基于Kalman濾波與滑模控制的倒立擺控制器設計

韓治國， 許 錦， 陳能祥

（1.西北工業大學航天學院，西安710072；2.深圳前海格致科技有限公司，廣東深圳518052）

0 引 言

倒立擺實驗系統具有結構簡單、成本低等諸多優點，是進行經典控制理論與現代控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗教學與科研平臺［1-2］。倒立擺實驗系統具有非線性、強耦合等工程中十分普遍的特性，因模型本身具有右半平面極點，是一個天然不穩定系統，控制難度較大。在控制領域中，為了解決許多典型問題而提出的控制策略均可通過倒立擺實驗系統進行驗證，并且其控制效果可以通過擺桿和小車的穩定性很直觀地體現出來。因此，對該實驗系統的深入研究具有重要的理論及實際意義［3］。

針對倒立擺系統，目前已有較多成熟控制方法實現了對倒立擺的良好控制，如PD控制［4］、線性二次型最優控制［5-7］、輸出反饋控制［8］等，這些方法均在實驗條件下得到了較好的實驗效果。但是，這些方法在進行控制器設計時均假設系統狀態全部可測，或通過微分環節、高通濾波器獲取系統不可測狀態信息，這些方法要么不符合工程實際，要么會對噪聲進行放大，影響控制效果。針對該問題，文獻［7］中通過Kalman濾波降低噪聲對控制器設計帶來的影響。

本文在上述研究的基礎上，根據建立的直線一級倒立擺數學模型，基于連續時間Kalman濾波方程，實現對系統全部狀態的有效估計，并降低噪聲對系統狀態的影響。在此基礎上，基于滑模變結構控制理論進行了控制器設計。利用Matlab工具進行了仿真分析，并利用倒立擺實驗裝置成功驗證了本文設計的控制器。

1 直線一級倒立擺模型建立

直線一級倒立擺模型如圖1所示，在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統。圖中，l為擺桿轉動軸心到擺桿質心的長度；F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角。

圖1 直線一級倒立擺模型

本文采用深圳前海格致科技有限公司（原深圳市元創興科技有限公司）的倒立擺實驗裝置進行實驗驗證，該倒立擺的控制模式為采用電動機加速度作為控制輸入。因此，根據公開文獻，可建立如下式所示的以電動機加速度為輸入，小車位置、速度、擺桿角度和角速度為系統狀態、小車位置和擺桿角度為輸出的狀態空間模型：

式中：

u（t）為電動機加速度，也即本文的設計變量，m/s2；g＝9.81 m/s2為重力加速度，l＝0.152 5 m。

注釋1 本文未給出詳細建模過程，詳細過程讀者可查閱文獻［1-7］以及相關公開文獻。

式（1）所示系統模型是一個確定性的線性方程。但是，現實世界總是存在各種不確定性，如采集小車位置以及擺桿角度的編碼器，總是存在測量噪聲等。因此，需要在上述模型中考慮噪聲影響，因此，完整的數學模型如下式所示：

式中：G＝I4×4；w（t）、v（t）分別為過程噪聲和測量噪聲，并且滿足：

式中：q（t）是非負定對稱陣；r（t）是正定對稱陣。

從式（1）或（2）可以看出，該實驗系統能夠采集的信息為小車位置和擺桿角度，對于小車速度與擺桿角速度是不可測量的。因此，在進行控制器設計時，能夠利用的測量信息只有小車位置和擺桿角度。

2 連續時間Kalman濾波方程

由式（2）可知，實際系統模型包含過程噪聲和測量噪聲，因此，為了降低噪聲對系統狀態的影響，采用Kalman濾波理論對系統模型式（2）進行濾波。對于倒立擺系統，基于現代控制理論進行控制器設計時，需要利用系統的所有狀態信息進行控制律設計。但是，對于本文采用的倒立擺實驗裝置，只能測量小車的位移與擺桿的角度，采用現代控制理論進行控制器設計存在困難。因此，針對上述問題，本文采用連續時間系統Kalman濾波方法（系統模型為連續模型）降低噪聲對系統狀態的影響，同時獲取系統的全部狀態信息，方便控制器設計。連續時間Kalman濾波算法如下［9］：

式中：K（t）為Kalman濾波增益矩陣；P（t）為協方差矩陣。連續時間Kalman濾波狀態估計框圖如圖2所示［9］。

圖2 連續時間Kalman濾波狀態估計框圖

根據連續Kalman濾波原理及狀態估計框圖可以看出，通過Kalman濾波不僅可以降低噪聲對系統狀態的影響，而且可以對系統狀態進行估計。因此，通過Kalman濾波為后續基于現代控制理論進行控制器設計提供了便利。

