Loewy矩陣與幾乎Koszul代數

羅 德 仁，呂 天 星，劉 靚

(湖南理工學院 數學學院，湖南 岳陽 414006 )

0 引 言

作為Koszul代數的推廣，Brenner等在文獻[1]中引入了幾乎Koszul代數，特別地，他們利用幾乎Koszul代數研究了Dynkin型遺傳代數的預投射代數和雙邊Dynkin型遺傳代數的平凡擴張代數以及它們的Koszul對偶周期性．近來，郭晉云利用幾乎Koszul代數將平移箭圖及平移代數與n-幾乎可裂序列結合起來，引入了n-平移箭圖及n-平移代數，并推廣了經典的穩定平移箭圖ZQ的構造到高維情形．Loewy矩陣及Loewy維數向量是20世紀末被提出的一個重要概念，文獻[2-3]利用Loewy矩陣及Loewy維數向量初步給出了線性模的必要條件，并在此基礎上給出了Koszul代數的判別方法和Koszul自入射代數具有有限復雜度的判定條件．文獻[4]利用Loewy矩陣及Loewy維數向量討論了n-平移代數的性質和判定方法，利用Loewy矩陣給出一個分次代數Λ的扭平凡擴張成為n-平移代數的條件．

本文將繼續優化前人的工作，利用Loewy矩陣及Loewy維數向量討論一般的有限維分次代數成為幾乎Koszul代數的充分必要條件．

1 預備知識

設k是一個域．域k上的有限維代數Λ稱為正分次代數，如果滿足下面3個條件：

(1)作為向量空間，有直和分解Λ=Λ0+Λ1+…+Λn；

(2)Λ由Λ1和Λ0生成，即Λi+j=ΛiΛj；

2 Loewy矩陣與線性模

文獻[2]利用Loewy矩陣和模的Loewy維數向量給出了d-線性模的一個必要條件，文獻[4]給出了當JnM=0時，M為d-線性模的充分必要條件．本章利用Loewy矩陣和模的Loewy維數向量給出d-線性模在一般情況下的充分必要條件，從而推廣文獻[2，4]關于線性模的結論．

其中E為r×r單位矩陣．同時定義Λ的增廣Loewy矩陣

Mt=Jt-sM/Jt-s+1M=0

…→Pk+1→Pk→…→P1→P0→M→0

使得當t≤d時，Pt由t+s次生成(此時ΩtM由t+s+1次生成，t=0，1，…，d)．

引理1設M是不含投射直和項的由s次生成的有限維分次Λ-模，則JnΩM=0，Jn+1M=0．

如果M是由s次生成的有限維分次Λ-模，定義M的Loewy維數向量

JnM=0

首先用Loewy矩陣和Loewy維數向量刻畫d-線性模，這是對文獻[4]中定理3.1的修正和補充．

定理1設M是s次生成的有限維分次Λ-模，則M為d-線性模當且僅當對0≤t≤d，都有

(1)當JnM=0時，ldimΩtM=LtldimM；

證明不失一般性，假設s=0．

必要性當JnM≠0時，P(M)為M的投射蓋，此時有0次同態正合列0→ΩM→P(M)→M→0．從而有正合列

0→(ΩM)t→P(M)t→Mt→0；0≤t≤n

充分性反之，設M不為d-線性模，設1≤l

但是M不為l-線性模，從而Pl不是l次生成的，因此半單模Pl/JPl?ΩlM/JΩlM不集中在l次，因此存在半單模N=Ns1⊕Ns2⊕…⊕Nsm使得

Pl/JPl?ΩlM/JΩlM=(ΩlM)l+N

當l>1時，上式最后一行為L的第s1-l

ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM

同理，當JnM=0時，ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM．

□

令

與定理1的證明類似，可以得到

推論若M和ΩM分別為t次和t+s次生成有限維分次Λ-模，則

3 Loewy矩陣與幾乎Koszul代數

文獻[2]利用Loewy矩陣和模的Loewy維數向量給出了分次代數成為Koszul代數的充分必要條件，本章利用Loewy矩陣和模的Loewy維數向量給出分次代數成為幾乎Koszul代數的充分必要條件．

一個有限維分次代數Λ=Λ0+Λ1+…+Λn稱為(n，q)型幾乎Koszul代數(簡稱為(n，q)-Koszul 代數)，如果Λn≠0，且當t>n時Λt=0；任意0次生成單模S(i)都存在分次極小投射分解

Pq(i)→…→P1(i)→P0(i)→S(i)→0

使得Pt(i)是t次生成的分次投射Λ-模(或者說，任意0次生成單模都是q-線性的)且Ωq+1S(i)=Λn?Pq(i)q是集中于n+q次分支的半單模．由(n，q)-Koszul代數的定義可知，當0≤t≤q時，ΩtS(i)和Pt(i)都由t次生成，作為分次左Λ-模，有系列同構

