鎂金屬孿晶變形的實驗和理論模型研究進展

甘元超

（中國工程物理研究院流體物理研究所，四川 綿陽 621999）

鎂、鈦等密排六方（Hexagonal close-packed，HCP）金屬由于具有低密度、高比強度等優點，在航空航天、國防軍事和生物醫學等領域被廣泛應用。這類HCP 金屬作為防護結構材料時，其作用環境往往有高溫、高壓、高應變率、強沖擊等特點。材料在這種極端條件下的變形和破壞是一個復雜的動態過程，宏觀上表現為材料的形狀、粒子速度和應力/應變等在短時間內發生劇烈變化，微觀上則呈現出材料位錯密度和織構不斷變化以及產生孿晶成核、成長和退孿晶等變形機制[1]。純鎂及大部分鎂合金的塑性變形機制有基面、柱面、錐面滑移和錐面孿生。在室溫變形中，由于柱面和錐面滑移的臨界分解剪應力（CRSS）遠高于基面滑移而不易被啟動，只有基面和柱面上3 個密排方向組成了2 個獨立滑移系，提供垂直于c軸方向的應變，而平行于c軸方向的應變主要由錐面孿生產生，所以在HCP 金屬中往往表現出較強的孿晶行為。伴隨著孿晶的成核和成長，進一步促進了材料的塑性變形，并且孿晶有時也是材料的破壞源[2]。

相對于位錯滑移，孿晶變形主要具有兩個特點：一是孿晶變形具有極性，孿晶剪切變形只出現在一個方向上，相反方向并不發生變形，而滑移一般在兩個方向都可以產生變形；二是孿晶變形會導致變形區域相對于未變形區域（一般以基體表示）成鏡面對稱關系，使得變形后孿晶區域的晶粒取向發生變化，這種變化可以使得變形前具有硬取向的晶粒向軟取向轉化，促進產生新的位錯滑移以及變形孿晶，從而提升金屬材料的塑性變形能力。激活鎂金屬位錯滑移的CRSS 一般在1～100 MPa 范圍內，但激活孿晶則需要更大的應力，所以初始時會產生一定的位錯滑移變形，進而促進孿晶的產生，這在變形階段較為常見。孿晶的形成過程一般可描述為孿晶成核、擴展和增長等：當外加載荷達到一定強度時，孿晶在晶界、位錯和雜質等附近產生成核；在外力的持續作用下，孿晶沿著孿晶面向孿晶方向擴展，最終達到另一側的晶界或位錯等結構，阻礙孿晶的進一步擴展。部分學者指出，孿晶成核需要的應力較大，而孿晶擴展時所需的應力較小。同時在與孿晶面不平行的作用力下，孿晶會沿著垂直于孿晶面方向增長，使得孿晶的厚度增加，孿晶區域逐漸形成一個橢球，最終孿晶區域占據大半部分晶粒，晶粒的取向和晶界等發生變化，在孿晶區域進一步產生滑移和二次孿晶。當孿晶形成后，沿初始載荷相反的方向加載可能會產生退孿晶，使得孿晶區域縮小或者消失。由于退孿晶不需要孿晶成核，只是孿晶界面向孿晶區域移動，所以退孿晶所需的應力低于孿晶。退孿晶在工程材料加工中應用較多，許多學者研究發現，在鎂合金中退孿晶行為往往會使材料的屈服強度下降，通過對材料進行退火或引入二次孿晶能夠有效抑制退孿晶[2–4]。

影響孿晶變形行為的因素很多，如取向織構、晶粒尺寸、應變率、溫度、晶格結構和應力狀態等。在準靜態和中低應變率（< 104s?1）下，可通過實驗和理論模擬研究晶粒尺寸和取向織構等因素對于孿晶變形行為的影響，普遍認為晶粒增大在一定范圍內對孿晶的增長起促進作用，而晶粒取向與孿晶成核有較為直接的關系。但在高應變率下，孿晶的成核和成長機理與準靜態有所不同。同時在強沖擊載荷下，溫度和應變率更加難以控制，且變形歷時很短（一般小于1 μs），物理量和微觀結構變化劇烈，使得研究強沖擊載荷下孿晶的變形行為較為困難。本文將簡要介紹鎂金屬中孿晶變形機理的研究進展，評述晶粒取向、晶粒尺寸和應變率等因素對孿晶變形成核和成長影響的實驗和理論模擬進展，最后展望相關實驗方法和理論模型的應用。

1 鎂金屬孿晶變形實驗研究

孿晶變形是晶粒內的局部變形，與材料的微結構特征密切相關，在影響孿晶激活和成長的因素中，科研人員對晶粒尺寸、取向織構和應變率等進行了大量研究。相關研究表明：晶粒取向與孿晶的成核有直接的關系；晶粒尺寸對孿晶的增殖和成長有較大的影響；而應變率的影響較為復雜，特別是在高應變率（> 105s?1）的沖擊載荷下，受實驗條件限制，對孿晶成核和成長過程的原位研究相對較少，更多是在實驗后對樣品進行回收表征，反推孿晶在材料變形過程中可能的機理。

