通過復變函數中的幾個例子看AR技術在數學教學上的應用

涂昆 蘇怡穎 曹汐

摘要：在科學技術不斷發展的今天，各種各樣的教學輔助用具走入了課堂，增強現實（augmented reality，AR）技術同樣能應用于教學。該文主要以較為抽象的復變函數為例，利用Mathematica軟件來實現復變函數的可視化，加深學生對知識的理解，增強教師課堂教學的效果。在未來研究中，AR技術應更加深入教學，形成良好的課堂交互環境，引領課堂教學的新方向。

關鍵詞：增強現實? 復變函數可視化? 傳統教學? 數學教育? Mathematica

中圖分類號：O174.5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2021）02（a）-0222-04

The application of AR technology in mathetical teaching via several examples of complex function

TU Kun*? SU Yiying? CAO Xi

（College of Mathematical Science， Yangzhou University，Yangzhou， Jiangsu Province， 225002 China）

Abstract： In today's continuous development of science and technology， a variety of teaching aids into the classroom， AR （augmented reality） technology can also be applied to teaching. This paper mainly uses the more abstract complex function as an example， uses Mathematica software to realize the visualization of the complex function， deepens the students' understanding of knowledge， and enhances the effect of teachers' classroom teaching. In the future research， AR technology should be more in-depth teaching， form a good classroom interaction environment， leading the new direction of classroom teaching.

Key Words： Augmented reality; Visualization of the complex function; Traditional teaching; Mathematical education; Mathematica

1? 傳統教學方式及其局限

在現有認知里，傳統的課堂教學主要是老師借助黑板、多媒體等教學工具對學生進行一對多的教學，雖然這是普遍的一種教學方式，但隨著時代的發展，這存在一定局限。從學生層面來看，傳統的教學不利于學生的沉浸感，對于一些晦澀難懂的知識沒有直觀的體驗。比如，涉及到三維立體方面的學習，需要學生們擁有良好的空間感以及想象能力，現有的教學工具或許并不能很好地展現一個三維立體圖形，這樣對于學生們來說，對知識的理解就較為生澀;再比如一些復雜的函數，圖像的難以精確繪制也會使學生對于一些數學問題的理解出現偏差。

AR技術是當下發展的熱門，是一種將虛擬信息與真實世界融合的技術，將計算機生成的圖像、音樂、視頻、文字、三維模型等虛擬信息模擬仿真后，應用到真實的世界中去，這兩種信息相輔相成，以此來實現對現實的“增強”[1]。如果可以把AR技術很好地融入教學中，那將會極大提高教學質量以及學生對于學習的興趣。

2? 增強現實的特性與教育潛力

在科學技術不斷發展的今天，傳統的教育方式已無法滿足日漸提高的教育要求，黑板、投影儀等平面設備限制了教學場景的多樣性，而AR技術將平面延伸，模擬難以講解的教學場景，展現現實生活里難以觀察到的自然現象或事物變化的過程。AR可以被定義為一個滿足三個基本特征的系統：真實世界和虛擬世界的融合、實時交互以及真實物體和虛擬物體在3D空間中的精確注冊[2]。

在教育領域中，盡管基于AR技術的虛擬學習環境仍然是一個處于初步發展的新生事物，但它的部分特征與某些教育理論上的觀點較為一致。行為主義理論認為，學習是刺激和反應之間的聯結，而行為是學習者對環境刺激所做出的反應。關于學校教育實踐方面，行為主義學習理論要求為學生創設一種最佳的學習環境，在AR技術的作用下，學習者與環境交流互動，可以得到即時的反饋結果，并由此決定下一步操作，從而建立起知識與反應之間的聯結。另外，心理學家讓·皮亞杰的建構主義學習理論中，把幫助學生構建有意義的情境創設問題看作是教學設計的重要內容之一，而AR虛擬學習環境包含了豐富的表現場所與建構工具包，可以幫助學生更好地獲取知識[3]。

