復擺法測量剛體轉動慣量的改進

林彥嘉

（西南大學物理科學與技術學院，重慶 400715）

0 引言

轉動慣量是剛體轉動時慣性大小的量度，是研究和控制飛行體軌道及姿態所需的重要物理量，是航天航空和機密機械等領域進行設計的關鍵參數[1-2]，因此，對轉動慣量進行精確測量具有重要的工程價值。對于形狀規則、質量分布均勻的物體，可通過理論計算的方法來精確確定其轉動慣量。對于形狀不規則、表面不平整且質量分布不均勻的物體，只能通過實驗的方法來確定其轉動慣量。目前常用的實驗測量方法有扭擺法（單線擺和三線擺等）和塔輪法[3]等。三線擺法雖然測量誤差小，但是并不適測量大質量構件轉動慣量；塔輪法測量轉動慣量的相對誤差則很大。有人提出用復擺法測量剛體的轉動慣量[4]，但是需要事先精確測量質心的位置限制了該方法的應用。

該文改進了傳統的復擺測量裝置，并提供了一種改進的測量剛體轉動慣量的復擺測量方法。通過對不同轉軸的復擺周期的測量來求得轉動慣量，不需要事先確定剛體的質心位置。該方法使用編碼器的小阻尼軸為復擺轉軸，并聯合數字示波器完成剛體的擺動周期的測量。

1 測量原理

1.1 復擺

復擺裝置如圖1 所示，任意形狀的物體可繞水平軸O自由轉動。當擺動角度q較小時（q≤5°），忽略空氣阻力的條件下，復擺的周期T的計算公式如公式（1）所示。

圖1 復擺示意圖

式中：m為物體的質量；h為轉軸O到物體質心C的距離；J為物體繞轉軸的轉動慣量；g為重力加速度。

由公式（1）可推算出公式（2）。

可見，當物體的質心事先能確定的情況下，測得復擺的周期，即可由公式（2）計算得到物體的轉動慣量。

1.2 改進的測量方法

如果物體質心無法確定，不可以直接用上面的方法來求剛體轉動慣量。改進的方法是首先以O為軸，在靜止狀態下，在過鉛垂線向下距離為a的地方確定一點O′，并且要求以O′為轉軸，復擺不會倒掛。然后再分別以O和O′轉軸，測量各自的擺動周期T1和T2。

設以O為轉軸的等效擺長為l1，以O′為轉軸的等效擺長為l2，由復擺周期公式可以計算出l1和l2，如公式（3）和公式（4）所示。

式中：h1和h2是質心到各自轉軸的距離。因為質心位置不確定，所以h1和h2是未知的，但是它們滿足公式（5）。

設物體繞質心的轉動慣量為JC，由平行軸定理，可得J1和J2，如公式（6）和公式（7）所示。

將公式（5）和公式（7）帶入公式（4），可得公式（8）。

由公式（3）和公式（8）可得公式（9）和公式（10）

實驗時，首先測量周期T1和T2，再帶入公式（3）和公式（4）得到等效擺長l1和l2，同時將測量值a一起帶入公式（9）和公式（10）中，即可求得剛體繞軸O的轉動慣量J1和轉軸到質心的距離h1。

2 測量系統

2.1 復擺的改進

選用橫截面為9mm×9mm，長度為300 mm的硬鋁桿作為擺桿，從一端開始，每間隔20 mm 鉆1 個直徑為Φ6 mm的通孔作為轉軸位置。將旋轉編碼器的軸作為轉軸，桿上孔徑與編碼器的轉軸直徑匹配。選用編碼器型號為E6B2-CWZ3E，編碼器轉軸的轉動慣量小于10-5kg·m2。改進的復擺裝置如圖2 所示。

圖2 改進的復擺裝置

2.2 測量系統

編碼器供電電壓為5 V～12 V，輸出分S1、S2 和Z 3 路。編碼器旋轉1 周，S1 和S2 輸出2 000 個波形，Z 輸出1 個波形。S2 輸出比S1 輸出落后90°。實際使用時，選S1 和S2 中任意一路。利用輸出方波可以精確測量加速度。