1.1 取向織構對孿晶變形的影響

晶粒取向對孿晶成核有直接的影響，當作用在晶粒內的外部荷載一定時，晶粒取向的Schmid 因子（SF）決定了作用在孿晶面上的分解剪切應力（RSS）大小，當RSS 逐漸增長至大于或等于該孿晶的成核CRSS 時，孿晶發生成核，即孿晶的啟動一般是通過與晶粒取向密切相關的Schmid 定律來判定的[5]。Park 等[6]進行了不同方向上的Mg-3Al-1Zn 鎂合金準靜態壓縮實驗，發現{1012}孿晶出現在基體中，{1012}-{1012}雙孿晶和{1012}退孿晶出現在孿晶帶中，通過電子背散射衍射（EBSD）和SF 分析發現，SF 和晶粒尺寸的耦合作用決定了孿晶的選擇機制。Xu 等[7]在孿晶主導的變形中發現，對樣品沿橫向（TD）拉伸與沿擠壓方向（ED）或TD 方向壓縮產生的應力-應變曲線形狀明顯不同，在應變為拉伸時產生拉伸孿晶，壓縮時則出現雙孿晶。

圖1 孿晶晶粒數與孿晶Schmid 因子的關系[8]Fig. 1 Relationship between twin grain number and twin Schmid factor[8]

但孿晶并不是必須發生在所有具有相同取向的晶粒內，Beyerlein 等[8]進行了純鎂在室溫和準靜態（10?3s?1）下的壓縮實驗，通過EBSD 研究了材料變形后的孿晶特征，分析了晶粒取向和晶體尺寸對孿晶成核和成長的影響，發現隨著晶粒SF 的增大，孿晶發生率也隨之上升，而在SF 較低的晶粒內，孿晶的成核幾率降低，如圖1 所示。他們進一步指出：在較寬SF 范圍內晶粒均出現了孿晶變形，說明孿晶并不只出現在最容易產生孿晶的晶粒內（SF > 0.375）；SF 在0.375～0.5 區間時晶粒內同樣存在非孿晶區域，說明孿晶并不只在最優取向的晶粒內成核，孿晶成核同時受其他因素的影響。一些研究也發現，孿晶不一定發生在SF 最大的晶粒內，有時會優先發生在能夠實現應變兼容和最小塑性功的鄰近晶粒內。Jonas 等[9]研究鎂合金中的壓縮孿晶時發現，當半數孿晶的SF 在0.3～0.5 范圍內，而接近半數孿晶的SF 在0.15～0.30 范圍內時，甚至5%孿晶的SF 在0.03～0.15 范圍內，同樣部分高SF 孿晶并未產生，這種產生低SF 孿晶的現象可解釋為臨近晶粒之間的應變兼容。如圖2(a)所示，孿晶區域（紅色邊界）貫穿的晶粒擁有較硬的晶粒取向，容易產生孿晶，而臨近晶粒的取向則不易產生孿晶，但由于孿晶在晶界上形成了應變梯度，致使較低SF 的晶粒中也產生孿晶。Mu 等[10]在鎂合金中通過Taylor 模型指出，應變兼容與最小塑性功的原理是一致的，擁有最低SF（0.323）的孿晶變體僅需要較低能量即可被激活，而高SF 孿晶變體則需要較高的能量才能激活。

圖2 (a)應變為0.08 時AM30 樣品2 個壓縮孿晶的EBSD 圖（黑色圓圈表示應變兼容）；(b)臨近軋制方向取向的晶粒內形成的{1011}壓縮孿晶（紅色）的EBSD 圖；(c) 2(b)圖中基體的(0002)極圖（黑色六邊形）、6 個孿晶取向（黑色正方形）和選擇的臨近晶粒孿晶取向（黑色圈內）以及它們的Schmid 因子[9]Fig. 2 (a) EBSD map of AM30 sample pulled to 0.08 strain showing two contraction twins (The black circles indicate strain compatibility.); (b) EBSD map of a {1011} contraction twin (in red) formed within a near rolling direction orientation;(c) (0002) pole figure for the Fig.2 (b) matrix (black hexagon), the six twin variants (black squares),the selected variant (circled in black), and their respective Schmid factors[9]

Barnett 等[11]在研究鎂合金時發現，{1011}主孿晶與Schmid 定律吻合較好，而{1012}主孿晶相對于{1011}主孿晶與Schmid 定律偏離，但發生在{1011}孿晶區域內的{1012}二次孿晶并不符合Schmid 定律，這種非Schmid 行為發生的原因可能是{1012}二次孿晶發生在主孿晶形成的區域內必須為主孿晶和二次孿晶共面提供最小的應變兼容。Lou 等[12]進一步指出，這種晶粒之間的應變兼容使得局部應力發生波動，致使孿晶出現在偏離高SF 的區域。Song 等[13]通過晶體學分析發現，大多數晶粒內的孿晶選擇與Schmid 定律是一致的，同時在晶界孿晶與孿晶的相互作用下，局部應變兼容也是一個重要因素。目前看來，SF 并不能作為判定孿晶啟動的唯一因素，許多學者對Schmid 定律進行了修改，如采用修正Schmid 因子（MSF）[14–15]、有效Schmid 因子（ESF）[16]、廣義Schmid 因子（GSF）[17]和組合Schmid因子（CSF）[18]等。Guo 等[19]通過SF 和應變兼容因子聯合分析{1012}孿晶的成核機理，{1012}孿晶對出現在SF 和應變兼容較大的臨近晶粒內的可能性更大，這種孿晶對可以穿越多個晶粒，在超過3 個晶粒后形成孿晶鏈。Liu 等[20]從滑移對晶界的沖擊進而刺激孿晶產生出發，同樣引入了一個描述滑移和孿晶的幾何兼容因子，發現晶界處的應變轉移在孿晶成核中起到了重要作用。Shi 等[21]也表示，低SF 孿晶 的形成需考慮臨近晶粒內的變形機制，受到多種不同變形機制（包括高CRSS）的共同調節作用。

