一類非線性四階偏微分方程的精確解研究

趙欣，李秀梅，汪穎 ，張繼紅，梁波

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028) *

非線性偏微分方程的精確解研究在實(shí)際中十分重要.研究方法上包括李群對稱分析方法、級數(shù)展開法等.文獻(xiàn)[1-2]利用Backlund變換并結(jié)合李對稱分析方法和冪級數(shù)展開法對一類非線性偏微分方程給出了精確解分析.文獻(xiàn)[3-4]則研究了一類非線性四階偏微分方程的精確解.文獻(xiàn)[5]對一類非線性四階偏微分方程求出數(shù)值結(jié)果.本文是結(jié)合經(jīng)典方法，對四階非線性偏微分方程進(jìn)行計(jì)算和研究得出求精確解的一種方法.

本文研究一類非線性四階偏微分方程：

(1)

的精確解，其中k,λ,μ,c,f,g,h均為常數(shù).

1 精確解分析

1.1 方程處理

令u(x,t)=φ(x,t)+R,代入到式(1)中有

(2)

對式(2)進(jìn)行約化有

(3)

令Φ=φ-φx，為了使式(3)中的每一項(xiàng)依賴于Φ或Φ的微分，要求其系數(shù)滿足條件：

解得

于是式(3)轉(zhuǎn)化為

(4)

1.2 求解過程

這里考慮兩種情況：

情況一：當(dāng)λ≠0時(shí),考慮方程Φ=0，即

φ-φx=0.

基本解組為φ(x,t)=A(t)ex

其中A(t)是任意函數(shù).

情況二：當(dāng)λ=0,k≠0時(shí)，則式(4)化為

-kΦxx-Φtt+kΦxxx=0

(5)

此時(shí)介紹三種研究方案：

方案一：若

Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt

其中c,d為任意常數(shù).可求得基本解組為

φ(x,t)=A(t)ex+cx+dt

其中，A(t)是任意函數(shù).

方案二：若

Φ=φ-φx，φ-φx=x2-kt2,

故基本解組為：

φ(x,t)=A(t)ex+x2-kt2,

其中A(t)是任意函數(shù).

方案三：若Φ=φ-φx，

φ-φx=x3-3k(x-1)t2

基本解組為

φ(x,t)=A(t)ex+x3-3k(x-1)t2

其中A(t)是任意函數(shù).

1.3 推廣

(6)

對式(6)求解得

故式(3)轉(zhuǎn)化為

(7)

此時(shí)考慮兩種情況.

情況一：λ≠0,考慮方程Φ=0.求得基礎(chǔ)解組為

φ(x,t)=A(t)eαx

其中A(t)是任意函數(shù).

情況二：當(dāng)λ=0,k≠0時(shí)，則式(7)轉(zhuǎn)化為

(8)

此時(shí)有如下方案給出精確解.

方案一：若

Φ=φ-φx，φ-φx=cx+dt+e

其中c,d,e為任意常數(shù). 基本解組為

φ(x,t)=A(t)eαx+cx+dt+e

其中A(t)是任意函數(shù).

方案二：若Φ=φ-φx,

其中b,e,c為任意常數(shù). 基本解組為

其中A(t)是任意函數(shù).

由方案一和方案二，可得廣義形式

這里假設(shè)函數(shù)f(x)和g(t)分別關(guān)于x和t足夠光滑，且f?(x)=0.若滿足條件

kfxx+αgtt=0.

此時(shí)基本解組為

φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+g(t)

其中A(t)是任意函數(shù).

方案三：若Φ=φ-φx,

其中a,b,c為任意常數(shù).

它的基本解組為

其中A(t)是任意函數(shù).

方案四：若Φ=φ-φx,

其中a,b,c為任意常數(shù).

它的基本解組為

其中A(t)是任意函數(shù).

由方案三和方案四，可得廣義形式：

這里假設(shè)函數(shù)g(t),f(x)及h(x)足夠光滑.

若g″(t)=0，及

或者，若g″(t)=c(c≠0)，只要滿足下面條件

基本解組為

φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+h(x)g(t)

其中A(t)是任意函數(shù).

2 一類三階方程的算法擴(kuò)展

考慮三階非線性偏微分方程，形式如下

(9)

其中f關(guān)于x至少具有一階導(dǎo)數(shù)，μ,a,b,c,k,r,w均為常數(shù).

令u(x,t)=φ(x,t)+R，將其代入式(9)得：

(10)

將式(10)進(jìn)行約化得：

(11)

令Φ=φxx+αφx+βφ+f，其中β≠0,α為任意常數(shù). 為使式(11)的每一項(xiàng)均包含Φ或者Φ的n階導(dǎo)數(shù)，則系數(shù)須滿足關(guān)系

故將(11)化為

-βΦt+βφxΦ+βφΦx=kΦ

(12)

此時(shí)只需求解方程Φ=0，同時(shí)注意到Φ=φxx+αφx+βφ+f=0是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，易得該方程一般形式的解. 為獲得式(9)一系列精確解，可進(jìn)行變形，式(11)的每一項(xiàng)都依賴于Φ或者Φ的n階微分，那么當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，則φ(x,t)是式(12)的解. 實(shí)際上，在式(12)中，當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，φ(x,t)也是(9)的解. 通過改變常數(shù)的值，推廣了方程Φ=0的基礎(chǔ)解，從而得到了(9)一系列精確解.

3 精確解波形圖分析

根據(jù)所求得的精確解，繪圖時(shí)都取λ=1,k=-4,α=1；利用Matlab軟件將幾個(gè)典型的波形圖繪制如圖1～4所示.

(1)A(t)=sin(t)+cos(t),x∈[-20,20],t∈[-10,10]時(shí)，其波形如圖1所示.

圖1 x∈[-20,20],t∈[-10,10]時(shí)波形圖

(2)A(t)=sin(t)+cos(t),x=-2,t∈[-10,10]時(shí)， 其波形如圖2所示.

圖2 x=-2,t∈[-10,10] 時(shí)波形圖

(3)A(t)=sh(t),x∈[-1,1],t∈[-50,50]時(shí)，其波形如圖3所示.

圖3 x∈[-1,1],t∈[-50,50]時(shí)波形圖

(4)A(t)=sh(t),x=-1,t∈[-50,50]時(shí)，其波形如圖4所示.

圖4 x∈[-1,1],t=50時(shí)波形圖

4 結(jié)論

本文通過將非線性四階偏微分方程約化為常微分方程的方法，簡化了方程結(jié)構(gòu)及復(fù)雜的計(jì)算，從而獲得解的基本形式. 利用參數(shù)的變化取得一系列精確解. 遵循四階方程研究的研究思路，將精確解求法推廣到一類三階非線性偏微分方程上. 最后， 利用Matlab軟件繪制出了幾個(gè)典型情形下

的波形圖. 本文的方法為簡化求解提供了參考.