測試系統框圖如圖3 所示。直流電源為復擺裝置上的編碼器提供12 V 的直流電壓；復擺擺動時，編碼器輸出系列方波波形，并由數字示波器記錄；通過判讀示波器上的輸出波形特征讀出復擺擺動周期T，以此來精確測量復擺周期。

圖3 測量系統

3 實驗結果及不確定度分析

3.1 測量結果

復擺的擺桿質量m1=54.47 g；待測物為內徑6 mm、外徑20 mm 的圓柱塊，其質量m2=36.91 g。實驗測量擺桿繞桿端的第一個通孔轉動時的轉動慣量以及待測物距離轉軸260 mm 時的轉動慣量。測量步驟如下：1）轉軸O過第1 個通孔，空載條件下測量復擺周期，數據見表1。2）轉軸O′過桿上第3 個通孔，空載條件下測復擺周期，數據見表1。3）將待測物安裝在桿上，距離轉軸O260 mm，然后測量加載條件下復擺繞軸O的擺動周期，數據見表2。4）測量加載條件下，復擺繞O′軸的擺動周期，數據見表2。

圖4 和圖5 是示波器記錄的典型波形。A和B分別對應圖中的實、虛豎線，代表示波器的光標；橫軸X代表時間，縱軸Y代表電壓。圖中的稀疏部分，是復擺在最高點的位置，因此根據連續出現的3 個波形稀疏的位置，可以確定1 個擺動周期。周期的判讀波形如圖4 所示。半周期的判讀波形如圖5 所示。

圖4 空載實驗波形（繞O 軸，周期）

圖5 空載實驗波形（繞O′軸，半周期）

表1 中，h1是空載時質心到轉軸O的距離，J1是復擺繞O軸的轉動慣量。表2 中，h1是加載時質心到轉軸O的距離，J是復擺繞O軸的轉動慣量。表中的li是等效擺長。

表1 空載測量數據（a=0.04 m）

表2 加載測量數據（a=0.04 m）

空載時，h1的實驗值為0.128 m。擺桿質心到轉軸的理論距離為0.130 m。實驗值和理論值的相對偏差為1.5%，測量精度比較高，說明該測量方法是可信的。

加載時，h1的實驗值為0.187 m。待測物的質量已知，擺桿質心到轉軸的距離為0.130 m。根據平衡條件，在理論上可確定加載后復擺系統的質心到轉軸的距離為0.183 m，實驗值和理論值相對偏差為2.2%。

待測物的轉動慣量的實驗測量值：

J測=J-J1=（3.90-1.33）×10-3=2.57×10-3kg·m2

待測物為形狀規則的空心圓柱體，由理論公式計算：

J理=0.5×m2×（0.012-0.0032）+m2×0.262

=2.50×10-3kg·m2

轉動慣量的實驗測量值和理論計算值的相對不確定度E的計算公式如下。

3.2 測量方法的不確定度分析

設轉動慣量J 的相對不確定度為η，依據不確定度傳遞規律，η的計算公式如公式（11）所示。

式中：um為質量測量不確定度；和為等效擺長的不確定度；ua為2 個轉軸位置間距的不確定度。各個不確定度均取最大值。C1、C2和C3分別表示下式的具體運算值。其他符號由下面表達式表示。

以空載為例，質量的不確定度um取0.01 g，等效擺長的不確定度ul1和ul2取0.001m，軸距a的不確定度ua取0.500 mm。帶入公式（11）計算得出，E=3.8%，小于4%。

通過理論計算以及分析表明，該方法給出的轉動慣量測量的相對不確定度可控制在4%以內。

4 結論

剛體轉動慣量的測量是大學物理實驗中一個基礎實驗項目，常用的塔輪法實驗誤差較大，傳統的復擺法又需要事先確定物體的質心位置。為此該文提出了一種改進的復擺法來測量剛體轉動慣量，該方法有以下3 個優點：1）利用增量式旋轉編碼器作為復擺的轉軸來測量復擺的擺動周期，實驗測量精度高，測試方法簡單、高效。2）通過測量擺動裝置繞不同轉軸的周期來測量剛體的轉動慣量方法，不需要事先確定剛體質心，特別適用于形狀不規則、質量分布不均勻的剛體轉動慣量的測量。3）該文的改進方法對轉動慣量的測量相對不確定度可控制在4%以內，測量精度高。