1.2 晶粒尺寸對孿晶變形的影響

研究發現，在一些金屬中，隨著晶粒尺寸的增大，孿晶的體積分數也會增加[22]。晶界處的應力集中對孿晶成核有促進作用，晶粒的增大使得晶界面積增大，從而影響孿晶的成核密度；另一方面，晶粒的大小也會限制孿晶的成長，較小晶粒內生成的孿晶也較小。Kim 等[23–24]在預壓縮的鎂合金中發現，粗晶粒內{1012}孿晶比細晶粒內更多，這是由于孿晶應力降低和孿晶SF 增加的共同作用，同時粗晶粒內擁有更大的孿晶體積分數、更劇烈的織構和更少的孿晶邊界。Dobroň等[25]采用聲發射技術對AZ31 鎂合金在壓縮下的孿晶變形進行研究，結合EBSD 確定{1012}孿晶更加偏好于大晶粒，但隨著塑性變形的進行，{1012}孿晶同樣也會在較小晶粒內產生。Beyerlein 等[8]和Ghaderi 等[26]指出，隨著晶粒面積改變，鎂中的孿晶數量有所變化，但孿晶厚度變化不大，這或許說明晶粒尺寸對鎂中的孿晶成核影響較大而對孿晶成長影響較小，并且發現只有那些存在孿晶的晶粒會呈現出孿晶隨著晶粒面積增大而增大的特點。Kumar 等[27]進一步比較了鎂、鈦和鋯的孿晶變形特點，發現拉伸孿晶（Tensile twin，TT）和壓縮孿晶（Compression twin，CT）的數量和厚度隨著晶粒面積的變化發生了不同程度的變化。如圖3 所示，在晶粒尺寸較小時，孿晶的成核幾率隨著晶粒尺寸的增大而增加，當晶粒尺寸達到一定值時成核孿晶達到飽和狀態。鎂的拉伸孿晶厚度和數量與晶粒尺寸關系不大，而鈦和鋯的拉伸孿晶分別在孿晶厚度和孿晶數量上均呈明顯增長。Asgari 等[28]采用霍普金森壓桿（SHPB）對晶粒尺寸為6、18 和37 μm 的鎂合金在應變率為1 100 s?1的沖擊載荷下進行了動態力學研究，發現相同沖擊載荷下較粗晶粒的孿晶體積分數更大且應變硬化率更高，而細晶粒則表現出更好的強度和延展性，增大晶粒尺寸后的孿晶中同時觀測到了雙孿晶和壓縮孿晶的激活和形成。

圖3 晶粒內孿晶數量和厚度隨晶粒面積的變化[27]Fig. 3 Evolution of the number and thickness of twins with grain area[27]

金屬材料的屈服強度和流動應力與晶粒尺寸之間的關系一般是基于Hall-Petch 等式，該等式可以簡單描述為應力與晶粒直徑平方根的倒數成線性關系。Hall-Petch 等式一般適用于以孿晶為主導變形的材料中[5,29]，但與位錯滑移相比，孿晶主導的Hall-Petch 關系的斜率更大些[30]，同時也表明孿晶應力對晶粒尺寸更敏感。Marcinkowski 等[31]將這種斜率更大現象的原因解釋為非最優孿晶取向和較高孿晶成核應力的聯合，Armstrong 等[32]則強調孿晶伴隨著局部微塑性導致應力集中，而滑移導致的變形更加均勻統一。Hong 等[33]進一步將孿晶界對應力的促進解釋為孿晶誘導晶粒尺寸變小，通過Hall-Petch關系使得晶粒內應力增加。Bohlen 等[34]進行了鎂合金擠壓研究，發現在沿著ED 方向壓縮下{1012}孿晶的Hall-Petch 斜率是沿著ED 方向拉伸下位錯滑移的1.58 倍。Yu 等[35–36]也對鎂合金的Hall-Petch 斜率進行了綜合性研究，其中取向織構、晶粒尺寸和溫度對斜率都有重要的影響，同樣這些因素對孿晶變形的影響也較大，或許是通過孿晶為主的變形機制實現對斜率的作用。Somekawa 等[37]研究了固溶體對鎂合金孿晶Hall-Petch 的影響，發現Hall-Petch 中初始應力 σ0的增長順序為：Mg–Y > Mg–Zn > Mg，說明固溶體具有強化效應，而合金元素對Hall-Petch 斜率的影響并不是很大。在進一步的實驗中發現，影響Hall-Petch 斜率最大的因素并不是SF，而是晶界的特征。對于非均勻晶粒材料，Hall-Petch 關系可能并不適用，Jin 等[38]針對具有雙峰晶粒的鎂合金，發現在細晶粒中屈服強度由位錯滑移控制，而粗晶粒中由孿晶主導。他們對Hall-Petch 關系進行了修改，統計晶粒尺寸的百分比，通過晶粒尺寸的體積分數對不同階段的硬化曲線進行疊加計算，獲得不同晶粒尺度下的應力-應變曲線，如圖4 所示。

