“橢圓的定義與標準方程”教學設計與反思

謝曉兵

一、基本情況

（一）學情分析

學生是中職模具專業(yè)二年級學生，該班為模具專業(yè)升學班，學生要進入高職院校繼續(xù)學習。數(shù)學知識方面已經(jīng)學習了圓的定義與標準方程，掌握了求曲線方程的基本方法;專業(yè)方面學習了CAD軟件制圖，并能加工簡單工件，具有較強的動手能力。

（二）教材分析

數(shù)學是模具專業(yè)的一門公共基礎課程，本課選自高等教育出版社《數(shù)學拓展模塊》第2章第1節(jié)內容，授課題目為《橢圓的定義與標準方程》，用時2學時。前面已學習圓的定義與方程，后面要學習雙曲線和拋物線，具有承上啟下的作用。

1.教學目標

（1）理解橢圓的定義、標準方程;

（2）能根據(jù)條件求參數(shù)a、b、c的值。

2.教學重點

理解橢圓的定義;掌握兩類橢圓標準方程。

3.教學難點

橢圓標準方程的推導過程。

二、教學過程

（一）課前準備

通過藍墨云班課平臺發(fā)布四個課前任務。

任務一：觀看小視頻“裝修師傅的煩惱”。此視頻是一個真實案例，講述一個木工師傅做橢圓形天花吊頂?shù)臒溃曨l最后提出問題——你能幫裝修師傅解決他的煩惱嗎？從而激發(fā)學生的學習興趣。

任務二：觀看微課《兩釘一線法繪制橢圓》。通過微課的學習，初探橢圓定義，并嘗試解決裝修師傅的煩惱。

任務三：收集生活中有關橢圓的圖片。讓學生發(fā)現(xiàn)生活中的橢圓圖形，體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系。

任務四：完成課前小測。主要是一些簡單的概念解析題，用于檢測學生課前預習的情況。如判斷題：到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的集合叫作橢圓。許多學生選擇了“對”，并在討論區(qū)對答案提出了質疑。顯然，學生忽視了“距離之和小于定點間距離”這個條件，對概念的分析不夠全面。

（二）課堂實施

1.情境導入（如圖1、圖2）。通過播放衛(wèi)星繞地球飛行的視頻引出課題，并展示學生收集的生活中的橢圓圖片，及時表彰學生善于觀察的好習慣。演示平面截圓錐的flash動畫（如圖3），解釋“圓錐曲線”這一概念。

圖1

圖2

圖3

2.合作探究。（共分四個環(huán)節(jié)）

（1）“探”定義。兩釘一線畫圖小實驗，實驗中各小組利用圖釘和細線，按照規(guī)定（橢圓定義）畫圖，通過實驗發(fā)現(xiàn)畫出的圖形為橢圓。

進一步分析畫圖過程，觀察繩長與兩釘間距離的關系。三角形兩邊之和大于第三邊分析得到“繩長大于兩釘距離”。此處很好地解釋了學生在課前測試中橢圓定義忽略了“大于兩定點距離F₁F₂”這一條件。通過學生動手實驗，學生自行建構橢圓定義。

進而總結出橢圓完整定義，并引出焦點、焦距的概念。通過實驗探究，提問引導，層層遞進，使學生深刻理解橢圓定義，及2a>2c這一關鍵條件。

（2）“推”方程。結合學生畫出的橢圓圖形，教師指出建立直角坐標系的方法。并通過建、設、寫、列、化五步法推導橢圓方程，利用兩點間的距離公式列出方程，通過化簡運算得到橢圓方程為a²/a²+y²/a²-c²=1，通過設a²-c²=b²，從而將方程化為標準方程x²/a²+y²/b²=1。

（3）“析”參數(shù)。學生對參數(shù)b與a、c關系存在疑問。帶著疑問，教師通過構建直角三角形的動態(tài)演示，用勾股定理驗證參數(shù)關系，并得到參數(shù)a最大這一重要結論。

（4）“定”口訣。教師引導學生觀察焦點在x軸上橢圓方程，共同歸納方程特征為“左邊加來右邊1，大是a來小是b”。

教師提問，焦點在y軸上的方程又如何呢？

通過小組討論，有學生提出將剛才畫的橢圓旋轉90度，就得到了焦點在y軸上的橢圓，也有學生提出把x和y位置互換即可得到焦點在y軸的橢圓方程。

教師對學生的大膽猜想給予充分的肯定，引導學生進行類比學習，結合圖形，強調y軸上的橢圓焦點坐標寫法不同。

通過表格對比，從圖形、方程、焦點坐標等歸納相同點和不同點。師生共同歸納口訣：“標準方程要牢記，左邊加來右邊1，大是a來小是b，焦點與a永不離。”并將判定焦點所在軸的方法凝練成“大底定軸”四個字。口訣化的方法易學易懂，幫助學生快速掌握兩類橢圓的標準方程。

3.知識鞏固。本環(huán)節(jié)主要通過例題和練習來鞏固所學的新知，分三個環(huán)節(jié)。

（1）快問快答。已知方程求焦點所在軸及a、b的值。①x²/25+y²/16=1;②y²/9+x²/5=1。

說明：通過快問快答的形式，檢測學生判定焦點及參數(shù)a、b的掌握隋況，并強化“口訣”方法的運用。

（2）例題講解。例題1：已知橢圓的焦點在軸上，焦距為8，橢圓上的點到這兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程。（根據(jù)已知條件求方程）

