非負約束條件下組合證券投資決策方法研究

左權（江西科技學院）

■引言

組合證券投資指的是將手頭資金分別投在多種證券，實現最大化利益的一種投資方法。在當今的投資證券的風險評估中，評價風險的指標分為兩種：第一種是投資收益的平均值R，第二種是投資收益率的方差值σ2。其中評估證券是否盈利的指標為R，其也是證券風險程度的指標。有相關的研究表明，在給定預設的收益率條件下，選擇組合投資證券的方法，能夠最大化地實現盈利。但是該研究并未研究投資比例系數符號這一重點問題。出現負值的比例系數，代表著需要賣出相關的證券，這種方式在某些情況下是無法實現的。因此研究比例系數為非負的投資證券的方法，是很有必要的。因此本文在該研究的基礎上建立了模型，計算相關的投資系數比例，從而實現在非負的條件下，使獲得的利益最大化。

■關于組合證券投資相關模型

Markowitz 曾建立相關的組合投資決策模型，為現代的組合證券投資理論的形成打下了良好的基礎。在相聯系的理論中，評價證券的指標主要有兩種，投資收益的平均值R 為第一種指標，第二種是收益率的平方差值σ2。其中R 的大小能夠評判證券的盈利程度，σ2的大小能夠評判證券的風險程度。證券投資人確定證券投資策略的模型如下。

模型中X=(x1,x2…xn)T 為投資選定的投資證券的投資比例的系數，An 則為這幾種證券的收益方差陣（此時需要假設改矩陣為正定矩陣），μ(μ1,μ2…μn)T 為證券的收益率的向量，en是矩陣中的元素，假設都是數字1 且為n 維向量，m0是證券的預設的收益率。有相關的研究將該模型進行了進一步優化，表示為如下形式：

相對應的風險值可以簡化為：

該模型存在一定的缺陷，在現實中的某些情況下，這種現象很難實現，因此有相關研究將該模型進一步優化。

該模型添加限定條件即不允許出現賣空證券，研究表明該模型存在最優解，且最優解具有唯一性，并且計算出了該模型的最優解的樹形算法。

■優化模型需要滿足的相關定律和最優解過程

優化模型的最優解假設為XB，基礎模型的最優解假設為XA，兩個最優解之間的相互關系可以總結為以下定律。

定律1：當基礎模型的最優解XA≥0 的情況下，XA和XB二者相等；當XA出現負數的情況下，XB中必定存在分量是0 的情況，表明在先前選定的相關證券當中存在不符合該模型的證券，需要將該證券拋棄。拋棄掉該證券后最優解的XB再次與XA相等。

定律2：在不允許賣空并將多余的證券拋棄后，該模型中的向量數值是確定證券組合是否為多余證券的唯一標準。當向量的數值為0 時對應的證券為多余證券需要拋棄。

進一步驗證多余證券的存在性，建立模型，模型表示方式如下：

假設第三個模型存在最優解Zc，并且最優解Zc 滿足以下條件：Zc=XB-XA

將模型進行優化處理可以得到如下結果：

有最終得到的結果表明，Z0+XA是優化模型的可行解，但這一結果又和XB作為優化模型的最優解產生沖突。因此表明當Z0為0 時，同時滿足上述兩個條件，驗證出當多余證券拋棄后，最優解XB再次與XA相等，這一定律存在。

定律3：不妨設局部的證券組合為經過篩選過的、從全部組合中舍棄部分多余的組合而組成的組合，那么在局部中多余的證券在全部組合中也是多余證券。同時，局部證券在全部證券的組合中也是多余的。因此，該證券在局部證券組合中仍是多余的。

由定律可知，全部證券組合拋棄幾條多余組合后可組成局部證券組合，結合定律2 所述向量為0 時該證券為多余證券需要拋棄。

有相關的研究根據定律1 為相關的理論基礎，得到了求解的樹形算法。該算法的實質是枚舉法，一步一步地將多余的證券進行拋棄。

根據定律2 和定律3 可以進一步地優化樹形計算法，不再需要在組合中的全部證券選擇多余證券，只需要在比例系數為負數的相關證券中選擇就可以了，這樣大幅地降低了人工，減少了相關搜索的計算量，從而能夠快速地分析出最佳的投資證券的組合方式。

■改進的分析方法

改進的樹形計算方法的具體過程如下：

根據模型的形式出發，最重要的找出模型中的非約束條件下最優的一種投資比例的向量值。例：當不存在負分量時不分枝；存在R 個負分量，就從原來的組合結構中對應地剔除一種負分量證券。當拋棄掉一種負分量證券后，整個模型中就只存在R 種可能性，同樣也標志只能形成R 個n-1 種證券組合。分別作為根節點的分枝，成為根節點后的第一層節點。第二層節點的形成和第一層相同。然后再按照之前的步驟依次地展開下去，直到不再出現新的分支結點為止。

當沒有非負約束最優投資比例向量出現負數時，可對節點處的證券組合進行風險評估，由于模型經過了優化，得到的最低值的節點就是證券在非負條件約束下的最優組合方式。

定律2 和定律3 可以進一步地確保上述的樹形計算方法中肯定有一條最優的組合方式，這種改進方式的基本實現方式就是根據相關的限定構建出一棵樹形的結構。

定律4：當證券組合中的證券數量減少時，最優的證券組合方式的風險趨于平穩或者逐漸增大。

層最優解：某一層中當滿足投資比例系數向量不是負數時，最優證券組合也就是風險最小的組合。

按照分析樹形結構的過程：逐層分析樹形結構和之前改進樹形結構的基本實現過程相同，只是對每個結點還需要帶入到優化模型中進行計算，當完成每一層的樹形結構時，應及時找出對應層的最優解和該層風險最小的證券組合方式，并且根據以下進行進一步的判斷。

分析到樹狀結構的某一層時，當該層的最優組合方式的風險為該層節點中風險最小的節點時，應停止分析、或當分析到樹狀結構的某一層時，該層所有節點的風險值仍大于已分析出的各層最優的風險值時，也應停止分析。

分析出來的最小節點，即為最佳的投資方式，根據該投資方式可以有效地實現風險最小化及利益最大化。

■選取相關實例進行計算分析

假定該實例為一個四元證券組合，該證券的收益率分別為0.13、0.055、0.14 和0.19，根據相關的風險率可以得到如下的方差矩陣：

假設此時的投資人想要的收益率為0.18，將該組合帶入優化模型中，可以計算得到

根據該計算的結果可以得知，假如投資人想要獲得0.18 的收益率，那么他將要在證券1 中投入將近17%的投資比例，在證券4 中投進入83%的投資比例，而證券2 和證券3 在該實例中為多余證券，因此不在這兩種證券中投入任何的資金。按照這種方式進行投資可以實現收益率為0.18 并且該方式投資的風險值最小。

■結束語

本文在Markowitz 建立的模型基礎上和相關證券研究人員優化模型的基礎上，進行了進一步的關系推進。分析并得出在允許賣空的最優投資比例向量和不允許賣空的非負投資比例約束條件下，最優投資比例向量的優化樹形算法。該算法能夠快速地得出最優的投資方式，同時還指出了在案例中哪些為多余證券，并分析該如何投資實現最大化的盈利。本文還盡可能地簡化了構建模型所需的工作量，這對于組合證券優化決策具有理論和實踐意義。