圖4 雙峰晶粒AZ91 合金的晶粒尺寸分布(a)和應力-應變曲線(b)[38]Fig. 4 Grain size distribution (a) and stress-strain curves of bimodal-grained AZ91 sample (b)[38]

1.3 應變率對孿晶變形的影響

孿晶在高應變率下的成核和成長與低應變率下明顯不同。隨著應變率不斷提高，孿晶的成核率也不斷上升，使得孿晶體積分數不斷增加，此時一些SF 較低的晶粒內也會產生孿晶，在晶界和孿晶交叉處產生的應力集中也可能成為孿晶潛在的成核源[12,39]。Wang 等[40]指出，在準靜態下孿晶更容易成長。Dudamell 等[41]也發現，在AZ31 鎂合金中應變率會大幅提升{1012}拉伸孿晶的激活率，但對壓縮孿晶和二次孿晶影響不大。Maksoud 等[42]通過實驗發現，AZ31 鎂合金的應變率敏感性在高應變率下變為非線性。Li 等[43]在AZ31 鎂合金的SHPB 實驗中發現，鎂合金的屈服強度相對于準靜態下增長了55%。雖然沿ED 方向壓縮時都發生了由于拉伸孿晶激活導致的晶格旋轉，但在進一步的EBSD 分析中，當應變為16%時，高應變率下二次壓縮孿晶的體積分數更高些。Ahmad 等[44]也在AZ31B 鎂合金中發現，3 500 s?1應變率下TD 和RD 方向的破壞應變相比于準靜態下分別提高了30%和55%，同時在RD 方向上的變形孿晶起到了重要的作用，所以在高應變率下AZ31 鎂合金的孿晶變形增大，進而提高了材料的屈服強度和承載能力。

Mao 等[45]在AZ31B 鎂合金的高應變率（約106s?1）研究中發現了一種反常現象，隨著變形的進行，在單個基體內產生了不同的{1012}孿晶變體，其中一種孿晶變體可以完全被另一種包圍，形成孤立的區域，這種反常的孿晶之間的相互作用并不能采用傳統的孿晶理論來解釋，本文采用一種非孿晶位錯理論進行分析，如圖5 所示。

圖5 (a)基于傳統孿晶理論的孿晶相互作用（由于孿晶位錯不能穿透孿晶界，當兩者相互靠近時將阻礙孿晶的增長）；(b)非位錯形式的孿晶增長（T1）（孿晶能夠通過改變孿晶面產生分支而包圍另一個孿晶）；(c) 非位錯形式的孿晶增長（T2）（孿晶通過側向成長而繞過另一個孿晶）[45]Fig. 5 (a) Twin-twin interaction based on classical twinning theory (The growth of the twin variants will be impeded as the variants approach close to each other because the twinning dislocations are unable to penetrate the twin boundaries.); (b) non-dislocation mediated twin growth (T1) (A twin variant can branch out by changing the habit plane and surround the other variant.); (c) nondislocation mediated twin growth (T2) (A twin variant can spread laterally and grow around the other variant.)[45]

相對于拉伸孿晶，壓縮孿晶和雙孿晶等由于擁有較高的CRSS，并不容易被激活。Berge 等[46]在0.1 s?1應變率下AZ31 鎂合金中發現了壓縮孿晶和雙孿晶，而準靜態10?3s?1下未發現兩種孿晶。Wang 等[47]在AZ91 鎂合金的平板沖擊實驗（應變率約為105s?1）中發現，除了較常見的{1012}拉伸孿晶，{1011}壓縮孿晶和{1011}-{1012}雙孿晶同樣存在。隨著沖擊速度的提高，所有孿晶的數量都顯著增加，而拉伸孿晶在尺寸和數量上都占據主導作用。但Dixit 等[48]在應變率103s?1下的純鎂壓縮實驗中并未觀察到壓縮孿晶的存在。Yu 等[49]采用分離式霍普金森拉桿（SHTB）對EW75 鎂合金進行的動態拉伸實驗中，只發現了{1012}拉伸孿晶，提高應變率并沒有對{1012}拉伸孿晶的數量產生太大的影響，這與AZ31 鎂合金的動態實驗差別較大，而且還發現AZ31 的中的{1012}拉伸孿晶在變形早期就開始發展[50–51]，隨著應變率提高，也極大地提高了{1012}拉伸孿晶的激活率。Yu 等[49]對此進行了解釋：首先，EW75 鎂合金的弱取向更加偏向于基面滑移的啟動；其次，EW75 鎂合金中稀有元素的添加可能增大了{1012}拉伸孿晶的激活應力；最后，柱面和錐面滑移的CRSS 隨著變形過程溫度的升高而降低。