3 滑模控制器設計

3.1 控制器設計

滑模變結構控制的運動過程可由兩個階段組成：第1階段是趨近階段，它完全位于滑模面之外，或者有限次地穿過滑模面；第2階段是滑動模態階段，完全位于滑模面上的滑動模態區［10-12］。因此，可將滑模變結構控制分為切換控制與等效控制：即

本文針對模型式（5），采用線性滑模面［13-14］：

為使系統能快速接近切換面，并且改善其抖振現象，采用如下新型趨近律［15-16］：

式中，

式中：arsh為反雙曲正弦函數；0＜δ＜1，η＞0，ε＞0；δ為fal（s，η，δ）在原點附近正負對稱線性段的區間長度，并且fal（s，η，δ）為非連續函數。

針對本文設計的滑模面（7）與趨近律（8），設計的控制律如下式所示：

3.2 穩定性證明

證明 選擇如下的Lyapunov函數：

求導可得：

將設計的控制律式（10）～（12）代入式（14），可得：

因此，本文設計的控制律漸進穩定。

4 仿真分析

4.1 計算機仿真

本文針對系統模型式（2），采用本文設計的控制律式（10）進行仿真驗證。滑模面參數：δ＝0.02，k＝6，η＝0.5，ε＝0.01。設定小車跟蹤位置x＝0 m，擺桿角度φ＝0°。噪聲方差：

根據上述仿真參數，仿真結果如圖3～7所示。

圖3 小車位移隨時間的變化曲線

圖4 小車速度隨時間的變化曲線

圖3 ～6（圖中，紅色曲線為實際值，綠色曲線為理論值，藍色曲線為濾波值）分別為小車位移、速度、擺桿角度、角速度曲線。從圖中可以看出，在系統含有噪聲情況下，通過Kalman濾波，能夠獲得對系統狀態的高精度估計（藍色曲線幾乎與綠色曲線重合，只是小車位移略有偏差，但是偏差在5 mm范圍內）。同時，能夠降低噪聲對系統狀態的影響（見圖5和圖6中藍色曲線低于紅色曲線）。

圖5 擺桿角度隨時間的變化曲線

圖6 擺桿角速度隨時間的變化曲線

圖7 為系統控制量曲線，可以看出，在系統穩定過程中，系統控制量均很小，最大約2.3 m/s2。另外，從圖中可以看出，3 s后，系統趨于穩定，但是受噪聲影響，系統控制量在微小范圍內存在波動現象。

圖8 為系統理論控制量變化曲線。對比圖7和圖8可以看出，采用Kalman濾波估計的系統狀態進行控制器設計所得結果與采用理論狀態進行控制器設計所得結果幾乎完全相同，只是在系統穩定后，系統噪聲依然對控制性能具有一定的影響。

圖7 控制量隨時間的變化曲線

圖8 系統理論控制量變化曲線

圖9 采用微分方式獲取系統狀態仿真結果

作為對比，本文給出部分文獻采用du/dt方式獲取小車速度與擺桿角速度后進行控制實驗，仿真結果如圖8所示。從圖中可以看出，利用微分方式獲取的系統狀態，采用同樣的控制方法，無法實現對倒立擺系統的有效控制。

4.2 實驗驗證

根據本文設計的控制器，采用倒立擺實驗裝置進一步驗證本文所設計的控制器的有效性，實驗控制程序界面如圖10所示（目前已實現的算法有10余種），實驗結果如圖11～13所示（設定小車跟蹤位置為0.1 m，擺桿跟蹤角度為0°）。圖11為實驗效果圖，可以看出，利用本文設計的控制器，倒立擺擺桿穩定性很好。圖12為倒立擺實驗小車位移曲線，可以看出，在實際實驗時，小車不可能完全靜止，會在較小的范圍（0.02 m）內來回波動。圖13為倒立擺實驗擺桿角度曲線，可以看出，擺桿控制精度非常高。

圖10 實驗控制程序界面

圖11 運行中的倒立擺實驗系統

圖12 倒立擺實驗小車位移曲線

圖13 倒立擺實驗擺桿角度曲線

注釋2 因本文沒有給出倒立擺起擺過程，實驗時用手旋轉倒立擺至豎直狀態，故實驗開始時，輸出曲線不是期望值，采集幀數約為1 000次后，系統進行穩定狀態。

5 結 語

本文針對倒立擺控制器設計中存在的測量噪聲與系統狀態不完全可測的問題，基于Kalman濾波與滑模變結構控制理論進行了控制器設計。基于Kalman濾波理論，降低噪聲對系統狀態的影響，同時能夠獲取系統所有狀態信息。根據獲取的系統全部狀態信息，基于滑模變結構控制理論進行了控制器設計。通過理論分析、計算機仿真驗證與實驗驗證，驗證了本文設計的控制器的有效性，解決了工程應用中噪聲的影響以及系統狀態不完全可測的應用難題。