利用彈簧振子在豎直方向做簡諧振動實驗 測量重力加速度

官邦貴，高海濤，左緒忠，郭明磊，董 杰

（安徽科技學院 電氣與電子工程學院，安徽 蚌埠 233030）

測量重力加速度的新方法有很多種，文獻［1］對傳統平衡法進行改進提出了一種基于平衡法的新計算方法，文獻［2］利用智能手機對單擺法進行實驗創新設計使得單擺做簡諧運動的周期更為精確，文獻［3］提出了一種利用剛體轉動慣量實驗儀測量重力加速度的新方法，文獻［4］利用智能手機中的壓力傳感器來測量重力加速度，文獻［5］和文獻［6］分別用干涉法和激光反射法測量當地的重力加速度.在眾多的重力加速度的測量方法中，利用單擺或者彈簧振子做簡諧振動的方法因其裝置簡易，原理簡單，測量精度較高而被廣泛應用.本文利用彈簧振子在豎直方向做簡諧振動實驗來測量本地的重力加速度，為了消除測量彈簧振子周期時人工計時誤差較大的缺點，提高重力加速度的測量精度，實驗中利用了智能手機中的光線傳感器軟件獲得做簡諧振動的彈簧振子下端小光源照射到光線傳感器上的光照度實時變化的數據及光照度隨時間的變化圖像，根據該圖像得到彈簧振子做簡諧振動的周期.

1 實驗原理

當彈簧振子在豎直方向做簡諧振動時，彈簧振子的周期可用下列公式進行計算：

式中k為彈簧振子的彈性系數，m為彈簧振子的質量，m'為彈簧的質量，T為彈簧振子做簡諧振動的周期.

由（1）式可得彈簧的彈性系數k與彈簧振子做簡諧振動的周期T的關系為：

當彈簧振子懸掛于豎直方向放置的彈簧下方并且處于靜止狀態時，由胡克定律與牛頓第三定律可得：

式中k為彈簧振子的彈性系數，m為彈簧振子的質量，g為當地的重力加速度，△l為彈簧振子處于靜止狀態時的伸長量.由（2）式和（3）式可得重力加速度g與彈簧的伸長量△l、彈簧振子的質量m及彈簧振子做簡諧振動的周期T的關系為：

從（4）式可以看出，要測當地的重力加速度g，并不需要知道彈簧的彈性系數k，只需要測出彈簧振子的質量m，彈簧的質量m'，彈簧振子處于靜止狀態時的伸長量△l，彈簧振子做簡諧振動的周期T就可以計算出當地的重力加速度.在實驗中，當彈簧振子的質量m發生改變時，彈簧振子處于靜止狀態時的伸長量△l也要發生改變，彈簧振子做簡諧運動的周期T亦隨之變化.實驗中利用電子秤測出彈簧振子的質量m，彈簧的質量m'，利用固定在裝置上的刻度尺測出彈簧振子處于靜止狀態時的伸長量△l，利用智能手機中的光線傳感器軟件獲得做簡諧振動的彈簧振子下端小光源照射到手機光線傳感器上的光照度實時變化的數據及光照度隨時間的變化圖像，根據該圖像得到彈簧振子做簡諧振動的周期T.進而可以求出當地重力加速度.

2 實驗裝置

圖1為實驗裝置結構示意圖，在鐵架臺上沿豎直方向安裝有刻度尺，彈簧的長度可以直接通過刻度尺讀出來.在鐵架臺頂端掛上彈簧并在其下方掛上勾碼，勾碼的下方安裝小光源，為了安裝的方便，小光源可以做成扁平圓柱體，將發光體嵌入圓柱體下端表面內，發光體能夠持續均勻發光，在發光體的正下方放置智能手機并且讓發光體對準智能手機上的光線傳感器，手機中的光線傳感器可以采集光照度實時變化的數據并輸出光照度隨時間變化的圖像，通過該圖像可得到彈簧振子做簡諧振動的周期T.

圖1 實驗裝置結構示意圖

3 實驗步驟及內容

（1）彈簧振子的質量和彈簧的質量的測量

利用電子秤測出彈簧的質量m'、彈簧振子（包括勾碼與小光源）的質量m.