在平面撞擊等更高應變率的變形中也能觀察到孿晶的產生，同時材料有時會發生彈性前驅波衰減，而在那些孿晶變形較少的材料中，前驅波衰減并不明顯[52–53]，這可能是孿晶導致的缺陷數量不同引起的。如圖6(b)所示，實線箭頭指明了一般拉伸孿晶作用于沖擊波的過程，沖擊波作用后的拉伸孿晶導致該處的部分晶格發生旋轉，當從后表面反射回來的稀疏波作用時往往會產生退孿晶，虛線箭頭指明了形成的退孿晶致使孿晶區域部分晶格退回至原來的取向[1,54]。Kanel 等[55]對鎂單晶的c軸、a軸和沿c軸45°方向進行了沖擊加載。實驗結果顯示：c軸的雨貢紐彈性極限（HEL）最大，45°方向最小；沿c軸壓縮的回收樣品中發現了大量孿晶，隨著沖擊波傳播至樣品內部，孿晶逐漸減少。同時在所有實驗中都發現了彈性前驅衰減，作者指出這是位錯和孿晶共同作用的結果。在層裂強度研究中，相比于鋁和銅等立方金屬，鎂單晶的層裂強度比多晶更高，這可能是由于變形孿晶減小了單晶的均質性，孿晶的邊界可以作為破壞的成核源。Dixit 等[53]也進一步證實了彈性前驅衰減與孿晶變形有關。Rességuier 等[56]對單晶鎂進行更高應變率的激光加載，同樣發現材料的層裂行為與孿晶有著密切的關系，包括初始存在的和沖擊產生的孿晶，并且裂紋沿著特定的孿晶方向擴展。除了前驅波和卸載階段，剪切強度[57]、強烈的Bauschinger 效應[2]和應力凸起[55]也都與孿晶變形緊密相關。

圖6 沖擊波傳播和材料微結構：(a)沖擊示意圖和3 個觀測點；(b)沖擊波傳播的時間-位置圖和3 個觀測點在不同時刻（t）的微結構[1]Fig. 6 The propagation of shock wave and the microstructure of material: (a) The schematic diagram of shock and three observation point; (b) the time-distance diagram of the shock experiment and corresponding schematic diagrams of the microstructure at 3 location at different times (t)[1]

在材料變形的影響中，溫度軟化和應變率硬化被認為有相似的效應，許多學者也將溫度和應變率對孿晶變形的影響綜合起來研究[58–59]；相對于取向織構和晶粒尺寸等因素，晶界和應力狀態的不斷變化使得研究材料變形過程中這兩種因素對孿晶的影響變得復雜且困難，直接針對晶界和應力對孿晶成核和成長的相關研究較少，目前較多的研究指出孿晶起源于晶界且更加偏好于小角度晶界，這也基本符合小角度晶界處的應變兼容和應力集中等條件[9]。

2 鎂金屬孿晶變形理論模型

由于孿晶變形處于微介觀尺度，對孿晶變形的理論和模型研究體現了多尺度方法的運用，較常見的有晶體塑性理論[60–61]、位錯動力學[62]、分子動力學[63]和相場[64]等，相關方法對研究孿晶變形的側重點不同。晶體塑性理論是在介觀尺度發展起來的方法，通過建立位錯滑移和孿晶變形與宏觀連續介質之間的聯系實現對材料宏觀變形的模擬預測，除了可以與實驗宏觀結果進行比較，還可以獲得位錯、滑移和孿晶等微觀機理的演變信息，研究變形機制對材料屈服、硬化和破壞的影響，同時對于單晶和多晶材料晶粒的取向織構改變也能隨時追蹤。位錯動力學方法更多側重于位錯對孿晶和孿晶界的作用和相互關系，進而影響材料的塑性變形和相變等。分子動力學方法也具有類似的理論體系，但由于現有計算能力的限制，后兩種方法一般只能研究較小尺度范圍內的變形，并不能對宏觀變形真實模擬。目前，在研究和建立孿晶模型的框架中，更多的是基于晶體塑性理論。本節主要針對晶體塑性模型框架下的孿晶理論模型進展進行評述。

晶體塑性理論是從材料的微介觀尺度變形（位錯滑移、孿晶和相變等）角度研究材料的彈塑性變形行為。Taylor[65]最早做出晶體塑性理論的開創性工作，隨后Hill[66]以及Asaro 等[67]進一步對晶體塑性理論進行了完整的闡述。在Taylor 模型體系中，單個晶粒內所有單晶的應變是相等的，晶粒的應力則由單晶應力通過體積分數疊加獲得，這種假設保證了晶界處應變協同條件，而應力則存在梯度。另一種相似的模型是Sachs 模型[68]，與Taylor 模型采用應力應變相反的假定，但現有研究中更多采用Taylor 模型。自洽模型也是一種應用較廣的模型，模型將所有晶粒考慮為包含在一個無限均勻等效的介質中，通過Eshelby 夾雜理論和自洽條件使得模型滿足應力平衡。Lebensohn 等[69–70]基于自洽模型建立了黏塑性自洽模型（VPSC），該模型在材料大變形、不同變形條件下力學行為和織構演化等方面應用廣泛。詳細的晶體塑性模型介紹參考文獻[71–73]。

