dá)第一個極值點(diǎn)之前基本一致。計算時間上弧長法用時最少，精度上弧長法與理論解最接近。

圖6 空間鋼架中心點(diǎn)荷載-位移曲線

表3 空間鋼架幾何非線性計算方法對比

1.4 六角星形穹頂

圖7為六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，假定6個支承均為鉸結(jié)，頂點(diǎn)承受集中力作用，空間桁架采用Link8單元模擬。

圖7 六角星形穹頂結(jié)構(gòu)示意圖

如圖8及表4所示，對于該六角星形穹頂結(jié)構(gòu)，采用3種方法進(jìn)行幾何非線性分析，均收斂且計算結(jié)果基本一致。計算時間上NR法用時最少，精度上NR法與理論解更接近。

圖8 穹頂結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)荷載-位移曲線

表4 穹頂結(jié)構(gòu)幾何非線性計算方法對比

2 分析方法論證

從以上4個算例來看，不同計算方法均有其優(yōu)勢，荷載增量法在求解已知荷載水平問題時可較方便地提取數(shù)據(jù)和分析結(jié)果，NR法計算速度較快且結(jié)果可靠，弧長法在計算極值點(diǎn)問題時較易收斂。在進(jìn)行幾何非線性分析時，首先要判斷施工荷載是否達(dá)到結(jié)構(gòu)的臨界荷載，而臨界荷載的大小取決于結(jié)構(gòu)剛度。以穹頂結(jié)構(gòu)為例，按不同剛度Iy進(jìn)行計算，結(jié)果見圖9。

圖9 不同剛度下穹頂結(jié)構(gòu)荷載-位移曲線

從圖9可看出：當(dāng)桿件抗彎剛度較小時，均會發(fā)生跳越；而剛度增大超過一定數(shù)值后，不再發(fā)生跳越。由此可見，對于桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析，首先要進(jìn)行線性的特征值屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)的臨界荷載，這樣既可幫助合理選擇計算方法，也有助于判斷計算結(jié)果正確與否。然后對比臨界荷載與所要計算荷載的大小，若臨界荷載大于計算荷載，則優(yōu)先選用NR法計算；若臨界荷載小于計算荷載，則選用弧長法進(jìn)行計算。

3 結(jié)語

針對平面和空間桿系結(jié)構(gòu)編制荷載增量法、弧長法和NR法的有限元程序，通過對比分析有限元及理論計算結(jié)果，總結(jié)適用于平面及空間桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的一般步驟和方法選擇依據(jù)。對于桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性分析，首先要進(jìn)行線性的特征值屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)的臨界荷載。然后對比臨界荷載與所要計算荷載的大小，若臨界荷載大于計算荷載，則優(yōu)先選用NR法計算；若臨界荷載小于計算荷載，則選用弧長法進(jìn)行計算。對于在特定的一個或多個荷載作用下結(jié)構(gòu)非線性分析問題，則可采用荷載增量法計算。