（2）彈簧振子處于靜止狀態時伸長量的測量

將彈簧豎直放置，測出彈簧原長l，在彈簧下方掛懸掛彈簧振子，測出彈簧振子處于靜止狀態時彈簧的長度l'，則彈簧振子處于靜止狀態時伸長量為△l=l'-l.

（3）彈簧振子做簡諧振動周期的測量

在手機上打開光線傳感器軟件，按下運行按鈕；打開小光源，給彈簧20.0 mm的初始振幅，使彈簧在豎直方向做簡諧運動，此時手機中的光線傳感器可以采集光照度實時變化的數據并輸出光照度隨時間變化的關系曲線（如圖2所示）.從采集的光照度實時變化數據中可以求得彈簧振子做簡諧振動的周期T，也可以從輸出光照度隨時間變化的關系曲線中求得彈簧振子做簡諧振動的周期T.

方法一：從采集的光照度實時變化數據中可以求得彈簧振子做簡諧振動的周期T.

表1 采集的光照度實時變化數據（彈簧振子質量為m=210.18 g）

因為數據太多，此表省略了部分數據，彈簧振子振動穩定后找到一個光照度最大值所對應的時間（此次實驗找到了光照度為218 lx時所對應的時間為1.680 020 312 s），依次向后找，找到第51個光照度最大值此次實驗找到了光照度為201 lx時所對應的時間為30.720 012 52 s），可以得出其周期為：

方法二：從光照度隨時間變化的關系曲線中求得彈簧振子做簡諧振動的周期T.

圖2（a）和（b）為彈簧振子做簡諧振動時光照度隨時間變化的關系曲線，圖2（a）為從關系曲線上找到某一個光照度最大值及其所對應的時間（此次實驗找到了光照度為255 lx時所對應的時間為2.039 982 8 s），為了較精確地找到光照度的最大值，需要將鼠標放在光照度最大值附近，左右移動鼠標光照度的數值和對應的時間都能實時顯示出來，從而找到光照度的最大值和對應的時間，依次找到第51個光照度最大值，見圖2（b），此次實驗找到了光照度為229 lx時所對應的時間為31.079 975 s，可以得出其周期為：

圖2 光照度隨時間變化的關系曲線

本實驗方法二相比方法一，除了初始振幅不一樣外，其它參數均相同，得到的周期與方法一得到的周期也相同（所用結果為小數點后取四位的結果），因此用方法二得到的彈簧振子做簡諧振動的周期是比較準確的.

4 實驗數據處理

（1）表2為彈簧振子質量保持不變，改變彈簧振子初始振幅△x時測量的實驗數據及其處理結果，實驗中所用彈簧振子的質量為130.18 g （包括鉤碼和小光源的質量），利用光照度實時變化數據得到彈簧振子做簡諧振動的周期.

表2 改變彈簧振子初始振幅△x時測量的實驗數據及其處理結果（量程：10 N）

與蚌埠當地的重力加速度值g=9.795 4比較，求出相對誤差為：

（2）表3為初始振幅△x時保持不變，改變彈簧振子質量時測量的實驗數據及其處理結果，實驗中初始振幅△x=20.0mm，利用光照度隨時間的變化關系圖像得到彈簧振子做簡諧振動的周期.

表3 改變彈簧振子質量時測量的實驗數據及其處理結果（量程：10 N）

與蚌埠當地的重力加速度值g=9.795 4比較，求出相對誤差為：

5 實驗結論

（1）彈簧振子做簡諧振動時，其振動周期與彈簧振子的初始振幅無關.

（2）彈簧振子做簡諧振動時，其周期與彈簧振子的質量有關，質量越大，振動周期越大.

（3）利用智能手機來測量彈簧振子做簡諧振動的周期可以減小人工計時測量時誤差較大的缺陷，提高重力加速度的測量精度.

（4）兩組實驗測得的重力加速度與蚌埠當地的重力加速度相比相差都不大，說明這種測量方法是比較精確的.