Pq(i)n+q=JnPq(i)=Λn?Pq(i)q?Ωq+1S(i)

r維向量v稱為正向量，如果v≠0且分量非負，此時記為v?0．

命題1設Λ是一個(n，q)-Koszul代數，則

(1)對于非投射單模S(i)，有如下結論：

ldimΩtS(i)=LtldimS(i)；0≤t≤q

263 多配體聚糖結合蛋白 1 過表達增加低密度丙型肝炎病毒顆粒的產生 鄧力賓，郭巾旭，馬鵬娟，王 剛，龍 鋼

ldimΩq+1S(i)=Tn-1LldimΩqS(i)=

Tn-1Lq+1ldimS(i)

ldimΩ(q+1)mS(i)=(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；m≥0

ldimΩ(q+1)m+tS(i)=Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；

0≤t≤q，m>0

更進一步，若Λ是自入射代數，則上述向量均為正向量．

(2)存在i∈{1，2，…，r}使得對任意的0≤t≤q，LtldimS(i)?0，Tn-1Lq+1ldimS(i)?0．而若Λ是自入射代數，則對任意的i∈{1，2，…，r}，0≤t≤q+1，m>0，都有

Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)?0

(3)對0≤t≤q，有

Pt(i)?(P1…Pr0…0)LtldimS(i)[t]，

Pq+1(i)?(P1…Pr0…0)Tn-1Lq+1×ldimS(i)[n+q]

其中，對于非負整數m，mPj表示m個Pj的直和．

證明(1)第一個結論直接由定理1可得．對于第二個結論

而

故

ldimΩq+1S(i)=

Tn-1LldimΩqS(i)

重復上面的過程，可以得到后兩個結論．

(2)由(n，q)-Koszul代數的定義和上面的討論直接可得．

(3)由(1)的前兩個結論及Loewy維數向量的定義直接可得．值得注意的是，如果Λ是自入射代數，則唯一的有限投射維數模為投射模，因此(1)、(2)中所述向量均為正向量．

□

定理2設Λ=Λ0+Λ1+…+Λn(Λn≠0)是一個有限維正分次代數，L=LΛ為其Loewy矩陣，則Λ是一個(n，q)-Koszul代數當且僅當滿足下列條件：

(1)對任意的0≤t≤q和1≤i≤r，都有Pt(i)?(P1…Pr0 … 0)LtldimS(i)[t]；

(2)TTLq+1ldimS(i)=0，1≤i≤r．

證明 必要性(1)由定理1和S(i)為q-線性模直接可得．由于Λ是(n，q)-Koszul代數，則對任意的1≤i≤r有短正合列

0→Λn?Pq(i)q→Pq(i)→ΩqS(i)→0

并且有同構

Λn?Pq(i)q?JnPq(i)?Pq(i)q+n

注意到，ldimPq(i)、ldimΩqS(i)分別為(n+1)r、nr維列向量，從而

從另外一個方面，

則

則

充分性由(1)可知，當t=0，1時，P0(i)是由0次生成且有

P1(i)=(P1…Pr0 … 0)LldimS(i)[1]

可知，ΩM由1次生成并且ldimΩS(i)=LldimS(i)．歸納地可以證明Pt(i)是t次生成的，0≤t≤q．而由引理1可知JnΩqM=0，因此

JnPq(i)/Jn+1Pq(i)=JnPq(i)=

Λn?Pq(i)q∈Ωq+1S(i)

□

例1設Λ為由如下箭圖給出的界定路代數，關系為〈αγβα，βαγβ，γβαγ〉，單模的分次投射分解為

0→S(2)[4]→P(2)[1]→P(1)→S(1)→0

0→S(3)[4]→P(3)[1]→P(2)→S(2)→0

0→S(1)[4]→P(1)[1]→P(3)→S(3)→0

LΛldimS(1)=(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T

LΛldimS(2)=(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T

LΛldimS(3)=(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T

而

P2(1)=P(2)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T[1]

P2(2)=P(3)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T[1]

P2(3)=P(1)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T[1]

4 結 語

幾乎Koszul代數和d-線性模的判別與計算是一個比較復雜的工作，本文給出的Loewy矩陣和增廣Loewy矩陣能有效地計算幾乎Koszul代數．幾乎Koszul代數在代數的周期性和分次自入射代數的分類工作中都起到了重要的作用，期望在后續的工作中，能結合Loewy矩陣和相關代數類計算軟件GAP給出一些周期代數的刻畫．