說明：此題重在考查學生對定義的理解，通過作圖演示，將距離之和轉化為2a，定點間距離轉化為2c，利用參數(shù)關系求出6的值，從而求出標準方程。

例題2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/5+y²/4=1;②2x²+y²=16。

說明：兩道題分標準方程和非標準方程兩種情況，焦點在不同軸時，焦點坐標的寫法不同，學生容易出錯。為了解決這個易錯點，從簡單的標準方程入手，再到非標準方程，數(shù)形結合分析解決問題。

（3）練習提升。練習1采用拖拽游戲的形式，重在訓練學生判定焦點和求a、b、c的方法。教師通過平臺推送小游戲，學生利用手機進行操作，拖拽的形式如做游戲，極大提高學生的興趣。

練習2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/25+y²/9=1;②7y²+9x²=63。

根據(jù)條件求焦點，學生需將答案規(guī)范寫在學案并拍照上傳至云平臺，學生代表利用一體機進行展示與講解。針對學生重思路分析，輕計算過程與規(guī)范表達的情況。引用華為故事，5G技術是復雜算法的突破，任何一個細小的錯誤都無法完成，激勵學生提高計算能力，養(yǎng)成嚴謹規(guī)范的做題習慣，適時進行思政教育。

4.在線小測。圍繞本課的重難點，設置了五道不同層次的在線測試題，教師通過藍墨云班課發(fā)布測試題，講解答題規(guī)則，借助平臺的即測即改功能，得到每個學生的準確答題情況，便于開展針對f生輔導。

5.實際應用。教師讓各組拿出生活中的橢圓形實物，用游標卡尺或直尺測量橢圓實物的尺寸，設計用“兩釘一線法”畫此橢圓圖形的方案。并將方案上傳至藍墨云班課平臺，小組代表現(xiàn)場分享。通過合作學習，將新知運用到解決實際問題中，通過應用提高知識的理解。

6.作業(yè)布置。設計了數(shù)學基礎作業(yè)和實踐拓展作業(yè)，適度分層分類，符合模具專業(yè)學生動手能力強的學習特點。

（三）課后提升

學生課后除了完成數(shù)學基礎作業(yè)，還學以致用，將學到的知識應用到模具專業(yè)的學習中。車標制作小組（如圖4）和畫橢圓形花壇小組（如圖5），都在深刻理解了橢圓定義的基礎上，能根據(jù)橢圓方程的參數(shù)關系熟練計算焦距、長軸和短軸長。

圖4

圖5

三、教學反思

（一）課前準備精準分析學情，優(yōu)化教學設計

準確的學情分析，是做好教學設計的重要前提，只有充分了解學生的學情，才能設計適合學生的教學內容、教學活動、實施策略等。而學情的分析也要改變單一的知識方面的分析，要多方面分析。課前準備通過觀看問題視頻和繪制橢圓的微課，讓學生帶著問題去學習，更能激發(fā)學生的學習興趣。通過數(shù)學知識的測試發(fā)現(xiàn)學生存在的不足，進一步優(yōu)化教學設計，教師也能帶著問題去教學，做到心中有數(shù)。

（二）課堂實施層層遞進探索，符合認知規(guī)律

課堂實施分為“情境導入、合作探究、知識鞏固、在線小測、實際應用、作業(yè)布置”六個環(huán)節(jié)，各環(huán)節(jié)相互聯(lián)系，層層遞進。注重學生對知識自主建構的過程，突出以學生為中心的教學思想。比如學生用兩釘一線法畫橢圓，通過畫圖過程的思考，自行建構橢圓的定義。橢圓方程的推導過程是難點，將推導過程分成“建、設、寫、列、化”五個步驟，也是從簡單到復雜，從學生熟悉的建坐標系，設動點，兩點間的距離公式等知識，逐漸到化簡等復雜的內容。為了得到橢圓兩種焦點的方程，先從焦點在x軸上的方程開始，通過探索定義、推導方程、解析參數(shù)、歸納口訣等步驟，逐步推進，比較透徹地學習了焦點在x軸上的橢圓定義和方程之后，再通過類比學習的方法，學習焦點在y軸上的橢圓的方程。這樣的設計符合學生的認知規(guī)律。

（三）課后拓展深度融合專業(yè)，提升核心素養(yǎng)

中職學生具有比較鮮明的專業(yè)特點，本課例中教學的對象為模具專業(yè)學生，而且是模具升學班的學生，他們的數(shù)學學習基礎和學習動力都明顯好于模具專業(yè)非升學班的學生。將數(shù)學知識應用到專業(yè)學習中，對數(shù)學知識的理解和掌握提出了更高的要求。本課課后提升的任務中有結合專業(yè)的應用題，小組學生通過測量豐田汽車車標中的橢圓尺寸，借助CAD制圖軟件進行設計，通過3D打印制作了一個豐田車標，這讓學生體會到學習數(shù)學的價值。中職數(shù)學新課標也指出：“中等職業(yè)學校數(shù)學課程是中等職業(yè)學校各專業(yè)學生必修的公共基礎課程，承載著落實立德樹人根本任務、發(fā)展素質教育的功能，具有基礎性、發(fā)展性、應用性和職業(yè)性等特點。”與專業(yè)學習融合，就體現(xiàn)了中職數(shù)學的職業(yè)性特點。