在只有滑移的變形理論體系中引入孿晶需要考慮兩方面內容：（1）晶粒內變形不再是均勻的，孿晶區域和基體的應變不同，在晶粒內呈現應變梯度；（2）除基體以外，孿晶區域有特定的取向，使得在計算過程中孿晶和基體的取向數量增加，給計算造成了困難。最早考慮晶格重新定向的孿晶模型是由Vanhoutte[74]提出的，后續學者在此基礎上開展了大量工作，常見的孿晶模型有主孿晶重新定向（PTR）、體積分數轉變（VFT）和全拉格朗日方法等。在PTR 模型中，追蹤每個晶粒內孿晶區域的體積分數增長情況，采用一種統計的判定模型，當達到判定條件時，整個晶粒旋轉至主孿晶的取向，但并不增加晶格的取向數量，在每個時間步結束時，每個晶粒的最終取向要么被滑移轉動要么采用孿晶的取向[74]。PTR 模型的缺點是只關注最主要的孿晶體系，PTR 模型更適用于只有一種孿晶的材料變形，而對于具有多種孿晶且其對塑性變形的貢獻相差不大的情況，PTR 模型的計算誤差較大。所以，在PTR 模型中將主滑移、二次滑移和主孿晶作為塑性變形機制。VFT 模型是由Tomé等[75]提出的，采用加權晶粒取向描述追蹤由孿晶產生的大量新取向，通過引入取向的歐拉角，由滑移引起的旋轉將體積分數轉入臨近的單元內，而孿晶引起的選擇則轉入非臨近的單元，這樣在準確追蹤孿晶體積分數的同時避免了增加初始的取向數。在VFT 模型中考慮更多的同樣是主滑移、二次滑移和主孿晶。

PTR 模型和VFT 模型存在一個缺點，即兩種模型會將孿晶區域識別成全新的晶粒，在該晶粒內可以像未發生孿晶的基體那樣產生新的滑移和孿晶，而孿晶區域與基體的變形特征明顯不同，全拉格朗日方法克服了上述缺點。1998 年，Kalidindi[60]在原來只有滑移的晶體塑性本構模型中引入了孿晶變形，如圖7 所示，在該模型中將晶體的變形過程分為兩部分：晶體從初始構型到中間構型發生了塑性變形，包含位錯滑移和孿晶變形；從中間構型到最終構型是彈性變形，發生了晶格畸變和扭轉。模型中滑移和孿晶的剪切應變率和宏觀速度梯度張量通過孿晶體積分數疊加起來，建立了宏微觀之間的聯系，相關表達式為

圖7 包含孿晶的變形梯度F 分解示意圖[60]Fig. 7 Extension of the multiplicative decomposition of the deformation gradient F to include deformation twinning[60]

需要注意的是，只有當孿晶的RSS 為正時才會產生孿晶，這體現了孿晶的變形具有方向性。基于Kalidindi 孿晶模型框架，國內外眾多學者展開了分析研究工作[77–78]。Liu 等[79]在晶體塑性模型中考慮了溫度對滑移和孿晶的影響，同時提出了一種自下而上的計算方法，通過代表性體積單元（RVE）預測了鎂多晶的力學響應和孿晶、織構的演化。Izadbakhsh 等[61]對模型的變形機制進行擴展，并考慮了滑移、主拉伸孿晶、主壓縮孿晶和二次拉伸孿晶，采用不同的硬化演變函數追蹤基體、主孿晶和二次孿晶區域內的織構演化，獲得了與實驗吻合的結果。Zhang 等[80]對孿晶和滑移的硬化進行了研究，針對不同孿晶采用不同的硬化模型，考慮了孿晶與孿晶、滑移與孿晶的相關作用，對鎂單晶和多晶在不同載荷方向上的變形進行模擬預測，預測了鎂單晶中由于孿晶飽和產生的晶格旋轉，旋轉之后的變形機制能夠表征材料后續的塑性硬化，如圖8 所示。Ardeljan 等[81]對滑移和孿晶阻力的演化一方面采用應變、溫度和應變率函數的位錯密度硬化形式，同時通過另一種顯示方法將孿晶層嵌入到有限元多晶模型中，實現了對孿晶變形的直觀描述。Sun 等[82]在類似孿晶的思想中引入了相變機制，對銅單晶沿[541]方向單軸拉伸下的應力-應變曲線上由相變引起的拐點進行預測，但并未很好地區分模型中的變形機制。還有一些研究[83–84]也對晶體塑性理論下的孿晶變形進行了深入的探討和廣泛的應用。

圖8 單晶鎂平面應變壓縮模擬（實線）和實驗（A～G）的應力-應變曲線比較[80]Fig. 8 Comparison of stress–strain responses from single crystal Mg plane-strain compression simulations(solid lines) with experiments (A–G)[80]

為了預測孿晶和退孿晶的變形機理，Proust 等[3]對CG 模型中材料再加載變形過程進行更改，提高其他孿晶體系的CRSS，使得孿晶區域中與原來相同的主孿晶體系被激活，這時并不考慮為二次孿晶而是孿晶向基體轉變，這個過程可以使整個孿晶區域轉變為初始晶粒。Proust 等的退孿晶模型過于簡單，Wang 等[4,91]建立了物理基礎的孿晶-退孿晶模型（TDT），該模型包含4 種變形機制：孿晶成核、孿晶成長、孿晶收縮和重孿晶。如圖9 所示，孿晶成核和成長也就是孿晶的變形過程，孿晶收縮和重孿晶則是退孿晶過程。整個晶粒被分為基體和孿晶區域，初始時晶粒內沒有孿晶，當基體應力達到一定值時孿晶開始成核；隨著應力的持續增大，孿晶繼續成核，將孿晶成核看成基體減少和孿晶傳播兩方面，它們的驅動力則由各自區域內的應力控制；而當退孿晶的RSS 超過孿晶收縮的CRSS 時，孿晶開始收縮，也可分解為基體擴展和孿晶減少；重孿晶則是在孿晶區域內形成新的孿晶。在CG 和TDT 模型中都把孿晶當成一個新的區域，只是在TDT 模型中所有孿晶都可以形成，而在CG 模型中只考慮了主孿晶。通過對孿晶形成時晶粒的分解，忽略孿晶成核和重孿晶較小的體積分數，考慮孿晶成長和收縮時孿晶體積分數的變化率，則有

