一類特殊數列極限的求法

曾赤潔

摘? 要：極限是數學分析這門課程的研究工具，是貫穿整門課程的知識點。其中數列極限的計算是數學分析學習中的重要內容，也是各種上崗考試和研究生入學考試的重要考點。在極限的計算中，一類帶有“n！”的數列的極限一直以來是計算的難點。該文就這一類帶有“n！”的數列極限的計算展開討論，從學生已有的知識結構出發，給出了幾個行之有效的計算方法。

關鍵詞：數列極限? 迫斂性? 級數? 定積分? 極限定義

中圖分類號：O172.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）04（a）-0225-03

The Solution of the Limit of a Kind of Special Sequence of Numbers

ZENG Chijie

（school of mathematiesand physics， west yuman University， Lincang，Yunnan Province， 677000 China）

Abstract： In the course of Mathematical Analysis， the limit is a tool to study problems， and the knowledge about the limit runs through the whole course. The calculation of the limit of a sequence of numbers is an important part of the study of mathematical analysis. It is also an important test point for various post examinations and Postgraduate Admission Test. In the calculation of limit， the limit of a kind of sequence with "n！" has always been a difficulty. In this paper， the calculation of the limit of this kind of sequence with "n！" is discussed. Starting from the students' existing knowledge， several effective calculation methods are given.

Key Words： Limit of sequence; Squeeze theorem; Series; Definite integral; Definition of limit

數列極限的計算是極限計算的重點內容，也是進一步學習函數極限的基礎。求數列極限的方法有很多，在實際運用過程中，教師要善于通過分析數列的特點，來選擇最合適的方法。下面該文將通過具體例題介紹一類含有“n！”的數列極限的計算方法，這一類極限由于其中的“n！”不是初等函數，在計算上有一定的難度。

1? 方法探討

1.1 利用迫斂性

定理1（迫斂性[1]）設收斂數列都以a為極限，數列滿足：存在正數，當時有則數列收斂，且[2]。

例1? 求極限。

方法解析：這是一個的待定型極限，一般想到的常規方法是先對數列取對數，然后再利用洛必達法則進行計算。但是由于“n！”不是初等函數，無法求其導數，所以不能應用洛必達法則。這里可以考慮將n放大成冪指函數nn，化簡后再利用迫斂性來求得極限[3]。

解? 因為對都有

而則由迫斂性可知。

例2? 求極限。

解? 因為對都有

而則由迫斂性可知。

1.2 利用級數法

定理2[4]（級數收斂的柯西收斂準則）級數收斂的充要條件是：任給正數ε，總存在正整數N，使得當m>N以及對任意的正整數p，都有：

推論? 若級數收斂，則

由級數收斂的柯西收斂準則的推論可知，若級數收斂，則通項數列的極限為0，從而可以將求數列極限的問題轉化為討論級數收斂的問題。

例3[5]? 求極限。

解? 令，作級數，因為

由比式判別法可得級數收斂，則由柯西收斂準則的推論可知：

上述例2也能用此方法來求解。

1.3 利用定積分的定義

定義1[6]? 設f是定義在上的一個函數，J是一個確定的實數.若對任給的正數ε，總存在某一正數δ，使得對的任何分割T，以及在其上任意選取的點集 ，只要，就有

則稱函數F在區間上可積，數J稱為F在上的定積分，記作

特別地，當為，分割T為等分，取每個小區間的右端點i/n時，有

例4? 求極限。

解? 令，則

所以，由復合函數的極限可知

1.4 利用施篤茲（Stolz）定理

定理3[7]（施篤茲定理）設=+∞且從某一項開始嚴格單調增加，如果

則

。

解? 顯然分母是嚴格增加的，則由施篤茲定理有

1.5 利用數列極限的定義

定義2[8]? 設為數列，a為定數。若對任給的正數ε，總存在正整數N，使得當時有

則稱數列收斂于a。

從定義可以看出，數列若以a為極限，則只需找到一個正整數N，使得不等式成立即可[8]。

例6 求極限。

解? 當時，顯然有。

當時，對取k=[|a|]+1，要使得

≤（其中）成立，

解得，不妨取

則對

有

成立，由數列極限定義可知

綜上所述，對任意的實數a，都有

此題也可用級數法來進行求解。

2? 結語

上面介 紹了5種求解含有“n！”的數列極限的方法及其對應的題型。在實際操作中，有些題目可以采用多種方法來進行求解，要從中選擇最簡便易行的方法。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學科學學院.數學分析：下冊[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[2] 劉玉璉，傅沛仁，林玎等.數學分析講義：下冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2018.

[3] 楊威.一類數列的極限[J].大學數學.2018（4）：108-110.

[4] 劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數學分析講義：上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2018.

[5] 華東師范大學數學科學學院.數學分析：上冊[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[6] 呂響，毛雪辰，劉東，等.極限的多種求法[J].科技創新導報.2018（22）：226-227.

[7] 白梅.幾類特殊形式的極限求法探討[J].大學教育，2019（11）：100-101，123.

[8] 李以孝.高中生數列極限概念的認知現狀研究[D].華東師范大學，2016.