AR技術在教學的應用上有許多引人注目的優點，比如：

（1）將抽象的學習內容可視化、形象化。

（2）支持泛在環境下的情境式學習。

（3）提升學習者的直覺性和專注度。

（4）使用自然方式交互學習對象。

（5）將正式學習和非正式學習充分結合[2]。

3? 在復變函數教學中的應用

3.1 初等函數的可視化

初等復變函數是實變量初等函數在復數域上的推廣，由于初等復變函數涉及四維空間，難以想象出具體的函數圖像，所以借助可視化來使其圖像具體化，更便于之后進一步的學習。在此，我們利用Mathematica軟件實現圖像可視化[5]，具體的例子如下。

3.1.1 復變指數函數

形如的函數稱為復變指數函數。

復變指數函數的圖像如圖1所示。

代碼如下：

3.1.2 復變對數函數

形如 的函數稱為復變對數函數。

復變對數函數的圖像如圖2所示。

代碼如下：

3.1.3 復變三角函數

下面就以最簡單的正弦函數為例：

復變正弦函數的圖像如圖3所示。

代碼如下：

3.2 多連通區域的積分

復平面上的一個區域D，在其中任意作一條簡單的連續閉曲線，如果曲線的內部都含于D，則是單連通區域。而多連通區域就是指非單連通區域，多連通區域D上的解析函數的變上限積分不僅依賴于z，還依賴于積分路徑和函數關于洞是否恰當。

例題：

在圓環，（其中，），在D內解析，現在D內取兩點為、，連接兩點的曲線為C1、C2，求在這兩條路徑上的積分是否相同？

解：

設輔角為，則另一個輔角為

假設，其中r為z的模，為輔角，則

則

同理，

由此可見，當 不等于 時，函數 在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數此時具有多值性。

上述解法為常規計算方法，從理論上推導出了多連通區域上的函數積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

由此可見，當不等于時，函數在兩條路徑上的積分不相等。

即，該函數此時具有多值性。

上述解法為常規計算方法，從理論上推導出了多連通區域上的函數積分具有多值性，而借助Mathematica軟件則可直接繪出圖像，更直觀更容易地看出其具有多值性。

如圖4可見：

代碼如下：

4? AR技術的局限性

4.1 技術不完善

雖然AR技術已經有了一定的發展基礎，但目前仍主要應用于工業市場，由于技術瓶頸未能得到突破，導致此技術還不能完全走入大眾消費市場。具體的技術瓶頸如終端計算能力、物體的深度信息及低分辨率的顯示技術等等，這些都還有待解決和突破。

4.2 對移動終端過于依賴

移動終端的性能對于AR技術是否能夠在移動互聯網上實現廣泛的應用至關重要[6]。如果移動終端的性能不足以滿足AR技術的應用要求，那將會對AR技術的推廣起到一定的限制作用[7]。

4.3 教師實際需求與AR技術專業產品的脫節

一方面由于技術限制，許多教師難以結合自身教學內容進行自主AR技術的開發，需要更多易理解、易操作、易實現的AR產品研發出來方便教師使用。另一方面，在短期內，專業技術公司所提供的教學產品與教師的實際教學也需要不斷磨合，現有的AR產品往往也不適用，不能很好地對應教學內容。

5? 結語

雖然AR技術應用于教學仍然處于初步階段，但隨著目前大數據時代的發展以及人們對于這項技術的需求，我們有理由相信在未來的某一天，通過不斷發揮AR技術的優勢，AR技術于教學的應用會被推廣并且為大眾所接受，為教育行業帶來一場深遠的革命。

參考文獻

[1] 文雋穎.交互界面設計在增強現實中的研究及應用[D].北京：北京郵電大學，2019.

[2] 蔡蘇，王沛文，楊陽，等.增強現實（AR）技術的教育應用綜述[J].遠程教育雜志，2016，34（5）：27-40.

[3] 蔡蘇，宋倩，唐瑤.增強現實學習環境的架構與實踐[J].中國電化教育，2011（8）：114-119，133.

[4] 王澤龍，謝美華.可視化在《復變函數》教學中的運用[J].高等數學研究，2016，19（4）：56-57，60.

[5] 劉志宏，李迎春，謝海，等.Mathematica軟件在《復變函數與積分變換》教學中的應用[J].當代教育實踐與教學研究，2020（9）：15-16，62.

[6] 莫莉敏.AR技術在職業教育中的應用前景初探[J].電腦知識與技術，2017，13（29）：213-215.

[7] 王東爍.基于移動端AR虛擬場景體驗的優化策略研究[D].北京：北京郵電大學，2019.