圖9 晶粒內的孿晶和退孿晶過程示意圖（綠色實線為孿晶界，藍色和紅色點線代表晶格取向；sαM 和nαM分別表示基體中孿晶面和法線， sαT 和 nαT表示孿晶區域中孿晶面和法線方向）[91]Fig. 9 Schematic representation of twinning and de-twinning in a grain (Solid green lines represent twinning boundaries; Lattices orientations are represented by dotted blue lines and dotted red lines; sαM and nαM are the twinning plane and normal direction in matrix; sαT and nαT are the twinning plane and normal direction in twin domain.)[91]

Wu 等[92]建立了TNPG 孿晶模型，將孿晶過程分為孿晶成核、孿晶增殖和孿晶成長。孿晶成核需要較大的應力，而在孿晶從一側晶界增殖到另一側晶界過程中需要的應力則逐漸降低，在孿晶增殖和孿晶成長交接時應力達到最小值，而后孿晶成長，應力增大。采用一個固定的孿晶體積分數判定孿晶從增殖到成長的臨界點，在孿晶增殖過程的硬化采用線性關系，孿晶成長過程則采用Voce 硬化，具體表達式為

圖10 (a)孿晶不全位錯通過孿晶面滑動和垂直于孿晶面增長到臨近點X 的傳播示意圖（lglide和lgrowth為孿晶成核點到增長點X 的水平和垂直距離，vprop和vgrowth為孿晶沿孿晶面和孿晶面法線的增長速度）；(b)包含孿晶的多晶微結構（晶粒內不同顏色代表不同取向）[95]Fig. 10 (a) Sketch map of a twin partial dislocation propagation to a neighboring point X by respectively gliding on the twin plane and growing normal to it (lglide and lgrowth are the horizontal and vertical distances from twin nucleation point to growth point X. vprop and vgrowth are the growth velocity of twins along the twin plane and its normal.); (b) polycrystalline microstructure with twins (Different colors in grains represent different orientations.)[95]

上述孿晶模型大多用于準靜態或者SHPB 沖擊的應變率（小于104s?1）下，較多的是從孿晶的成核和成長等方面對孿晶進行描述，通過孿晶形成的剪切應變和體積分數研究孿晶對材料塑性變形的貢獻，但現有的孿晶模型更多的是唯象和統計型，對影響具體孿晶因素的考慮尚有所欠缺，需開發考慮因素更為完善、適用性更強的孿晶模型。在更高的平板沖擊應變率（大于105s?1）下孿晶模型的相關研究則較少，Winey 等[96]在各向異性材料模型中嵌入位錯動力學、變形孿晶和剪切破壞來描述材料的非彈性變形，對于孿晶的考慮相對于Kalidindi 模型則更加簡單，孿晶體積分數采用一種唯象模型，相關的成長率是孿晶RSS 和阻力的一次函數。在對鈹單晶沿a軸的沖擊模擬中該模型獲得了表現出比只有滑移的模型更好的結果，在多波結構中與實驗的趨勢更加吻合，相關的變形機制激活率也證明了孿晶在后續變形階段具有重要作用。Winey 等[54]和Renganathan 等[97]進一步采用了該模型對鎂單晶的沖擊變形進行模擬，證實了孿晶在速度剖面卸載階段的重要作用，在不同的沖擊方向下材料的速度剖面存在一定差異，分析指出這是滑移和孿晶變形機制競爭的結果。相對于中低應變率的孿晶模型，高應變率下孿晶模型除了考慮應變率的不同影響外，更加注重由于體積壓縮和塑性功引起的溫升對孿晶的影響。Feng 等[98–99]分別針對SHPB 和平板沖擊，基于Kalidindi 模型建立起了包含滑移、孿晶和相變的本構體系，在孿晶模型中，孿晶的貢獻來源于兩方面：基體成長為孿晶的非負部分和孿晶到相變的非正部分，在硬化中仔細追蹤基體和孿晶區域內的滑移對孿晶的作用，通過引入初始剪切應力參數考慮孿晶過程中的熱耗散，保證孿晶模型的熱動力學守恒。Feng 等[99]對單晶鈦的c軸沖擊進行了預測，模擬結果同樣存在與實驗一致的彈性前驅衰減等，并進一步指出這是孿晶的起始點，而在接近平臺時的雙波結構與相變相關聯。

除了上述晶體塑性理論下較為常規的孿晶模型，將相場和晶體塑性模型結合起來研究孿晶變形也越來越受到更多的重視[100–102]。Kondo 等[100]在晶體塑性理論框架中融入相場模型，對鎂單晶的孿晶和退孿晶變形進行預測分析，通過對孿晶相體積分數準確地計算，比經典模型更好地表征了孿晶與基體的邊界和孿晶區域的局部剪切，同時通過有限元分析得出孿晶成核會降低材料的機械能。Liu 等[101]采用相場模型研究了鎂金屬拉伸孿晶的成核、擴展和成長，分析了孿晶擴展時的局部應力和應變狀態，發現在孿晶尖端處存在應力集中，并進一步指出孿晶在晶界轉移過程中局部應變兼容對于常規的SF 起著更大作用。Liu 等[102]同樣在晶體塑性模型中融入了相場模型，通過相場模型準確區分出基體和孿晶區域的邊界以及孿晶界遷移過程，在相場模型中引入實驗測量的孿晶界面能和臨界梯度判定從而對孿晶界寬度進行限定，實現了對孿晶形態學上孿晶成長的較好預測，相關研究對孿晶成核、成長和形態學研究具有重要意義。

3 總結與展望

本文對鎂金屬內孿晶變形的研究進展進行了評述，分別從實驗研究和孿晶理論模型兩方面進行追蹤，在實驗方面大量學者對影響孿晶激活和成長過程的因素進行了研究，其中取向織構、晶粒尺寸和應變率具有較大的影響。

取向織構決定了作用在晶粒內孿晶面的作用力大小，對孿晶的激活和成長有直接影響，普遍采用Schmid 定律來描述孿晶的激活，但越來越多的研究證明孿晶并不都發生在具有高SF 的晶粒內，晶粒與晶粒之間的取向差過大會導致在晶界處形成應力集中，為了滿足晶界附近處的應變兼容條件，部分軟取向形成的孿晶將穿透晶界至硬取向的晶粒中。這時Schmid 定律并不能作為判定孿晶啟動的唯一條件，部分學者對Schmid 定律進行一定的修改，如加入應變兼容因子和幾何兼容因子。

晶粒尺寸對鎂金屬拉伸孿晶和壓縮孿晶有不同形式的影響，較為常見的是增大晶粒尺寸能拉伸{1012}孿晶的激活率，對拉伸孿晶的成長則影響不大。同樣可以采用Hall-Petch 關系描述晶粒尺寸的影響，相對于位錯滑移，孿晶主導的Hall-Petch 關系的斜率會更大一些，而在晶粒尺寸跨度較大的晶體中，可以采用晶粒尺寸百分比對Hall-Petch 關系進行修改，進而描述不同晶粒尺寸對材料硬化的影響。

應變率對孿晶的成核和增長都有較大影響，一般來說隨著應變率的增大，孿晶的成核和密度都會增加，鎂合金內的{1012}拉伸孿晶則相比于{1011}壓縮孿晶對應變率更加敏感，但在不同鎂合金中存在一定的差異，這可能是由于夾雜的其他元素對孿晶的激活應力產生影響，相關研究有待實驗的進一步確定。在平板沖擊的高應變率下，孿晶與彈性前驅波衰減、卸載和破壞等都存在密切聯系。

目前，對鎂金屬孿晶變形的實驗研究更多是基于實驗前后的微觀表征，研究實驗前不同的微結構對材料力學性能的影響更多地局限于宏觀性能表現方面，由于實驗后的微觀表征只能描述最后時刻的材料形貌，更甚者是材料經過熱冷卻和應力釋放后的結果，對材料變形過程中的微觀變形機制演變的描述并不準確，缺乏相關因素影響對孿晶變形過程的原位表征，該方向是國內外熱門領域，具有較大的發展前景。在材料變形過程中，特別是動態加載下，存在相關因素的耦合，需要通過相關實驗設計實現對部分因素的解耦。相對于霍普金森桿等中低應變率下鎂金屬的孿晶變形，在更高應變率的平板沖擊下，相關因素對孿晶的影響研究較少，在高應變率下孿晶具有不同的表現形式，對材料的響應作用更加明顯，相關因素的影響或許更加不可忽略。

孿晶的理論模型經歷了一定發展過程，目前國內外采用的常見孿晶模型有：主導孿晶系旋轉模型（PTR）、體積分數轉換模型（VFT）、全拉格朗日方法、CG 模型、孿晶與退孿晶模型（TDT）和孿晶成核、增殖和成長模型（TNPG）等。在目前的孿晶模型中，更多地局限于考慮單一或部分因素，對應的理論模型一般針對特定變形條件下的特殊變形機理，這對孿晶模型在不同變形條件下的適用性提出了挑戰。同時目前的孿晶模型更多的是基于唯象結構框架，對孿晶變形采取統計的形式進行描述，傳統孿晶模型缺乏一定的物理基礎，對孿晶的成核、擴展和成長等更多采用較簡單的公式進行描述，而更低尺度上的位錯動力學、分子動力學和相場等方法在研究孿晶形態學上的成核和成長、孿晶界對材料塑性作用和孿晶與滑移之間的相互作用等方面具有一定的優勢，考慮加強不同尺度方法之間的聯系，在完善的理論框架中融合不同尺度模型對從物理機理上研究材料宏觀性能具有重要意義；現有的孿晶模型雖然考慮了一定的應變率效應，但對于高應變率下的平板沖擊情況是否適用還有待驗證，目前缺乏復雜高應變率下的動態孿晶模型，更高應變率下材料變形更加劇烈，材料的溫度、晶粒尺寸和取向等都會發生相較于中低應變率下更大的變化，這些因素之間的相互耦合也對動態孿晶模型的建立提出了挑戰；目前孿晶模型的研究更多局限于對材料塑性的影響，而對材料破壞影響的研究則較少，相關研究具有較大難度，但也是材料研究中不可避開的一個方面，整體模型的實現有待建立孿晶模型結果與破壞模型輸入之間的聯系。